Câu 11 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính: a. \({\left( {x + 2y} \right)^2}\) b. \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)\) c. \({\left( {5 - x} \right)^2}\) Giải: a. \({\left( {x + 2y} \right)^2})\) \(= {x^2} + 4xy + 4{y^2}\) b. \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)\) \( = {x^2} - {\left( {3y} \right)^2} = {x^2} - 9{y^2}\) c. \({\left( {5 - x} \right)^2}\) \( = {5^2} - 10x + {x^2} = 25 - 10x + {x^2}\) Câu 12 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính: a. \({\left( {x - 1} \right)^2}\) b. \({\left( {3 - y} \right)^2}\) c. \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\) Giải: a. \({\left( {x - 1} \right)^2}= {x^2} - 2x + 1\) b. \({\left( {3 - y} \right)^2}= 9 - 6y + {y^2}\) c. \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} = {x^2} - x + {1 \over 4}\) Câu 13 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: a. \({x^2} + 6x + 9\) b. \({x^2} + x + {1 \over 4}\) c. \(2x{y^2} + {x^2}{y^4} + 1\) Giải: a. \({x^2} + 6x + 9\)\( = {x^2} + 2.x.3 + {3^2} = {\left( {x + 3} \right)^2}\) b. \({x^2} + x + {1 \over 4}\) \(= {x^2} + 2.x.{1 \over 2} + {\left( {{1 \over 2}} \right)^2} = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2}\) c. \(2x{y^2} + {x^2}{y^4} + 1\)\( = {\left( {x{y^2}} \right)^2} + 2.x{y^2}.1 + {1^2} = {\left( {x{y^2} + 1} \right)^2}\) Câu 14 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Rút gọn biểu thức: a. \({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2}\) b. \(2\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2}\) c. \({\left( {x - y + z} \right)^2} + {\left( {z - y} \right)^2} + 2\left( {x - y + z} \right)\left( {y - z} \right)\) Giải: a. \({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2}\) \( = {x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2} = 2{x^2} + 2{y^2}\) b. \(2\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2}\) \( = {\left[ {\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right)} \right]^2} = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2}\) c. \({\left( {x - y + z} \right)^2} + {\left( {z - y} \right)^2} + 2\left( {x - y + z} \right)\left( {y - z} \right)\) \(\eqalign{ & = {\left( {x - y + z} \right)^2} + 2\left( {x - y + z} \right)\left( {y - z} \right) + {\left( {y - z} \right)^2} \cr & = {\left[ {\left( {x - y + z} \right) + \left( {y - z} \right)} \right]^2} = {x^2} \cr} \) Nhận xét: \(\eqalign{ & {\left( {z - y} \right)^2} = {z^2} - 2zy + {y^2}\,\,\,(1) \cr & {\left( {y - z} \right)^2} = {y^2} - 2yz + {z^2}\,\,\,(2) \cr & \text{Từ (1) và (2)} \Rightarrow {\left( {z - y} \right)^2} = {\left( {y - z} \right)^2} \cr} \) Câu 15 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \({a^2}\) chia cho 5 dư 1. Giải: Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 ⟹a=5k+4 (k∈N) Ta có: \(\eqalign{ & {a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 = 25{k^2} + 40k + 15 + 1 \cr & \cr} \) \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1\) \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1 \vdots 5\) . Vậy \({a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2}\) chia cho 5 dư 1 Câu 16 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: a. \({x^2} - {y^2}\) tại \(x = 87\) và \(y = 13\) b. \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) tại \(x = 101\) c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại \(x = 97\) Giải: a. \({x^2} - {y^2}\)\(= \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\) . Thay \(x = 87;y = 13\) Ta có: \({x^2} - {y^2}\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\) \( = \left( {87 + 13} \right)\left( {87 - 13} \right) = 100.74 = 7400\) b. \({x^3} - 3{x^2} + 3x – 1\) \( = {\left( {x - 1} \right)^3}\) Thay \(x = 101\) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {101 - 1} \right)^3} = {100^3} = 1000000\) c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) \( = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3} = {\left( {x + 3} \right)^3}\) Thay \(x = 97\) ta có: \({\left( {x + 3} \right)^3} = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000\) Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng: a. \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\) b. \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] = {a^3} + {b^3}\) c. \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\) Giải: a. Biến đổi vế trái: \(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \cr & = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} \cr} \) Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh. b. Biến đổi vế phải: \(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] \cr & = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \cr} \) Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh. c. Biến đổi vế phải: \(\eqalign{ & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2} \cr & = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \cr & = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \) Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh. Câu 18 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng tỏ rằng: a. \({x^2} - 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\) b. \(4x - {x^2} - 5 < 0\) với mọi \(x\) Giải: a. \({x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 2.x.3 + 9 + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 1\) Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + 1 > 0\) mọi \(x\) Vậy \({x^2} - 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\) b. \(4x - {x^2} - 5 = - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 1 = - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\) Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi ⇒\( - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\) mọi \(x\) ⇒\( - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1 < 0\) với mọi \(x\) Vậy \(4x - {x^2} - 5 < 0\)với mọi \(x\) Câu 19 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức: a. P\( = {x^2} - 2x + 5\) b. Q\( = 2{x^2} - 6x\) c. M\( = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10\) Giải: a. P\(= {x^2} - 2x + 5)\\( = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\) \( \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\) \( \Rightarrow P = 4\) là giá trị bé nhất ⇒ \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1\) Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi b. Q\( = 2{x^2} - 6x\)\( = 2\left( {{x^2} - 3x} \right) = 2\left( {{x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right)\) \( = 2\left[ {{{\left( {x - {2 \over 3}} \right)}^2} - {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} - {9 \over 2}\) Ta có: \({\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} - {9 \over 2} \ge - {9 \over 2}\) \( \Rightarrow Q = - {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow {\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\) Vậy \(Q = - {9 \over 2}\) là giá trị bé nhất của đa thức \(x = {2 \over 3}\) c. \(\eqalign{ & M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right) \cr & = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} - 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr} \) Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \) \( \Rightarrow M = {3 \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\) \( \Rightarrow y = - 3\) và \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\) Vậy \(M = {3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y = - 3\) và \(x = {1 \over 2}\) Câu 20 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức: a. \(A = 4x - {x^2} + 3\) b. \(B = x - {x^2}\) c. \(N = 2x - 2{x^2} - 5\) Giải: a. \(A = 4x - {x^2} + 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 = 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}\) Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) Suy ra: \(A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7\) Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\) b. \(B = x - {x^2})\\( = {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4} = {1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\) Vì \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\) c. \(N = 2x - 2{x^2} – 5\) \( = - 2\left( {{x^2} - x + {5 \over 2}} \right) = - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\) \( = - 2\left[ {{{\left( {x - {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] = - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}\) Vì\({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên\( - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\) Suy ra: \(N = - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \le - {9 \over 2}\) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( - {9 \over 2}\) tại \(x = {1 \over 2}\) Câu 3.1 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho \({x^2} + {y^2} = 26\) và\(xy = 5\) giá trị của\({\left( {x - y} \right)^2}\) là: A. 4 B. 16 C. 21 D. 36 Giải: Chọn B. 16 Câu 3.2 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Kết quả của tích \(\left( {{a^2} + 2a + 4} \right)\left( {a - 2} \right)\) là: A. \({\left( {a + 2} \right)^3}\) B. \({\left( {a - 2} \right)^3}\) C. \({a^3} + 8\) D. \({a^3} - 8\) Giải: Chọn D. \({a^3} - 8\) Câu 3.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Rút gọn các biểu thức: a. \(P = {\left( {5x - 1} \right)^2} + 2\left( {1 - 5x} \right)\left( {4 + 5x} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2}\) b. \(Q = {\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {y + x} \right)^3} + {\left( {y - x} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\) Giải: a. \(P = {\left( {5x - 1} \right)^2} + 2\left( {1 - 5x} \right)\left( {4 + 5x} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2}\) \(\eqalign{ & = {\left( {1 - 5x} \right)^2} + 2\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x + 4} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2} \cr & = {\left[ {\left( {1 - 5x} \right) + \left( {5x + 4} \right)} \right]^2} = {5^2} = 25 \cr} \) b. \(Q = {\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {y + x} \right)^3} + {\left( {y - x} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\) \(\eqalign{ & = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} + {y^3} + 3x{y^2} + 3{x^2}y + {x^3} + {y^3} - 3x{y^2} + 3{x^2}y \cr & - {x^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} = {x^3} + {y^3} \cr} \) Câu 3.4 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Rút gọn biểu thức: \(P = 12\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)\) Giải: \(P = 12\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)\) \(\eqalign{ & = {1 \over 2}\left( {{5^2} - 1} \right)\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{5^4} - 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{5^8} - 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{5^{16}} - 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) = {1 \over 2}\left( {{5^{32}} - 1} \right) \cr} \) Câu 3.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh hằng đẳng thức: \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\) Giải: Biến đổi vế trái: \(\eqalign{ & {\left( {a + b + c} \right)^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^3} = {\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3} \cr & = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + 3\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3} \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + 3ac\left( {a + b} \right) + 3bc\left( {a + b} \right) + 3{c^2}\left( {a + b} \right) \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \cr} \) Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.
