Câu 2.126 trang 91 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao a) Nếu \({a^{{3 \over 4}}} > {a^{{4 \over 5}}}\) và \({\log _b}{1 \over 2} < {\log _b}{2 \over 3}\) thì (A) a > 1, b > 1 (B) 0 < a < 1, b > 1 (C) a > 1, 0 < b < 1 (D) 0 < a < 1, 0 < b < 1 b) Nếu \({a^{{{13} \over 7}}} < {a^{{{15} \over 8}}}\) và \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right) > {\log _b}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\) thì (A) a > 1, b > 1 (B) 0 < a < 1, b > 1 (C) a > 1, 0 < b < 1 (D) 0 < a < 1, 0 < b < 1 c) Nếu \({\left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right)^x} > \sqrt 6 + \sqrt 5 \) thì (A) x > 1 (B) x < 1 (C) x > -1 (D) x < -1 Giải a) Chọn (B); b) Chọn (C); c) Chọn (D). Câu 2.127 trang 91 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao a) Giá trị của \({\log _{{a^3}}}a(a > 0,a \ne 1)\) bằng (A) 3 (B) \({1 \over 3}\) (C) -3 (D) \( - {1 \over 3}\) b) Giá trị của \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}(a > 0,a \ne 1)\) bằng (A) 4 (B) 2 (C) 16 (D) \({1 \over 2}\) c) Giá trị của \({a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}}(a > 0,a \ne 1)\) (A)\({5^8}\) (B) \({5^2}\) (C) \({5^4}\) (D) 5 Giải a) Chọn (B), vì \({\log _{{a^3}}}a = {1 \over 3}\)\({\log _a}a = {1 \over 3}\) b) Chọn (C), vì \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}{4^2}}} = 16\) c) Chọn (B). vì \({a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}} = {a^{2{{\log }_a}5}} = {a^{{{\log }_a}{5^2}}} = {5^2}\). Câu 2.128 trang 91 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao Nếu \({\log _{12}}6 = a\) và \({\log _{12}}7 = b\) thì (A) \({\log _2}7 = {a \over {a - 1}}\) (B) \({\log _2}7 = {a \over {1 - b}}\) (C) \({\log _2}7 = {a \over {1 + b}}\) (D) \({\log _2}7 = {b \over {1 - a}}\) Giải Chọn (D), vì \({\log _2}7 = {{{{\log }_{12}}7} \over {{{\log }_{12}}2}} = {{{{\log }_{12}}7} \over {{{\log }_{12}}12 - {{\log }_{12}}6}} = {b \over {1 - a}}\). Câu 2.129 trang 92 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao a) Nếu \(\log 3 = a\) thì \(\log 9000\) bằng (A) \({a^2} + 3\) (B) \(3 + 2a\) (C) \(3{a^2}\) (D) \({a^2}\) b) Nếu \(\log 3 = a\) thì \({1 \over {{{\log }_{81}}100}}\) bằng (A)\({a^4}\) (B) \({a \over 8}\) (C) 2a (D) 16a Giải a) chọn (B) , vì \(\log 9000 = \log 9 + \log 1000 = 2\log 3 + 3 = 2a + 3\) b) Chọn (C), vì \({1 \over {{{\log }_{81}}100}} = {{\log 81} \over {\log 100}} = {{4\log 3} \over 2} = {{4a} \over 2} = 2a\) . Câu 2.130 trang 92 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Giải thích tại sao. a) \({\log _2}5 > 0\) b) \({\log _{0,2}}0,8 < 0\) c) \({\log _{{1 \over 5}}}\sqrt 7 > 0\) d) \({\log _3}4 > lo{g_4}{1 \over 3}\) Giải a) Đúng, vì \({\log _2}5 > {\log _2}1 = 0\) b) Sai, vì \({\log _{0,2}}0,8 > {\log _{0,2}}1 = 0\) c) Sai, vì \({\log _{{1 \over 5}}}\sqrt 7 < {\log _{{1 \over 5}}}1 = 0\) d) Đúng, vì\({\log _3}4 = {{{{\log }_4}4} \over {{{\log }_4}3}} = {1 \over {{{\log }_4}3}} > 0 > - {\log _4}3 = {\log _4}{1 \over 3}\) Hoặc có thể giải thích\({\log _3}4 > {\log _3}3 = 1 = {\log _4}4 > {\log _4}{1 \over 3}\). Câu 2.132 trang 92 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho a > 3b > 0 và \({a^2} + 9{b^2} = 10ab\). Chứng minh rằng \(\log (a - 3b) - log2 = {1 \over 2}(\log a + \log b)\). Giải Từ \({a^2} + 9{b^2} = 10ab\) ta có\({(a - 3b)^2} = 4ab\). Lôgarit cớ số 10 hai vế, ta được \(log{(a - 3b)^2} = \log 4ab\) \( \Leftrightarrow 2log(a - 3b) = \log 4 + \log ab\) \( \Leftrightarrow log(a - 3b) - log2 = {1 \over 2}(\log a + \log b)\). Câu 2.133 trang 92 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên tập xác định của nó: a) \(y = {e^{3x + 1}}\cos 2x\) b) \(y = \ln \sqrt {{x^3} - 1} \) c) \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + {e^x}} \right)\) d) \(y = {5^{{\rm{cos}}x{\rm{ + }}\sin x}}\) Giải a) \(y' = 3{e^{3x + 1}}\cos 2x - 2{e^{3x + 1}}\sin 2x\) b) \(y' = {{3{x^2}} \over {2({x^3} - 1)}}\) c) \(y' = {{2x + {e^x}} \over {({x^2} + {e^x})\ln 2}}\) d) \(y' = {5^{{\rm{cos}}x{\rm{ + }}\sin x}}.( - \sin x + \cos x)ln5\) Câu 2.134 trang 92 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh rằng a) \(\log _a^2{b \over c} = \log _a^2{c \over b}\) b) \({\log _a}b{\log _b}c{\log _c}a = 1\) c) Trong ba số \(\log _{{a \over b}}^2{c \over b},\log _{{c \over b}}^2{a \over c},\log _{{c \over a}}^2{b \over a}\) luôn có ít nhất một số lớn hơn 1. Giải a) Do\({\log _a}{b \over c} = - {\log _a}{c \over b}\)nên\(\log _a^2{b \over c} = \log _a^2{c \over b}\) b) \({\log _a}b{\log _b}c{\log _c}a = {\log _b}c{\log _c}{a^{{{\log }_a}b}} = {\log _b}c{\log _c}b = 1\) c) Từ câu a) suy ra \(\log _{{a \over b}}^2{c \over b} = \log _{{a \over b}}^2{b \over c};\log _{{b \over c}}^2{a \over c} = \log _{{b \over c}}^2{c \over a};\log _{{c \over a}}^2{b \over a} = \log _{{c \over a}}^2{a \over b}\) Do đó\(\log _{{a \over b}}^2{c \over b}.\log _{{b \over c}}^2{a \over c}\log _{{c \over a}}^2{b \over a} = \log _{{a \over b}}^2{b \over c}\log _{{b \over c}}^2{c \over a}\log _{{c \over a}}^2{a \over b} = 1\) Vì vậy suy ra điều cần chứng minh. Câu 2.135 trang 93 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Giải các phương trình sau: a) \({9.243^{{{x + 5} \over {x - 7}}}} = {2187^{{{x + 17} \over {x - 3}}}}\) b) \({4^{\sqrt {{x^2} + 5} - x}} - {2^{\sqrt {{x^2} + 5} - x + 2}} = - 4\) c) \({\left| {2005 - x} \right|^{2006}} + {\left| {2006 - x} \right|^{2005}} = 1\) d) \({3^x} - {3^{ - x}} = \root 3 \of {8 - {x^2}} \) Giải a) Đưa cả hai vế về lũy thừa cùng cơ số 3. \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {3^2}{.3^{5.{{x + 5} \over {x - 7}}}} = {3^{7.{{x + 17} \over {x - 3}}}} \cr & \Leftrightarrow 2 + {{5\left( {x + 5} \right)} \over {x - 7}} = {{7.\left( {x + 17} \right)} \over {x - 3}} \cr} \) Giải ra ta được: \(x=10\) b) Đặt \(t = {2^{\sqrt {{x^2} + 5} - x}}\) ( với t > 0) ta có: \(\eqalign{ & {t^2} - 4t + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 5} - x = 1 \cr} \) Giải ra ta được: \(x = 2\) c) Nhận xét \(x = 2005\) và \(x = 2006\) là hai nghiệm, rồi chứng tỏ không còn nghiệm nào khác như sau : \( \bullet \) Với \(x < 2005\) hoặc \(x > 2006\), dễ thấy vế trái lớn hơn vế phải. \( \bullet \) Với \(2005 < x < 2006\) thì \(0 < \left| {2005 - x} \right| < 1,0 < \left| {2006 - x} \right| < 1\) Do đó \({\left| {2005 - x} \right|^{2006}} < \left| {2005 - x} \right| = x - 2005\) \({\left| {2006 - x} \right|^{2005}} < \left| {2006 - x} \right| = 2006 - x\) Dẫn đến vế trái nhỏ hơn vế phải. d) \(x = 0\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chỉ ra hai vế trái không nhỏ hơn 2, còn dễ thấy vế phải không nhỏ hơn 2. Câu 2.137 trang 93 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Giải các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \matrix{{5^x}{.2^y} = 500 \hfill \cr {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x - y} \right) = 4 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {\log _{27}}xy = 3{\log _{27}}x{\log _{27}}y \hfill \cr {\log _3}{x \over y} = {{3{{\log }_3}x} \over {4{{\log }_3}y}} \hfill \cr} \right.\) Giải a) Biến đổi phương trình về dạng \(\left\{ \matrix{ {5^x}{.2^y} = 500 \hfill \cr 2x - y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {5^x}{.2^{2x - 4}} = 500 \hfill \cr y = 2x - 4 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {20^x} = {20^3} \hfill \cr y = 2x - 4 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\) b) . Đưa về cùng lôgarit cơ số 3, ta có \(\left\{ \matrix{{\log _{27}}xy = 3{\log _{27}}x.{\log _{27}}y \hfill \cr{\log _3}{x \over y} = {{3{{\log }_3}x} \over {4{{\log }_3}y}} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\log _3}x + 3{\log _3}y = {\log _3}x{\log _3}y \hfill \cr{\log _3}x - {\log _3}y = {{3{{\log }_3}x} \over {4{{\log }_3}y}} \hfill \cr} \right.\) Rồi đặt \(u = {\log _3}x,v = {\log _3}y\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \matrix{u + v = uv \hfill \cr u - v = {{3u} \over {4v}} \hfill \cr} \right.\) Giải hệ rồi tìm x, y ta được: \(\left( {x;y} \right) = \left( {{1 \over 3};\sqrt 3 } \right);(x;y) = (27;3\sqrt 3 )\) Câu 2.138 trang 93 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Giải các bất phương trình sau: a) \(\left| {{{\log }_4}x - 3} \right| < 1\) b) \({\log _2}x + {\log _3}x < 1 + {\log _2}x{\log _3}x\) c) \({15^{2x + 3}} > {5^{3x + 1}}{.3^{x + 5}}\) d) \({{{{\log }^2_{a}}x.{{\log }_a}x + 2} \over {{{\log }_a}x - 2}} > 1\) với a > 0 và \(a \ne 1\) Giải a) Cách 1. \(\left| {{{\log }_4}x - 3} \right| < 1 \Leftrightarrow {({\log _4}x - 3)^2} < 1\) \(\Leftrightarrow \log _4^2x - 6{\log _4}x + 8 < 0\) \( \Leftrightarrow 2 < {\log _4}x < 4 \Leftrightarrow 16 < x < 256\). Cách 2.\(\left| {{{\log }_4}x - 3} \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < {\log _4}x - 3 < 1\) \(\Leftrightarrow 2<{\log _4}x < 4\) \( \Leftrightarrow 16 < x < 256\). b) Biến đổi bất phương trình về dạng \(({\log _2}x - 1)(1 - {\log _3}x) < 0\) Xảy ra hai trường hợp \( \bullet \left\{ \matrix{{\log _2}x - 1 > 0 \hfill \cr1 - {\log _3}x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 2 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 3\) \( \bullet \left\{ \matrix{ {\log _2}x - 1 < 0 \hfill \cr1 - {\log _3}x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{0 < x < 2 \hfill \cr0 < x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 2\) c) Chia cả hai vế của bất phương trình cho \({15^{2x + 3}}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {{5 \over 3}} \right)^x} < {{25} \over 9} \cr & \Leftrightarrow {\left( {{5 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{5 \over 3}} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow x < 2 \cr} \) d)Đặt\({\log _a}x = t\) (với \(t \ne 2\)), ta có \({{{t^2} + t + 2} \over {t - 2}} > 1 \Leftrightarrow t > 2\), tức là \({\log _a}x > 2\). Sau đó xét hai khả năng \(a > 1,0 < a < 1\) Kết luận: Với a > 1 thì \(x > {a^2}\) Với 0 < a < 1 thì 0 < x <\({a^2}\)
