Câu 4.4 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(1 - i\), \(2 + 3i\), \(3 + i\) và \(3i\), \(3 - 2i\), \(3 + 2i\) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. b) Biết các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) biểu diễn bởi ba đỉnh nào đó của một hình bình hành trong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diễn bởi đỉnh còn lại. Giải a) \(\overrightarrow {AB} \) biểu diễn \(1 + 4i\), \(\overrightarrow {AC} \) biểu biễn \(2 + 2i\), nên A, B, C không thẳng hàng và trọng tâm G thỏa mãn \(\overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\) nên G biểu diễn số \({1 \over 3}\left( {6 + 3i} \right)=2+i\) \(\overrightarrow {A'B'} \) biểu diễn \(3 - 5i\), \(\overrightarrow {A'C'} \) biểu diễn \(3 - i\), nên A’, B’, C’ không thẳng hàng và trọng tâm G’ thỏa mãn \(\overrightarrow {OG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} } \right)\) nên G’ biểu diễn số \(2 + i\) Vậy G trùng G’ b) \({z_1} + {z_2} - {z_3},{z_2} + {z_3} - {z_1},{z_3} + {z_1} - {z_2}\) Câu 4.6 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Gọi M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số \(z \ne 0\) và \(z' = {{1 + i} \over 2}z\). Chứng minh rằng tam giác OMM’ là tam giác vuông cân (O là gốc tọa độ) Giải Ta có \(\left| {\overline {OM} } \right| = \left| z \right|,\) \(\eqalign{& \left| {\overline {OM'} } \right| = \left| {{{1 + i} \over 2}} \right|\left| z \right| = {{\sqrt 2 } \over 2}\left| z \right| \cr & \left| {\overline {MM'} } \right| = \left| {\overline {OM'} - \overline {OM} } \right| = \left| {{{ - 1 + i} \over 2}} \right|\left| z \right| = {{\sqrt 2 } \over 2}\left| z \right| \cr} \) Do \(\left| z \right| \ne 0,\) suy ra tam giác OMM’ là tam giác vuông cân đỉnh M’ (h.4.5) Câu 4.7 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_0},{z_1}\) khác 0 thảo mãn đẳng thức \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}\). Chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác đều (O là gốc tọa độ). Giải Ta có: \(\eqalign{& z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Rightarrow {z_0}\left( {{z_1} - {z_0}} \right) = z_1^2 \cr&\Rightarrow \left| {{z_0}} \right|\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = {\left| {{z_1}} \right|^2} \cr & z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Rightarrow {z_1}\left( {{z_0} - {z_1}} \right) = z_0^2 \cr&\Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = {\left| {{z_0}} \right|^2} \cr} \) Vậy \(\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = {{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}} \over {\left| {{z_0}} \right|}} = {{{{\left| {{z_0}} \right|}^2}} \over {\left| {{z_1}} \right|}},\) suy ra \({\left| {{z_0}} \right|^3} = {\left| {{z_1}} \right|^3}\) Do đó \(\left| {{z_0}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} - {z_0}} \right|\) tức là OA = OB = AB (khác 0). Vậy tam giác OAB là tam giác đều. Câu 4.8 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho vectơ \(\vec u,\vec u'\) trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a) Chứng minh rằng tích vô hướng \(\vec u.\vec {u'}\) thỏa mãn \(\vec u.\vec {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar {z'}} \right)\) b) Từ câu a) suy ra rằng nếu \(\bar u \ne 0\) thì \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \({{z'} \over z}\) là số ảo. c) Chứng minh rằng \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\) Giải a) Viết \(z = x + yi,z' = x' + y'i\left( {x,y,x',y' \in R} \right)\) thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = xx' + yy'\) và \(\bar zz' + z\bar{ z'} = \left( {x - yi} \right)\left( {x' + y'i} \right) + \left( {x + yi} \right)\left( {x' - y'i} \right) \) \(= 2\left( {xx' + yy'} \right)\) nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar z'} \right)\) b) \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Leftrightarrow \bar zz' + z\bar {z'} = 0\), chia cả hai vế cho \(z\bar z \ne 0,\) được \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z} + {\bar {z'} \over{\overline z } } = 0\) \( \Leftrightarrow {{z'} \over z} + \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z}\) là số ảo. c) \(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\) \(\Leftrightarrow \left( {z + z'} \right)\left( {\overline {z + z'} } \right) = \left( {z - z'} \right)\left( {\overline {z - z'} } \right)\) \(\Leftrightarrow \bar zz' + z\bar{ z'} = 0,\) nên câu a) nó tương đương với \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}= 0\) (Chú ý: khi \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}\) không cùng phương, tính chất cuối này tương đương với tính chất: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật) Câu 4.9 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số: \( - 1 + i\), \( - 1 - i\), \(2i,\), \(2 - 2i\), Tìm các số \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) theo thứ tự biểu diện bởi các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} \). Tính \({{{z_1}} \over {{z_2}}},{{{z_3}} \over {{z_4}}}\) và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn (Xem bài tập 4.8). Tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào ? Giải (h.4.6) \(\overrightarrow {AC} \) biểu diễn số phức \({z_1} = 1 + i,(\overrightarrow {AD} \) biểu diễn số phức \({z_2} = 3 - 3i,\)do \({{{z_1}} \over {{z_2}}} = {{1 + i} \over {3 - 3i}} = {i \over 3}\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = 0\) (xem bài tập 4.8) \(\overrightarrow {BC} \) biểu diễn số phức \({z_3} = 1 + 3i,(\overrightarrow {BD} \) biểu diễn số phức \({z_4} = 3 - i.\) Do \({{{z_3}} \over {{z_4}}} = {{1 + 3i} \over {3 - i}} = i\) nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = 0\) (xem bài tập 4.8) Vậy CD là một đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Tâm đường tròn đó là trung điểm CD nên nó biểu diễn số \({{2i + \left( {2 - 2i} \right)} \over 2} = 1\) Câu 4.10 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: \(\left| {{z \over {z - i}}} \right| = k\) (k là số thực dương cho trước) Giải Viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì \(\left| {{z \over {z - i}}} \right| = \left| {{{x + yi} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}}} \right| = k \Leftrightarrow {{{x^2} + {y^2}} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = {k^2}\) - Nếu \(k = 1\) thì đẳng thức cuối này tương đương với \(y = {1 \over 2}.\). Tập hợp cần tìm là đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) (đường trung trực của đoạn thẳng OI, I biểu diễn số i) - Nếu \(k \ne 1\) thì đẳng thức cuối đó tương đương với \({x^2} + {y^2} - 2{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}y + {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}} = 0\) Tức là tương đương với \({x^2} + {\left( {y - {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right)^2} = {{{k^2}} \over {{{\left( {{k^2} - 1} \right)}^2}}}\) Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số \({{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}i,\) có bán kính bằng \(\left| {{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right|\) Câu 4.11 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Cho số phức \(\alpha \). Chứng minh rằng với mọi số phức z, ta có \(z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z = {\left| {z + \alpha } \right|^2} - \alpha \bar \alpha \) b) Từ câu a) hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn: \(z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z + k = 0\) Trong đó \(\alpha \) là số phức cho trước, k là số thực cho trước. Giải a) \({\left| {z + \alpha } \right|^2} - \alpha \overline \alpha = (z + a)\left( {\overline z + \overline \alpha } \right) - \alpha \overline \alpha \) \(= z\overline z + \overline \alpha z + \alpha \overline z \) b) \(z\overline z + \overline {\alpha }z - \alpha \overline z + k = 0 \Leftrightarrow {\left| {z +\alpha} \right|^2} = \alpha \overline \alpha - k\). Vậy khi \(\alpha \overline \alpha - k = {R^2} > 0\), tập hợp cần tìm đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số \( - \alpha \), có bán kính bằng R > 0 ; khi \(k = \alpha \overline \alpha \), tập hợp cần tìm chỉ là một điểm ( biểu diễn số \( - \alpha \)) ; khi \(k > \alpha \overline \alpha \), tập hợp cần tìm là tập rỗng . Câu 4.12 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời \(\left| {{{z - 1} \over {z - i}}} \right| = 1\) và \(\left| {{{z - 3i} \over {z + i}}} \right| = 1\) Giải Dễ thấy rằng tập hợp các điểm M của mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn \(\left| {{{z - {z_0}} \over {z - {z_1}}}} \right| = 1 ({z_0},{z_1}\) là hai số phức phân biệt cho trước) là đường trung trực của đoạn thẳng \({A_0}{A_1} ({A_0},{A_1}\) theo thứ tự biểu diễn \({z_0},{z_1}\)). Vậy điều kiện \(\left| {{{z - 1} \over {z - i}}} \right| = 1\) chứng tỏ điểm M biểu diễn số z phải nằm trên đường phân giác y = x ( viết \(z = x + yi\) (\(x,y \in R)\)). Còn điều kiện \(\left| {{{z - 3i} \over {z + i}}} \right| = 1\) chứng tỏ phần ảo của z phải bằng 1. Vậy z = 1 + i. Câu 4.13 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm số phức z thỏa mãn \({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^4} = 1\) Giải \({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {{{\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)}^2} + 1} \right] = 0\) Dễ thấy : \({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {{z + i} \over {z - i}} = \pm 1 \Leftrightarrow z = 0\) \({\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{{z + i} \over {z - i}}} \right)^2} - {i^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {{{z + i} \over {z - i}} - i} \right)\left( {{{z + i} \over {z - i}} + i} \right) = 0\) \(z = 1\)hoặc \(z = - 1\) Vậy các số z cần tìm là 0 , 1 ,-1.
