Câu 58 trang 39 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Thực hiện các phép tính : a. \(\left( {{9 \over {{x^3} - 9x}} + {1 \over {x + 3}}} \right):\left( {{{x - 3} \over {{x^2} + 3x}} - {x \over {3x + 9}}} \right)\) b. \(\left( {{2 \over {x - 2}} - {2 \over {x + 2}}} \right).{{{x^2} + 4x + 4} \over 8}\) c. \(\left( {{{3x} \over {1 - 3x}} + {{2x} \over {3x + 1}}} \right):{{6{x^2} + 10x} \over {1 - 6x + 9{x^2}}}\) d. \(\left( {{x \over {{x^2} - 25}} - {{x - 5} \over {{x^2} + 5x}}} \right):{{2x - 5} \over {{x^2} + 5x}} + {x \over {5 - x}}\) e. \(\left( {{{{x^2} + xy} \over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {{1 \over {x - y}} - {{2xy} \over {{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right)\) Giải: a. \(\left( {{9 \over {{x^3} - 9x}} + {1 \over {x + 3}}} \right):\left( {{{x - 3} \over {{x^2} + 3x}} - {x \over {3x + 9}}} \right)\) \(\eqalign{ & = \left[ {{9 \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + {1 \over {x + 3}}} \right]:\left[ {{{x - 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} - {x \over {3\left( {x + 3} \right)}}} \right] \cr & = {{9 + x\left( {x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}:{{3\left( {x - 3} \right) - {x^2}} \over {3x\left( {x + 3} \right)}} = {{{x^2} - 3x + 9} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}.{{3x\left( {x + 3} \right)} \over {3x - 9 - {x^2}}} \cr & = {{3\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)} \over {\left( {3 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}} = {3 \over {3 - x}} \cr} \) b. \(\left( {{2 \over {x - 2}} - {2 \over {x + 2}}} \right).{{{x^2} + 4x + 4} \over 8}\)\( = {{2\left( {x + 2} \right) - 2\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over 8}\) \( = {{2x + 4 - 2x + 4} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over 8} = {8 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over 8} = {{x + 2} \over {x - 2}}\) c. \(\left( {{{3x} \over {1 - 3x}} + {{2x} \over {3x + 1}}} \right):{{6{x^2} + 10x} \over {1 - 6x + 9{x^2}}}\)\( = {{3x\left( {3x + 1} \right) + 2x\left( {1 - 3x} \right)} \over {\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}:{{2x\left( {3x + 5} \right)} \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\) \(\eqalign{ & = {{9{x^2} + 3x + 2x - 6{x^2}} \over {\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}} \over {2x\left( {3x + 5} \right)}} = {{x\left( {3x + 5} \right)} \over {\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}} \over {2x\left( {3x + 5} \right)}} \cr & = {{1 - 3x} \over {2\left( {1 + 3x} \right)}} \cr} \) d. \(\left( {{x \over {{x^2} - 25}} - {{x - 5} \over {{x^2} + 5x}}} \right):{{2x - 5} \over {{x^2} + 5x}} + {x \over {5 - x}}\) \(\eqalign{ & = \left[ {{x \over {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} - {{x - 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}}} \right]:{{2x - 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}} + {x \over {5 - x}} \cr & = {{{x^2} - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.{{x\left( {x + 5} \right)} \over {2x - 5}} + {x \over {5 - x}} \cr & = {{{x^2} - {x^2} + 10x - 25} \over {\left( {x - 5} \right)\left( {2x - 5} \right)}} + {x \over {5 - x}} = {{5\left( {2x - 5} \right)} \over {\left( {x - 5} \right)\left( {2x - 5} \right)}} - {x \over {x - 5}} \cr & = {5 \over {x - 5}} - {x \over {x - 5}} = {{5 - x} \over {x - 5}} = {{ - \left( {x - 5} \right)} \over {x - 5}} = - 1 \cr} \) e. \(\left( {{{{x^2} + xy} \over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {{1 \over {x - y}} - {{2xy} \over {{x^3} - {x^2}y + x{y^2} - {y^3}}}} \right)\) \(\eqalign{ & = \left[ {{{{x^2} + xy} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right]:\left[ {{1 \over {x - y}} - {{2xy} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)}}} \right] \cr & = {{{x^2} + xy + y\left( {x + y} \right)} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}:{{{x^2} + {y^2} - 2xy} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)}} \cr & = {{{x^2} + xy + xy + {y^2}} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}.{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)} \over {{{\left( {x - y} \right)}^2}}} \cr & = {{{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}.{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)} \over {{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = {{x + y} \over {x - y}} \cr} \) Câu 59 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh đẳng thức : a. \(\left( {{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} + 8}} - {{2{x^2}} \over {8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right)\left( {1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \right) = {{x + 1} \over {2x}}\) b. \(\left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.\left( {{{x + 1} \over {3x}} - x - 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over x} = {{2x} \over {x - 1}}\) c. \(\left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {{1 \over x} + 1} \right) + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over {{x^3}}} = {x \over {x - 1}}\) Giải: a. Biến đổi vế trái : \(\left( {{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} + 8}} - {{2{x^2}} \over {8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right)\left( {1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \right)\) \(\eqalign{ & = \left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - {{2{x^2}} \over {4\left( {2 - x} \right) + {x^2}\left( {2 - x} \right)}}} \right]{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = \left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - {{2{x^2}} \over {\left( {2 - x} \right)\left( {4 + {x^2}} \right)}}} \right]{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{\left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {2 - x} \right) - 4{x^2}} \over {2\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{2{x^2} - {x^3} - 4x + 2{x^2} - 4{x^2}} \over {2\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{{x^2} - 2x + x - 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{ - x\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {2\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right)} \over {{x^2}}} \cr & = {{x\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2}}} = {{x + 1} \over {2x}} \cr} \) Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh. b. Biến đổi vế trái: \(\eqalign{ & \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.\left( {{{x + 1} \over {3x}} - x - 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over x} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.{{x + 1 - 3x\left( {x + 1} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} - {{2\left( {1 - 3x} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}} = {{2 - 2 + 6x} \over {3x}}.{x \over {x - 1}} = 2.{x \over {x - 1}} = {{2x} \over {x - 1}} \cr} \) Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh. c. Biến đổi vế trái : \(\eqalign{ & \left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {{1 \over x} + 1} \right) + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over {{x^3}}} \cr & = \left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.{{x + 1} \over x} + {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x - 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {{{x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x - 1}} = {{2x + {x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^3}} \over {x - 1}} \cr & = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^3}} \over {x - 1}} = {x \over {x - 1}} \cr} \) Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh. Câu 60 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức : a. \({{{x \over {x - 1}} - {{x + 1} \over x}} \over {{x \over {x + 1}} - {{x - 1} \over x}}}\) b. \({{{5 \over 4} - {5 \over {x + 1}}} \over {{{9 - {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}}}\) Giải: a. \({{{x \over {x - 1}} - {{x + 1} \over x}} \over {{x \over {x + 1}} - {{x - 1} \over x}}}\)\( = \left( {{x \over {x - 1}} - {{x + 1} \over x}} \right):\left( {{x \over {x + 1}} - {{x - 1} \over x}} \right)\) \( = {{{x^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {x\left( {x - 1} \right)}}:{{{x^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {x\left( {x + 1} \right)}} = {1 \over {x\left( {x - 1} \right)}}.{{x\left( {x + 1} \right)} \over 1} = {{x + 1} \over {x - 1}}\) b. \({{{5 \over 4} - {5 \over {x + 1}}} \over {{{9 - {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}}}\)\( = \left( {{5 \over 4} - {5 \over {x + 1}}} \right):\left( {{{9 - {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \right) = {{5\left( {x + 1} \right) - 20} \over {4\left( {x + 1} \right)}}:{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = {{5\left( {x - 3} \right)} \over {4\left( {x + 1} \right)}}.{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = {{ - 5\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {4\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = {{ - 5\left( {x + 1} \right)} \over {4\left( {3 + x} \right)}}\) Câu 61 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức \({{{x^2} - 25} \over {x + 1}} = 0\) khi \({x^2} - 25 = 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\) và\(x \ne - 1\). Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi \(x = \pm 5\) Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 : a. \({{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\) b. \({{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) Giải: a. \({{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\)= 0 khi \(98{x^2} - 2 = 0\) và x – 2 ≠ 0 Ta có: x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 \(\eqalign{ & 98{x^2} - 2 = 0 \Rightarrow 2\left( {49{x^2} - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left( {7x - 1} \right)\left( {7x + 1} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {\matrix{ {7x + 1 = 0} \cr {7x - 1 = 0} \cr} \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = - {1 \over 7}} \cr {x = {1 \over 7}} \cr} } \right.} \right. \cr} \) \(x = {1 \over 7}\)và \(x = - {1 \over 7}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ 2 Vậy \(x = {1 \over 7}\) hoặc \(x = - {1 \over 7}\) thì phân thức \({{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\) có giá trị bằng 0. b. \({{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)\( = {{3x - 2} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\) khi 3x – 2 = 0 và \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\) Ta có : \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1\) \(3x - 2 = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\) \(x = {2 \over 3}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ - 1 Vậy \(x = {2 \over 3}\) thì phân thức \({{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) có giá trị bằng 0. Câu 62 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định : a. \({{2x - 3} \over {{{x - 1} \over {x + 2}}}}\) b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\) c. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\) d. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\) Giải: a. \({{2x - 3} \over {{{x - 1} \over {x + 2}}}}\) biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 và x ≠ -2. Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ - 2 b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\) biểu thức xác định khi và x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ 1. Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 0 và x ≠ 1 c. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} - 10x + 25 \ne 0\) và x ≠ 0 \({x^2} - 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\) Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 0 và x ≠ 5 d. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} + 10x + 25 \ne 0\) và x – 5 ≠ 0. \(\eqalign{ & {x^2} + 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne - 5 \cr & x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5 \cr} \) Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 5 và x ≠ -5 Câu 63 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0 Giải: a. \({{{{2x - 3} \over {x - 1}}} \over {x + 2}}\) điều kiện x ≠ 1 và x ≠ -2 \( \Rightarrow {{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {x - 1}} = 0\) biểu thức bằng 0 khi \(\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) và \(x - 1 \ne 0\) \(\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0\)hoặc \(x + 2 = 0\) \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5;x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2\) \(x = - 2\) không thỏa mãn điều kiện, \(x = 1,5\) thỏa mãn điều kiện. Vậy \(x = 1,5\) thì biểu thức \({{{{2x - 3} \over {x - 1}}} \over {x + 2}}\) có giá trị bằng 0. b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}} = 0\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 1 \( \Rightarrow {{2{x^2} + 1} \over {x\left( {x - 1} \right)}} = 0\) biểu thức có giá trị bằng 0 khi \(2{x^2} + 1 = 0\) và \(x\left( {x - 1} \right) \ne 0\) Ta có: \(2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 1 \ne 0\) với mọi x Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\) có giá trị bằng 0 c. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 5 \( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)x} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {{x\left( {x + 5} \right)} \over {x - 5}} = 0\) Biểu thức có giá trị bằng 0 khi x (x + 5) = 0 và x – 5 ≠ 0 \(x\left( {x + 5} \right) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5\) x = 0 không thỏa mãn điều kiện, x = - 5 thỏa mãn điều kiện Vậy x = -5 thì biểu thức \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\) có giá trị bằng 0 d. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\) điều kiện x ≠ 5 và x ≠ -5 \( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 5} \right)} \over {{x^2} + 10x + 25}} = 0 \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right){{\left( {x - 5} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 0\) \( \Rightarrow {{{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \over {x + 5}} = 0\). Biểu thức bằng 0 khi \({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\) và \(x + 5 \ne 0\) \({\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) \(x = 5\) không thỏa mãn điều kiện. Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\) có giá trị bằng 0. Câu 64 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến : a. \({{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\) b. \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\) c. \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\) d. \(\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\) Giải: a. \({{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\) Ta có: \(x - {1 \over x}\) xác định khi x ≠ 0 \({{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}\) xác định khi x ≠ 0 \(\eqalign{ & {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x} \ne 0 \Rightarrow {{{x^2} - 1} \over x} \ne 0 \Rightarrow {x^2} - 1 \ne 0 \cr & \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1;x \ne 1 \cr} \) Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định. \({{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)\( = {{{{{x^2} - 1} \over x}} \over {{{{x^2} - 1} \over x}}} = {{{x^2} - 1} \over x}.{x \over {{x^2} - 1}} = 1\) b. \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\) Ta có: \({x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}\) xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ \(x \ne \pm 1\) \({{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}\) xác định khi x – 1 ≠ 0 và \({x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1\) \({{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}} \ne 0 \Rightarrow {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\) \( \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0 \Rightarrow {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ne 0\) mọi x Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1 \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)\( = {{{{x\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \over {{{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}} = {{{x^2} + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {1 \over 2}\) c. \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\) Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, \({x^2} - 2x + 1 \ne 0\)và \({x^2} - 1 \ne 0\) \(\eqalign{ & x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1;x \ne 1 \cr} \) Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1 Ta có: \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\) \(\eqalign{ & = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cr & = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr & = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + x - x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} \cr & = {{ - \left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} = - 1 \cr} \) d. \(\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\) Biểu thức xác định khi \(\eqalign{ & {x^2} - 36 \ne 0,{x^2} + 6x \ne 0,6 - x \ne 0,2x - 6 \ne 0 \cr & {x^2} - 36 \ne 0 \Rightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 6;x \ne - 6 \cr & {x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0;x \ne - 6 \cr & 6 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6 \cr & 2x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \cr} \) Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định. Ta có : \(\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\) \(\eqalign{ & = \left[ {{x \over {\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} - {{x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}}} \right]:{{2x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}} + {x \over {6 - x}} \cr & = {{{x^2} - {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}} = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}} \cr & = {{12\left( {x - 3} \right)} \over {x - 6}}.{1 \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}} = {6 \over {x - 6}} - {x \over {x - 6}} = {{ - \left( {x - 6} \right)} \over {x - 6}} = - 1 \cr} \) Câu 65 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng : a. Giá trị của biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1 b. Giá trị của biểu thức \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) bằng 1 khi \(x \ne 0,x \ne - 3,x \ne 3,x \ne - {3 \over 2}\) Giải: a. \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) Biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\) xác định khi \(x \ne 0\) Biểu thức \({{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)\) xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay xác định khi \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1\) Vậy với điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne 1\) Ta có : \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) \(\eqalign{ & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}.{{1 + x} \over x}} \right] \cr & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left( {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over x}} \right) = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2}}} \cr & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}} = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 \cr} \) b. Biểu thức : \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) xác định khi \(x - 3 \ne 0,2x + 3 \ne 0,{x^2} - 3x \ne 0\) và \({x^2} - 9 \ne 0\) hay \(x \ne 3;x \ne - {3 \over 2};x \ne 0;x \ne 3\) và \(x \ne \pm 3\) Vậy điều kiện \(x \ne 0,x \ne 3,x \ne - 3\) và \(x \ne - {3 \over 2}\) Ta có: \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) \(\eqalign{ & = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left[ {{{x + 3} \over {x\left( {x - 3} \right)}} - {x \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right] \cr & = {x \over {x - 3}} - {{x\left( {x + 3} \right)} \over {2x + 3}}.{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - {x^2}} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cr & = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 6x + 9 - {x^2}} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {x \over {x - 3}} - {{3\left( {2x + 3} \right)} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)}} \cr & = {x \over {x - 3}} - {3 \over {x - 3}} = {{x - 3} \over {x - 3}} = 1 \cr} \) Câu 66 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chú ý rằng nếu c > 0 thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a - b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng : a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức \({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) luôn luôn có giá trị dương; b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức : \({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm. Giải: a. \({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) \(\eqalign{ & = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2} \cr} \) Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của x. Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne - 1\) và \(x \ne 1\) b. \({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne - 3\) \(\eqalign{ & = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}} = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}} \cr & = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x - 3}} \cr & = - {x^2} + 4x - 5 = - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) \cr} \) Vì \({x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của x nên \( - \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của x. Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\)và \(x \ne - 3\) Câu 67 trang 42 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chú ý rằng vì \({\left( {x + a} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} = 0\) khi \(x = - a\) nên \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} + b = b\) khi\(x = - a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x + a} \right)^2} + b\) bằng b khi\(x = - a\). Áp dụng điều này giải các bài tập sau : a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức \({{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy. Giải: a. \({{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) (điều kiện \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\) ) \(\eqalign{ & = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{x^2} + 4 - 4x} \over x} + 3 = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \over x} + 3 \cr & = x\left( {x - 2} \right) + 3 = {x^2} - 2x + 1 + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \cr} \) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi giá trị của x nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi \(x = 1\) \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại \(x = 1\) b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) (điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne - 2\)) \(\eqalign{ & = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 - {x^2}} \over {x + 2}} - {{{x^2} + 6x + 4} \over x} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - {x^2}} \right)} \over x} - {{{x^2} + 6x + 4} \over x} \cr & = {{{x^2} + 2x - {x^3} + 2x + 4 - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 4} \over x} = {{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x} \over x} \cr & = {{ - x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x} = - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = - \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right] \cr & = - \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] = - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \cr & {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le - 1 \cr} \) nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = - 1 x = - 1 thỏa mãn điều kiện. Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = - 1 Câu II.1 trang 42 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. (Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, Miền Bắc năm 1963) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = -1,76 và \(y = {3 \over {25}}\) \(P = \left[ {\left( {{{x - y} \over {2y - x}} - {{{x^2} + {y^2} + y - 2} \over {{x^2} - xy - 2{y^2}}}} \right):{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} - 4} \over {{x^2} + y + xy + x}}} \right]:{{x + 1} \over {2{x^2} + y + 2}}\) Giải: Ta có : \(\eqalign{ & P = \left[ {\left( {{{x - y} \over {2y - x}} - {{{x^2} + {y^2} + y - 2} \over {{x^2} - xy - 2{y^2}}}} \right):{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} - 4} \over {{x^2} + y + xy + x}}} \right]:{{x + 1} \over {2{x^2} + y + 2}} \cr & = \left[ {\left( {{{x - y} \over {2y - x}} - {{{x^2} + {y^2} + y - 2} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right)}}} \right):{{{{\left( {2{x^2} + y} \right)}^2} - 4} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = \left[ {{{\left( {y - x} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + y - 2} \right)} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right)}}.{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {2{x^2} + y + 2} \right)\left( {2{x^2} + y - 2} \right)}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = \left[ {{{{y^2} - {x^2} - {x^2} - {y^2} - y + 2} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right)}}.{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {2{x^2} + y + 2} \right)\left( {2{x^2} + y - 2} \right)}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = {{ - \left( {2{x^2} + y - 2} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right)\left( {2{x^2} + y + 2} \right)\left( {2{x^2} + y - 2} \right)}}.{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = {{ - \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x - 2y} \right)\left( {2{x^2} + y + 2} \right)}}.{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} = {{ - 1} \over {x - 2y}} = {1 \over {2y - x}} \cr} \) Thay \(x = - 1,76;y = {3 \over {25}}\) \(P = {1 \over {2.{3 \over {25}} - \left( { - 1,76} \right)}} = {1 \over {0,24 + 1,76}} = {1 \over 2}\) Câu II.2 trang 42 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. (Đề thi học sinh giỏi, lớp 8 toàn quốc năm 1980). Thực hiện phép tính : \({1 \over {\left( {b - c} \right)\left( {{a^2} + ac - {b^2} - bc} \right)}} + {1 \over {\left( {c - a} \right)\left( {{b^2} + ab - {c^2} - ac} \right)}} + {1 \over {\left( {a - b} \right)\left( {{c^2} + bc - {a^2} - ab} \right)}}\) Giải: \({1 \over {\left( {b - c} \right)\left( {{a^2} + ac - {b^2} - bc} \right)}} + {1 \over {\left( {c - a} \right)\left( {{b^2} + ab - {c^2} - ac} \right)}} + {1 \over {\left( {a - b} \right)\left( {{c^2} + bc - {a^2} - ab} \right)}}\) \(\eqalign{ & = {1 \over {\left( {b - c} \right)\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) + c\left( {a - b} \right)} \right]}} + {1 \over {\left( {c - a} \right)\left[ {\left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right) + a\left( {b - c} \right)} \right]}} \cr & + {1 \over {\left( {a - b} \right)\left[ {\left( {c + a} \right)\left( {c - a} \right) + b\left( {c - a} \right)} \right]}} \cr & = {1 \over {\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {a + b + c} \right)}} + {1 \over {\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a + b + c} \right)}} + {1 \over {\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)}} \cr & = {{c - a + a - b + b - c} \over {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)}} = 0 \cr} \)
