Câu 35 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Em hãy chọn khẳng định đúng trong hai khẳng định dưới đây: a. Hai phương trình tương đươngvới nhau thì phải có cùng ĐKXĐ. b. Hai phương trình có cùng ĐKXĐ có thể không tương đương với nhau. Giải: Phát biểu trong câu b là đúng. Câu 36 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Khi giải phương trình \({{2 - 3x} \over { - 2x - 3}} = {{3x + 2} \over {2x + 1}}\) , bạn Hà làm như sau: Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có: \(\eqalign{ & {{2 - 3x} \over { - 2x - 3}} = {{3x + 2} \over {2x + 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2 - 3x} \right)\left( {2x + 1} \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( { - 2x - 3} \right) \cr & \Leftrightarrow - 6{x^2} + x + 2 = - 6{x^2} - 13x - 6 \cr & \Leftrightarrow 14x = - 8 \cr & \Leftrightarrow x = - {4 \over 7} \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {4 \over 7}\) Em hãy cho biết ý kiến về lời giải của bạn Hà. Giải: Đáp số của bài toán đúng nhưng lời giải của bạn Hà chưa đầy đủ. Lời giải của bạn Hà thiếu bước tìm điều kiện xác định và bước đối chiếu giá trị của x tìm được với điều kiện để kết luận nghiệm. Trong bài toán trên thì điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ne - {3 \over 2}\)và \(x \ne - {1 \over 2}\) So sánh với điều kiện xác định thì giá trị \(x = - {4 \over 7}\) thỏa mãn. Vậy \(x = - {4 \over 7}\) là nghiệm của phương trình. Câu 37 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Các khẳng định sau đây đúng hay sai: a. Phương trình \({{4x - 8 + \left( {4 - 2x} \right)} \over {{x^2} + 1}} = 0\) có nghiệm là x = 2 b. Phương trình \({{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - x - 2} \over {{x^2} - x + 1}} = 0\) có tập nghiệm là S = { -2; 1 }. c. Phương trình \({{{x^2} + 2x + 1} \over {x + 1}} = 0\) có nghiệm là x = -1 d. Phương trình \({{{x^2}\left( {x - 3} \right)} \over x} = 0\) có tập nghiệm là S = {0; 3} Giải: a. Đúng Vì \({x^2} + 1 > 0\) với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình: \(4x - 8 + \left( {4 - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\) b. Đúng Vì \({x^2} - x + 1 = {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} > 0\) với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình: \(\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 2} \right)\) \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\)hoặc \(2x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 2\)hoặc \(x = 1\) c. Sai Vì điều kiện xác định của phương trình là \( x + 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne - 1\) Do vậy phương trình \({{{x^2} + 2x + 1} \over {x + 1}} = 0\) không thể có nghiệm x = -1 d. Sai Vì điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\) Do vậy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình \({{{x^2}\left( {x - 3} \right)} \over x} = 0\). Câu 38 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Giải các phương trình sau: a. \({{1 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{2x + 3} \over {x + 1}}\) b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x - 3}} - 1 = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\) c. \({{5x - 2} \over {2 - 2x}} + {{2x - 1} \over 2} = 1 - {{{x^2} + x - 3} \over {1 - x}}\) d. \({{5 - 2x} \over 3} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {3x - 1}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {9x - 3}}\) Giải: a. \({{1 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{2x + 3} \over {x + 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{1 - x} \over {x + 1}} + {{3\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}} = {{2x + 3} \over {x + 1}} \cr & \Leftrightarrow 1 - x + 3\left( {x + 1} \right) = 2x + 3 \cr & \Leftrightarrow 1 - x + 3x + 3 - 2x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 0x = - 1 \cr} \) Phương trình vô nghiệm. b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x - 3}} - 1 = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne {3 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x - 3}} - {{2x - 3} \over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {2x - 3} \right) = {x^2} + 10 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 2x + 3 - {x^2} - 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x = 3 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {3 \over 2}\) (loại) Phương trình vô nghiệm. c. \({{5x - 2} \over {2 - 2x}} + {{2x - 1} \over 2} = 1 - {{{x^2} + x - 3} \over {1 - x}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{5x - 2} \over {2\left( {1 - x} \right)}} + {{\left( {2x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {2\left( {1 - x} \right)}} = {{2\left( {1 - x} \right)} \over {2\left( {1 - x} \right)}} - {{2\left( {{x^2} + x - 3} \right)} \over {2\left( {1 - x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 5x - 2 + \left( {2x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 2\left( {1 - x} \right) - 2\left( {{x^2} + x - 3} \right) \cr & \Leftrightarrow 5x - 2 + 2x - 2{x^2} - 1 + x - 2 + 2x + 2{x^2} + 2x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 5x + 2x + x + 2x + 2x = 2 + 6 + 2 + 1 \Leftrightarrow 12x = 11 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {{11} \over {12}}\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{11} \over {12}}\) d. \({{5 - 2x} \over 3} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {3x - 1}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {9x - 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne {1 \over 3}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {5 - 2x} \right)\left( {3x - 1} \right)} \over {3\left( {3x - 1} \right)}} + {{3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {3\left( {3x - 1} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {3\left( {3x - 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {5 - 2x} \right)\left( {3x - 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right) \cr & \Leftrightarrow 15x - 5 - 6{x^2} + 2x + 3{x^2} - 3 = x - 3{x^2} + 2 - 6x \cr & \Leftrightarrow - 6{x^2} + 3{x^2} + 3{x^2} + 15x + 2x - x + 6x = 2 + 5 + 3 \cr & \Leftrightarrow 22x = 10 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {5 \over {11}}\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {5 \over {11}}\) Câu 39 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. a. Tìm x sao cho giá trị của biểu thức \({{2{x^2} - 3x - 2} \over {{x^2} - 4}}\) bằng 2 b. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức \({{6x - 1} \over {3x + 2}}\)và \({{2x + 5} \over {x - 3}}\) bằng nhau. c. Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức \({{y + 5} \over {y - 1}} - {{y + 1} \over {y - 3}}\)và \({{ - 8} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}}\) bằng nhau Giải: a. Ta có: \({{2{x^2} - 3x - 2} \over {{x^2} - 4}}\) = 2 ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 2\left( {{x^2} - 4} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 2{x^2} - 8 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2{x^2} - 3x = - 8 + 2 \cr} \) \( \Leftrightarrow - 3x = - 6\) \( \Leftrightarrow x = 2\) (loại) Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán. b. Ta có: \({{6x - 1} \over {3x + 2}}\)= \({{2x + 5} \over {x - 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - {2 \over 3}\)và \(x \ne 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {6x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {{\left( {2x + 5} \right)\left( {3x + 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {6x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr & \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x - x + 3 = 6{x^2} + 4x + 15x + 10 \cr & \Leftrightarrow 6{x^2} - 6{x^2} - 18x - x - 4x - 15x = 10 - 3 \cr & \Leftrightarrow - 38x = 7 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - {7 \over {38}}\) (thỏa) Vậy khi \(x = - {7 \over {38}}\) thì giá trị của hai biểu thức \({{6x - 1} \over {3x + 2}}\) và \({{2x + 5} \over {x - 3}}\) c. Ta có: \({{y + 5} \over {y - 1}} - {{y + 1} \over {y - 3}}\)= \({{ - 8} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}}\) ĐKXĐ: \(y \ne 1\)và \(y \ne 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {y + 5} \right)\left( {y - 3} \right)} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}} - {{\left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}} = {{ - 8} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {y + 5} \right)\left( {y - 3} \right) - \left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = - 8 \cr & \Leftrightarrow {y^2} - 3y + 5y - 15 - {y^2} + 1 = - 8 \cr & \Leftrightarrow 2y = 6 \cr} \) \( \Leftrightarrow y = 3\) (loại) Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 40 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Giải các phương trình sau: a. \({{1 - 6x} \over {x - 2}} + {{9x + 4} \over {x + 2}} = {{x\left( {3x - 2} \right) + 1} \over {{x^2} - 4}}\) b. \(1 + {x \over {3 - x}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {2 \over {x + 2}}\) c. \({2 \over {x - 1}} + {{2x + 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}}\) d. \({{{x^3} - {{\left( {x - 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} = {{7x - 1} \over {4x + 3}} - {x \over {x - 5}}\) Giải: a. \({{1 - 6x} \over {x - 2}} + {{9x + 4} \over {x + 2}} = {{x\left( {3x - 2} \right) + 1} \over {{x^2} - 4}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {1 - 6x} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} + {{\left( {9x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} = {{x\left( {3x - 2} \right) + 1} \over {{x^2} - 4}} \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - 6x} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {9x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) = x\left( {3x - 2} \right) + 1 \cr & \Leftrightarrow x + 2 - 6{x^2} - 12x + 9{x^2} - 18x + 4x - 8 = 3{x^2} - 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow - 6{x^2} + 9{x^2} - 3{x^2} + x - 12x - 18x + 4x + 2x = 1 - 2 + 8 \cr & \Leftrightarrow - 23x = 7 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - {7 \over {23}}\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {7 \over {23}}\) b. \(1 + {x \over {3 - x}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {2 \over {x + 2}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 3\)và \(x = - 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {{x\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {{2\left( {3 - x} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right) + x\left( {x + 2} \right) = 5x + 2\left( {3 - x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3x - {x^2} + 6 - 2x + {x^2} + 2x = 5x + 6 - 2x \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {x^2} + 3x - 2x + 2x - 5x + 2x = 6 - 6 \cr & \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \) Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 3\) và \(x \ne - 2\) c. \({2 \over {x - 1}} + {{2x + 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} + {{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} - 2x + 3x - 3 = 4{x^2} - 1 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{x^2} - 4{x^2} + 2x - 2x + 3x = - 1 - 2 + 3 \cr & \Leftrightarrow 3x = 0 \cr} \) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 d. \({{{x^3} - {{\left( {x - 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} = {{7x - 1} \over {4x + 3}} - {x \over {x - 5}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - {3 \over 4}\)và \(x \ne 5\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^3} - {{\left( {x - 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} = {{\left( {7x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} - {{x\left( {4x + 3} \right)} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {x^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} = \left( {7x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) - x\left( {4x + 3} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^3} - {x^3} - 3{x^2} - 3x + 1 = 7{x^2} - 35x - x + 5 - 4{x^2} - 3x \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 7{x^2} + 4{x^2} - 3x + 35x + x + 3x = 5 - 1 \cr & \Leftrightarrow 36x = 4 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 9}\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 9}\) Câu 41 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Giải các phương trình sau: a. \({{2x + 1} \over {x - 1}} = {{5\left( {x - 1} \right)} \over {x + 1}}\) b. \({{x - 3} \over {x - 2}} + {{x - 2} \over {x - 4}} = - 1\) c. \({1 \over {x - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\) d. \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\) Giải: a. \({{2x + 1} \over {x - 1}} = {{5\left( {x - 1} \right)} \over {x + 1}} \) ĐKXĐ: \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} - 10x + 5 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 3{x^2} + 13x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 12x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {3x - 1} \right) - 4\left( {3x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 4 = 0\) hoặc \(3x - 1 = 0\) +) \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn) +) \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc \(x = {1 \over 3}\) b. \({{x - 3} \over {x - 2}} + {{x - 2} \over {x - 4}} = - 1\) ĐKXĐ: \(x \ne 2\)và \(x \ne 4\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} + {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} = - {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) = - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3x + 12 + {x^2} - 2x - 2x + 4 = - {x^2} + 4x + 2x - 8 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 17x + 24 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x - 8x + 24 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x\left( {x - 3} \right) - 8\left( {x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 3x - 8 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\) + \(3x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = {8 \over 3}\) (thỏa mãn) + \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {8 \over 3}\) hoặc x = 3 c. \({1 \over {x - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} \over {{x^3} - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {{4\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4\left( {x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x - 4x = - 4 + 5 - 1 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa) hoặc \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 d. \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\) và \(x = - {7 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{13\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {{{x^2} - 9} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} = {{6\left( {2x + 7} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 9 = 6\left( {2x + 7} \right) \cr & \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 4\left( {x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 4 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\) + \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 4\) (thỏa mãn) + \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = -4 Câu 42 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho phương trình ẩn: \({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\) a. Giải phương trình với a = -3 b. Giải phương trình với a = 1 c. Giải phương trình với a = 0 d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm. Giải: a. Khi a = -3, ta có phương trình: \({{x - 3} \over { - 3 - x}} + {{x + 3} \over { - 3 + x}} = {{ - 3\left[ {3\left( { - 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { - 3} \right)}^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x - 3}} = {{24} \over {9 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} - {{x + 3} \over {x - 3}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} - {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right) - {\left( {x + 3} \right)^3} = - 24 \cr & \Leftrightarrow 3x - 9 - {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 = - 24 \cr & \Leftrightarrow 12x = - 24 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - 2\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 b. Khi a = 1, ta có phương trình: \({{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 - {x^2}}} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {1 - {x^2}}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x - {x^2} - 1 + x = 4 \cr & \Leftrightarrow 4x = 4 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 1\) (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. c. Khi a = 0, ta có phương trình: \({x \over { - x}} + {x \over x} = {0 \over {{x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{ - {x^2}} \over {{x^2}}} + {{{x^2}} \over {{x^2}}} = {0 \over {{x^2}}} \cr & \Leftrightarrow - {x^2} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \) Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \ne 0\) Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 0\) d. Thay \(x = {1 \over 2}\) vào phương trình, ta có: \({{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm {1 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {1 \over 4}}} \cr & \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a - 1}} + {{1 - 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} + {{\left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a - 1 - 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a \cr & \Leftrightarrow 12{a^2} - 4a = 0 \cr & \Leftrightarrow 4a\left( {3a - 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 4a = 0\) hoặc \(3a - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow a = 0\) (thỏa) hoặc \(a = {1 \over 3}\) (thỏa) Vậy khi a = 0 hoặc \(a = {1 \over 3}\) thì phương trình \({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\) nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm. Câu 5.1 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Giải các phương trình a. \({2 \over {x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}}}} = {6 \over {3x - 1}}\) b. \({{{{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}}} \over {1 + {{x + 1} \over {x - 1}}}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\) c. \({5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}}\) Giải: a. Ta có: \(x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}} = x + {{x - 2} \over {2x - 1}} = {{2\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2x - 1}}\) ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne \pm 1,x \ne {1 \over 3}\). Ta biến đổi phương trình đã cho thành \({{2x - 1} \over {{x^2} - 1}} = {6 \over {3x - 1}}\). Khử mẫu và rút gọn: \(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow - 5x + 1 = - 6 \cr & \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr} \) Giá trị \(x = {7 \over 5}\) thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {7 \over 5}\) b. Cách 1. ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\). Biến đổi vế trái thành \({{4x} \over {{x^2} - 1}}.{{x - 1} \over {2x}} = {2 \over {x + 1}}\), ta đưa phương trình đã cho về dạng \({2 \over {x + 1}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu: \(\eqalign{ & 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 5\) Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5. Cách 2. Đặt \({{x + 1} \over {x - 1}} = y\), ta có phương trình \({{y - {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\). ĐKXĐ của phương trình này là \(y \ne 0\) và \(y \ne - 1\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu: \(\eqalign{ & 2{y^2} - 2 = 1 + y \cr & \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} - 1} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y - 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow y = - 1\) hoặc \(y = {3 \over 2}\) Trong hai giá trị tìm được, chỉ có \(y = {3 \over 2}\) là thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \({{x + 1} \over {x - 1}} = {3 \over 2}\) Giải phương trình này ta được x = 5 c. ĐKXĐ: \(x \in \left\{ {0; - 1; - 2; - 3} \right\}\). Ta biến đổi phương trình như sau: \(\eqalign{ & {5 \over x} + {2 \over {x + 3}} = {4 \over {x + 1}} + {3 \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) = \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) + \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 3}} = {{5 + x} \over {x + 1}} + {{5 + x} \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {{1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 5 + x = 0(1) \cr} \) hoặc \({1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}} = 0\) (2) Ta có: (1) \( \Leftrightarrow x = - 5\) (2) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {1 \over x} + {1 \over {x + 3}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {{1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}}} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \({1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\) + \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 2}\) + \({1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm. Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = \(\left\{ { - 5; - {3 \over 2}} \right\}\)
