Câu 4.38 trang 183 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao Với mọi số ảo z, số \({z^2} + {\left| z \right|^2}\) là (A) Số thực dương (B) Số thực âm (C) Số 0 (D) Số ảo khác 0 Giải Chọn C Câu 4.39 trang 183 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao Nếu \(\left| z \right| = 1\) thì \({{{z^2} - 1} \over z}\) (A) Lấy mọi giá trị phức (B) Là số ảo (C) Bằng 0 (D) Lấy mọi giá trị thực Giải Chọn B Câu 4.40 trang 183 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao Tập hợp các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0\) là: (A) Tập hợp mọi số ảo (B) \(\left\{ { \pm i;0} \right\}\) (C) \(\left\{ { - i;0} \right\}\) (D) \(\left\{ 0 \right\}\) Giải Chọn A Câu 4.41 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao Nếu một acgumen của số phức \(z \ne 0\) là \(\varphi \) thì số phức \(\left( { - {z \over {{{\bar z}^2}}}} \right)\) có một acgumen là: (A) \( - \varphi \) (B) \( - \varphi + \pi \) (C) \(3\varphi + \pi \) (D) \(\varphi + \pi \) Giải Chọn C Câu 4.42 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao Nếu một acgumen của số phức \(z \ne 0\) là \(\varphi \) thì số phức \(i{z^2}\) có một acgumen là: (A) \( - 2\varphi \) (B) \(2\varphi + {\pi \over 2}\) (C) \(\varphi + \pi \) (D) \( - 2\varphi + {\pi \over 2}\) Giải Chọn B Câu 4.43 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số \(z' = \alpha z + \beta \) trong đó z là số phức tùy ý thỏa mãn \(\left| {z - {z_0}} \right| \le R({z_0},\alpha \ne 0,\beta \) là những số phức cho trước, R là số thực dương cho trước) Giải Vì \(\alpha \ne 0,z' = \alpha z + \beta \Leftrightarrow z = {{z' + \beta } \over \alpha }\), từ đó \(\left| {z - {z_0}} \right| \le R \Leftrightarrow \left| {{{z' - \beta } \over \alpha } - {z_0}} \right| \le R\) \(\Leftrightarrow \left| {z' - (\alpha {z_0} + \beta )} \right| \le R\left| \alpha \right|\) Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn ( kể cả đường tròn biên ) với tâm là điểm biểu diễn số \(\alpha {z_0} + \beta \), với bán kính bằng \(R\left| \alpha \right|\). Câu 4.44 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng hai số phức phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) khi và chỉ khi \({{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}\) là số ảo. Giải \({z_1} \ne {z_2}\) thì \({{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow {{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}} + \overline {\left( {{{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}} \right)} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)} + \left( {{z_1} - {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} = 0\) \( \Leftrightarrow 2\left( {{z_1}\overline {{z_1}} - {z_2}\overline {{z_2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\). Câu 4.45 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Cho số phức \(\alpha = a + bi\left( {a,b \in Z} \right)\) khác 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) sao cho \(\bar \alpha z + \alpha \bar z\) (k là số thực cho trước) là một đường thẳng. b) Tìm \(\alpha \) và k trong câu a) để đường thẳng nói trên đi qua điểm biểu diễn số 2 và 3i. Giải a) Từ \(\alpha = a + ib,z = x + iy\) \((a,b,x,y \in R)\) nên \(\overline \alpha z + \alpha \overline z = k \Leftrightarrow ax + by = {k \over 2}\) b) Chọn \(a = {1 \over 2},b = {1 \over 3}\) (tức \(\alpha = {1 \over 2} + {1 \over 3}i\)), k = 2 (không duy nhất). Câu 4.46 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) \(\left| {2i - 2\bar z} \right| = \left| {2z - 1} \right|\) b) \(\left| {2iz - 1} \right| = 2\left| {z + 3} \right|\) Giải a) \(\left| {2i - 2\bar z} \right| = \left| {2z - 1} \right| \Leftrightarrow \left| {i - \overline z } \right| = \left| {z - {1 \over 2}} \right|\) \(\Leftrightarrow \left| {z + i} \right| = \left| {z - {1 \over 2}} \right|\) Tập hợp cần tìm là đường trung trực của đoạn thẳng nối các điểm biểu diễn các số \( - i\) và \({1 \over 2}\) b) \(\left| {2i z- 1} \right| = 2\left| {z + 3} \right| \) \(\Leftrightarrow \left| {iz - {1 \over 2}} \right| = \left| {z + 3} \right|\) \(\Leftrightarrow \left| {z + {i \over 2}} \right| = \left| {z + 3} \right|\). Tập hợp cần tìm là đường trung trực của đoạn thẳng nối các điểm biểu diễn các số \( - {i \over 2}\) và \( - 3\) Câu 4.47 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(1 + 2i\), \(1 + \sqrt 3 + i\), \(1 + \sqrt 3 - i\),\(1 - 2i\) Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào ? Giải Vì mỗi cặp số \(1 + 2i\), \(1 - 2i\) và \(1 + \sqrt 3 + i\), \(1 + \sqrt 3 - i\) là cặp số phức liên hợp nên hai điểm A, D, hai điểm B, C đối xứng qua \(Ox\); phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân , do đó nó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng \(Ox\); J biểu diễn số thực \(x\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {JA} } \right| = \overrightarrow {\left| {JB} \right|} \Leftrightarrow \left| {1 - x + 2i} \right| = \left| {1 - x + \sqrt 3 + i} \right|\). Từ đó suy ra \(x\) = 1. (Cách khác : \(\overrightarrow {AB} \) biểu diễn số phức \( \sqrt 3 - i\), \(\overrightarrow {DB} \) biểu diễn số phức \(\sqrt 3 + 3i\) mà \({{\sqrt 3 + 3i} \over {\sqrt 3 - i}} = \sqrt 3 i\) nên \(\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.DB} = 0\). Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua \(Ox\)), \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AC} = 0\). Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B, C, D . ( h.4.13) Câu 4.48 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời \(\left| {{{z - 1} \over {z - 3}}} \right| = 1\) và \(\left| {{{z - 2i} \over {z + i}}} \right| = 2\) Giải Nếu viết \(z = x + yi\) \((x,y \in R)\) thì \(\left| {{{z - 1} \over {z - 3}}} \right| = 1 \Leftrightarrow x = 2\). Khi đó \(\left| {{{z - 2i} \over {z + i}}} \right| = {{\sqrt {4 + {{(y - 2)}^2}} } \over {\sqrt {4 + {{(y + 1)}^2}} }} = 2 \Leftrightarrow y = - 2\) Vậy \(z = 2 - 2i\) Câu 4.49 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Giải hệ phương trình hai phức z, w sau: \(\left\{ \matrix{ {z^3} + {{\rm{w}}^5} = 0 \hfill \cr {z^2}{\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^4} = 1 \hfill \cr} \right.\) Giải Xét hệ phương trình \(\left\{ \matrix{{z^3} + {{\rm{w}}^5} = 0(1) \hfill \cr{z^2}{\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^4} = 1(2) \hfill \cr} \right.\) Từ (2) suy ra \({z^6}{(\overline {\rm{w}} )^{12}} = 1\) Từ (1) suy ra \({z^6} = {{\rm{w}}^{10}}\) Vậy \({{\rm{w}}^{10}}{(\overline {\rm{w}} )^{12}} = 1\). Từ đó \({\left| {\rm{w}} \right|^{22}} = 1\) tức là \(\left| {\rm{w}} \right| = 1\); suy ra \(\left| {{z^6}} \right| = {\left| {\rm{w}} \right|^{10}}=1\) tức là \(\left| z \right| = 1\) Từ \({\rm{w}} = {1 \over {\rm{\overline w}}}\) và \({{\rm{w}}^{10}}{\left( {{\rm{\overline w}}} \right)^{12}} = 1\) suy ra \({\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^2} = 1\) nên w bằng 1 hoặc bằng -1. Từ \({\left( {{\rm{\overline w}}} \right)^2} = 1\) và (2) suy ra \({z^2} = 1\) tức z bằng 1 hoặc bằng -1. Từ (1) suy ra hệ có hai nghiệm là (1;-1) và (-1;1). Câu 4.50 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho \({{z + i} \over {\bar z + i}}\)là số thực. Giải Với \(z \ne i\) thì \({{z + i} \over {\overline z + i}}\) là số thực khi và chỉ khi \({{z + i} \over {\overline z + i}} = {{\overline z - i} \over {\bar z - i}}\) tức là khi và chỉ khi \({z^2} = {\bar z^2}\) mà \({z^2} - {\left( {\bar z} \right)^2} = \left( {z + \bar z} \right)\left( {z - \bar z} \right) = 0\) khi và chỉ khi \(z = \bar z\) hoặc \(z = - \bar z\). Vậy tập hợp cần tìm là tập hợp các điểm thuộc Ox và các điểm thuộc Oy khác điểm I (biểu diễn số i). Câu 4.52 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao cho \({\rm{cos}}a.c{\rm{os}}b.c{\rm{os}}c \ne 0\). Tìm phần ảo của số phức. \(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\) Rồi từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì: \({\rm{tana}} + \tan b + \tan c = t{\rm{ana}}.\tan b.\tan c\) Khi và chỉ khi \(a + b + c = k\pi \left( {k \in R} \right)\) Giải Phần ảo của số phức \(\left( {1 + i{\mathop{\rm tana}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanb}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanc}\nolimits} } \right)\) bằng \(\tan a + \tan b + \tan c - \tan a\tan b\tan c\) Vậy \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c\) khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của \(\pi \) Mặt khác , \(1 + i\tan a = {1 \over {{\rm{cos}}a}}\left( {{\rm{cos}}a + i\sin a} \right)\) có acgumen là \(a + l\pi \) (l là số nguyên bất kì); tương tự cho \(1 + i\tan b;1 + i\tan c\). Vậy \(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\) có acgumen là \(a + b + c + m\pi ,m \in Z\) Kết luận: \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c \) \(\Leftrightarrow a + b + c = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) Câu 4.53 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Viết dạng phương trình lượng giác của các số phức a) \({{1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi + isin\varphi } \right)} \over {1 + {\rm{cos}}\varphi + isin\varphi }}\) b) \(\left[ {1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi + isin\varphi } \right)} \right]\left( {1 + {\rm{cos}}\varphi + isin\varphi } \right)\) Giải a) Do \({{1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi + isin\varphi } \right)} \over {1 + {\rm{cos}}\varphi + isin\varphi }} = - i\tan {\varphi \over 2}\) nên: Khi \(\tan {\varphi \over 2} = 0\), số đó không có dạng lượng giác xác định. Khi \(\tan {\varphi \over 2} > 0\), dạng lượng giác của nó là \(\left( { \tan {\varphi \over 2}} \right)\left( {{\rm{cos}}{-\pi \over 2} + isin{-\pi \over 2}} \right)\) Khi \(\tan {\varphi \over 2} <0\), dạng lượng giác của nó là \(\left( { - \tan {\varphi \over 2}} \right)\left( {{\rm{cos}}{\pi \over 2} + isin{\pi \over 2}} \right)\) b) \(\left( {1 - {\rm{cos}}\varphi - isin\varphi } \right)\left( {1 + {\rm{cos}}\varphi + isin\varphi } \right) \) \(= 2\sin \varphi \left( {\sin \varphi - i\cos \varphi } \right)\) \( = 2\sin \varphi \left[ {{\rm{cos}}\left( {\varphi - {\pi \over 2}} \right) + isin\left( {\varphi - {\pi \over 2}} \right)} \right]\) Khi \(\sin \varphi = 0,\) nó không có dạng lượng giác xác định Khi \(\sin \varphi > 0,\) dạng trên là dạng lượng giác của nó Khi \(\sin \varphi < 0,\) dạng lượng giác của nó là \(\left( { - 2\sin \varphi } \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right) + isin\left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right)} \right]\) Câu 4.54 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Cho các số thực a, b sao cho \({{\sin a} \over 2} \ne 0\) Với mỗi số nguyên \(n \ge 1\), xét các tổng \(S = c{\rm{os}}b + c{\rm{os}}\left( {a + b} \right) + c{\rm{os}}\left( {2a + b} \right) + ... \) \(+ c{\rm{os}}\left( {na + b} \right)\) \(S = \sin b + \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {2a + b} \right) + ... \) \(+ \sin \left( {na + b} \right)\) Tính \(S + iT\), từ đó suy ra S và T b) Chứng minh rằng với mọi số thực \(a \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)\), với mỗi số nguyên \(n \ge 1\) ta có: \(\sin a + \sin 3a + ... + \sin \left( {2n - 1} \right)a = {{{{\sin }^2}na} \over {\sin a}}\) \({\rm{cos}}a + c{\rm{os}}3a + ... + c{\rm{os}}\left( {2n - 1} \right)a = {{\sin 2na} \over {2\sin a}}\) Giải a) Đặt \(\alpha = c{\rm{os}}a + i\sin a,\beta = \cos b + i\sin b\) thì \(\eqalign{& S = iT = \left[ {\cos b + i\sin b} \right] \cr&+ \left[ {\cos \left( {a + b} \right) + i\sin \left( {a + b} \right)} \right] \cr & + \left[ {\cos \left( {2a + b} \right) + i\sin \left( {2a + b} \right)} \right] + ... \cr&+ \left[ {\cos \left( {na + b} \right) + i\sin \left( {na + b} \right)} \right] \cr} \) \( = \beta + \beta \alpha + \beta {\alpha ^2} + ... + \beta {\alpha ^n}\) \( = \beta \left( {1\alpha + {\alpha ^2} + ... + {\alpha ^n}} \right)\) \( = \beta {{1 + {\alpha ^{n + 1}}} \over {1 - \alpha }}\) (để ý rằng \(\alpha \ne 1\) do \(\sin {a \over 2} \ne 0\)) \(\eqalign{& = \beta {{1 - \cos \left( {n + 1} \right)a - i\sin \left( {n + 1} \right)a} \over {1 - \cos a - i\sin a}} \cr & = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\sin {{n + 1} \over 2}a - i\cos {{n + 1} \over 2}a} \right].\cr&\;\;\;\;\;\left[ {\sin {a \over 2} + ic{\rm{os}}{a \over 2}} \right] \cr & = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left( {\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right) \cr & = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left( {\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right)\left( {\cos b + i\sin b} \right) \cr & = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\cos \left( {{{na} \over 2} + b} \right) + i\sin \left( {{{na} \over 2} + b} \right)} \right] \cr} \) Từ đó suy ra: \(S = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\cos \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\) \(T = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\sin \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\) Chú ý: Trong phần lượng giác ở lớp 11 đã có bài tập tương tự nhưng được giải bằng cách khác. b) Giải bằng phương pháp tương tự như câu a). Câu 4.55 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Trong mặt phẳng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1 (giả sử đi dọc chu vi đa giác theo ngược chiều kim đồng hồ gặp các đỉnh kế tiếp B, C, D, E). Kí hiệu \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các số phức theo thứ tự biểu diễn bởi các điểm B, C, D, E. a) Chứng minh rằng \(1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm của phương trình \({z^5} - 1 = 0\) và \({z_1} + {1 \over {{z_1}}} = 2\cos {{2\pi } \over 5}\) b) Viết \({z^5} - 1 = \left( {z - 1} \right)\left( {{z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1} \right)\) rồi đưa phương trình \({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0\) về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ \({\rm{w}} = z + {1 \over z}\). Từ đó suy ra \(\cos {{2\pi } \over 5} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 4}\) Giải a) \({z_1} = \cos {{2\pi } \over 5} + i\sin {{2\pi } \over 5},{z_2} = \cos {{4\pi } \over 5} + i\sin {{4\pi } \over 5}\) \({z_3} = \cos {{6\pi } \over 5} + i\sin {{6\pi } \over 5},{z_4} = \cos {{8\pi } \over 5} + i\sin {{8\pi } \over 5}\) Từ đó theo công thức Moa-vrơ, \(1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là nghiệm các phương trình \({z^5} - 1 = 0\) (đó là tất cả các nghiệm vì phương trình có bậc 5). \({z_1} + {1 \over {{z_1}}} = {z_1} + {\bar z_1} = 2\cos {{2\pi } \over 5}\) b) Với \(z \ne 0,\) \({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = {z^2}\left( {{z^2} + {1 \over {{z^2}}} + z + {1 \over z} + 1} \right)\) \( = {z^2}\left( {{{\left( {z + {1 \over z}} \right)}^2} + \left( {z + {1 \over z}} \right) - 1} \right) \) \(= {z^2}\left( {{{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1} \right)\), trong đó \({\rm{w}} = z + {1 \over z}\) Phương trình \({{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({{ - 1 \pm \sqrt 5 } \over 2}\) Vì \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là bốn nghiệm của phương trình \({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0\) tức là nghiệm của phương trình: \({\left( {z + {1 \over z}} \right)^2} + \left( {z + {1 \over z}} \right) - 1 = 0\) và \({z_4} = {\bar z_1} = {1 \over {{z_1}}},{z_3} = {\bar z_2} = {1 \over {{z_2}}}\) nên \({z_1} + {1 \over {{z_1}}},{z_2} + {1 \over {{z_2}}}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \({{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1 = 0\) Từ đó suy ra \(2\cos {{2\pi } \over 5} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2}\) (còn \(2\cos {{4\pi } \over 5} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\)) để ý rằng \(\cos {{2\pi } \over 5} > 0,\cos {{4\pi } \over 5} < 0\) (h.4.14) Câu 4.56 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức \(\omega \). Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z’ sao cho \(z' - \omega = i\left( {z - \omega } \right)\) là phép quay tâm A góc quay \({\pi \over 2}\) b) Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(\alpha ,\beta ,\gamma \). Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ \(\overrightarrow {NQ} ,\overrightarrow {NP} \) rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân. Giải a) M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’. Khi M trùng với A tức là \(z = \omega \) thì \(z' = \omega \) nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì \(\left| {\overrightarrow {AM'} } \right| = \left| {z' - \omega } \right| = \left| i \right|\left| {z - \omega } \right| = \left| {z - \omega } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|\) và một acgumen của \({{z' - \omega } \over {z - \omega }} = i\) là số đo góc lượng giác (AM,AM') nên góc này là \({\pi \over 2}\). Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay \({\pi \over 2}\) b) (h.4.15) Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay \({\pi \over 2}\) nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a) ta có \(q - {{\gamma + \alpha } \over 2} = i\left( {\gamma - {{\gamma + \alpha } \over 2}} \right)\) Từ đó \(q = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\gamma + \left( {1 - i} \right)\alpha } \right]\) Đổi \(\alpha \) thành \(\beta \), \(\gamma \) thành \(\alpha \), ta suy ra p biểu diễn bởi P là \(p = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha + \left( {1 - i} \right)\beta } \right]\) Vậy \(\overrightarrow {NP} \) biểu diễn số phức \(p - {1 \over 2}\left( {\beta + \gamma } \right) = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha - i\beta - \gamma } \right]\) và \(\overrightarrow {NQ} \) biểu diễn số phức \(q - {1 \over 2}\left( {\beta + \gamma } \right) = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 - i} \right)\alpha - \beta + i\gamma } \right]\). Rõ ràng \(i,{1 \over 2}\left[ {\left( {1 - i} \right)\alpha - \beta + i\gamma } \right] = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha - i\beta - \gamma } \right]\), nên suy ra \(NQ = NP\) và \(\overrightarrow {NQ},\overrightarrow {NP} \) vuông góc (h.4.15)
