Câu 3.20 trang 143 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Giả sử khi áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, ta dẫn đến \(\int {f\left( x \right)} dx = aG\left( x \right) - b\int {f\left( x \right)} dx\) Với \(b \ne 1\) Chứng minh rằng \(\int {f\left( x \right)} dx = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + C\) với C là hằng số. Giải Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx + b} \int {f\left( x \right)} dx = aG\left( x \right) + {C_1}\) (\({C_1}\) là hằng số nào đó). Hay \(\left( {b + 1} \right)f\left( x \right)dx = aG\left( x \right) + {C_1}\) Do đó: \(\int {f\left( x \right)dx} = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + {{{C_1}} \over {b + 1}} = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + C\) Câu 3.21 trang 144 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Sử dụng kết quả bài 3.20 để tìm a) \(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx\) b) \(\int {{e^x}\sin } xdx\) c) \(\int {{e^x}\sin 2} xdx\) Giải a) Đặt \(u = {e^x},v' = c{\rm{os}}x\), ta dẫn đến \(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin } xdx\) (1) Tương tự: \(\int {{e^x}\sin } xdx = - {e^x}{\rm{cos}}x + \int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx\) (2) Thay (2) vào (1), ta được \(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {e^x}\sin x + {e^x}{\rm{cos}}x - \int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx\) Suy ra \(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {1 \over 2}{e^x}\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right) + C\) Tương tự b) \({1 \over 2}{e^x}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - {\rm{cos}}x} \right) + C\) c) \({1 \over 2}{e^x}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - 2{\rm{cos2}}x} \right) + C\) Câu 3.22 trang 144 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(\int {{x^3}\sin } xdx\) b) \(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx\) Giải a) Đặt \(u = {x^3},v = - c{\rm{os}}x\) Ta có \(\int {{x^3}\sin } xdx = - {x^3}{\rm{cos}}x + 3\int {{x^2}{\rm{cos}}x} dx\). Tiếp tục tính \(\int {{x^2}{\rm{cos}}} xdx\) bằng cách lấy nguyên hàm từng phần. \(\int {{x^3}\sin } xdx\) \(= - {x^3}{\rm{cos}}x + 3{x^2}\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C\) b) \({{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\) Biến đổi \(u = \ln x\) . Khi đó \(\sin \left( {\ln x} \right)dx = {e^u}\sin udu\). Ta có \(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx = \int {e^u}\sin udu\) \(= {1 \over 2}{e^u}\left( {\sin u - c{\rm{os}}u} \right) + C\) \( = {{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\)
