Câu 6 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự tại M, N (h.5) Tính theo a độ dài của các đoạn thẳng DM và EN. Giải: Ta có: AD = DE = EB = \({1 \over 3}AB\) (1) Suy ra: AE = AD + DE = \({2 \over 3}AB\) (2) Trong ∆ ABC, ta có : DM // BC (gt) Nên \({{AD} \over {AB}} = {{DM} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét) Suy ra: \({{AD} \over {AB}} = {{DM} \over a}\) (3) Từ (1) và (3) suy ra: \({{DM} \over a} = {1 \over 3}\) Suy ra: \(DM = {1 \over 3}a\) Trong ∆ABC, ta có: EN // BC (gt) Suy ra: \({{AE} \over {AB}} = {{EN} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét) Suy ra: \({{AE} \over {AB}} = {{EN} \over a}\) (4) Từ (2) và (4) suy ra: \({{EN} \over a} = {2 \over 3}\) hay \(EN = {2 \over 3}a\) Câu 7 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình 6 chi biết MN // BC, AB = 25cm, BC = 45cm, AM = 16cm, AN = 10cm. Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng MN, AC. Giải: (xem hình 6) Trong ∆ ABC, ta có: MN // BC (gt) Suy ra: \({{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}} = {{MN} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét) Suy ra: \({{10} \over {25}} = {{16} \over y} = {x \over {45}}\) Vậy : \(y = {{25.16} \over {10}} = 40\) \(x = {{10.45} \over {25}} = 18\) Câu 8 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình 7 cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm. Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng NC và BC. Giải: (xem hình 7) Trong ∆ ABC ta có: MN // BC (gt) Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AC}}\) (định lí Ta-lét) Suy ra: \(AC = {{AB.AN} \over {AM}} = {{24.12} \over {16}} = 18\) (cm) Vậy: NC = AC – AN = 18 – 12 = 6 (cm) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMN, ta có: \(\eqalign{ & M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} = {16^2} + {12^2} = 400 \cr & MN = 20(cm) \cr} \) Trong ∆ABC, ta có: MN // BC (gt) Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{MN} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét) Vậy: \(BC = {{MN.AB} \over {AM}} = {{20.24} \over {16}} = 30\) (cm) Câu 9 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.8). Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC. Giải: (hình 8 trang 84 sbt) Trong ∆ OCD, ta có: AB // CD (gt) Suy ra: \({{OA} \over {OC}} = {{OB} \over {OD}}\) (hệ quả định lí Ta-lét) Vậy OA.OD = OB.OC. Câu 10 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q (h.9) Chứng minh rằng MN = PQ. Giải: Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt) Suy ra: \({{DN} \over {DB}} = {{MN} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (1) Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt) Suy ra: \({{CQ} \over {CB}} = {{PQ} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (2) Lại có: NQ // AB (gt) AB // CD (gt) Suy ra: NQ // CD Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên) Suy ra: \({{DN} \over {DB}} = {{CQ} \over {CB}}\) (Định lí Ta-lét ) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{MN} \over {AB}} = {{PQ} \over {AB}}\) hay MN = PQ. Câu 11 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh bên AD lấy điểm E sao cho \({{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) . Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F Chứng minh rằng: \(EF = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\) HD: Kẻ thêm đường chéo AC, cắt EF ở I, rồi áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào các tam giác ADC và CAB. Giải: Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I. Trong tam giác AEC, ta có: EI // CD Suy ra: \({{AE} \over {AD}} = {{EI} \over {CD}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) Suy ra: \(EI = {{AE} \over {AD}}.CD\) (1) Lại có: \({{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) (gt) Suy ra: \({{AE} \over {AE + ED}} = {p \over {p + q}}\) Suy ra: \({{AE} \over {AD}} = {p \over {p + q}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(EI = {p \over {p + d}}.CD\) Trong tam giác ABC, ta có: IF // AB Suy ra: \({{BF} \over {FC}} = {{AI} \over {IC}}\) (Định lí Ta-lét ) (3) Trong tam giác ADC, ta có: EI // CD Suy ra: \({{AE} \over {ED}} = {{AI} \over {IC}}\) (Định lí Ta-lét ) (4) Từ (3) và (4) suy ra: \({{BF} \over {FC}} = {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) Trong tam giác ABC, ta có: IF // BC Suy ra: \({{IF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\) (Hệ quả của định lí Ta-lét) Suy ra: \(IF = {{CF} \over {CB}}.AB\) (5) Ta có: \({{BF} \over {CF}} = {p \over q}\) (cmt) Suy ra: \({{CF} \over {BF}} = {q \over p} \Rightarrow {{CF} \over {CF + BF}} = {q \over {p + q}} \Rightarrow {{CF} \over {CB}} = {q \over {p + q}}\) (6) Từ (5) và (6) suy ra: \(IF = {q \over {p + q}}.AB\) Vậy: \(EF = EI + {\rm I}F = {p \over {p + q}}.CD + {q \over {p + d}}.AB = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\) Câu 12 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.11). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm. a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB. b. So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB. Giải: a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên: AC = BD (1) Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có: AC = BD (chứng minh trên ) AD = BC (ABCD cân) CD cạnh chung Suy ra: ∆ADC = ∆BCD (c.c.c) Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) Hay \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\) Suy ra tam giác OCD cân tại O Suy ra: (tính chất tam giác cân) (2) Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO Trong tam giác OCD, ta có: \({{MO} \over {MD}} = {{NO} \over {NC}} = {1 \over 3}\) Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét ) Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD Suy ra: \({{OM} \over {OD}} = {{MN} \over {CD}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) Suy ra: \({{MN} \over {CD}} = {{OM} \over {4OM}} = {1 \over 4}\) Suy ra: \(MN = {1 \over 4}CD = {1 \over 4}.5,6 = 1,4\) (cm) Ta có: MB = MD (gt) Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM Lại có: AB // CD (gt), suy ra: MN // AB Trong tam giác OAB, ta có: MN // AB Suy ra: \({{OM} \over {OB}} = {{MN} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) Suy ra: \({{MN} \over {AB}} = {{OM} \over {2OM}} = {1 \over 2}\) Vậy AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8 (cm) b. Ta có: \({{CD - AB} \over 2} = {{5,6 - 2,8} \over 2} = {{2,8} \over 2} = 1,4\) (cm) Vậy MN\( = {{CD - AB} \over 2}\) Câu 13 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng: a. MN// AB; b. \(MN = {{CD - AB} \over 2}\) Giải: a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM. Trong tam giác DAB, ta có: \({{PA} \over {AD}} = {1 \over 2};{{BM} \over {BD}} = {1 \over 2}\) Suy ra: \({{PA} \over {AD}} = {{BM} \over {BD}}\) Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1) Trong tam giác ACD, ta có: \({{AP} \over {AD}} = {1 \over 2};{{AN} \over {AC}} = {1 \over 2}\) Suy ra: \({{AP} \over {AD}} = {{AN} \over {AC}}\) Suy ra: PN // CD ( Định lí đảo định lí Ta-lét) (2) Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng. Vậy MN // CD hay MN // AB. b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên: \(PM = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác) Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên: \(PN = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác) Mà PN = PM + MN Suy ra: MN = PN – PM = \({{CD} \over 2} - {{AB} \over 2} = {{CD - AB} \over 2}\) Câu 14 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng: OM = ON Giải: Trong tam giác DAB, ta có: OM // AB (gt) \( \Rightarrow {{OM} \over {AB}} = {{DO} \over {DB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (1) Trong tam giác CAB, ta có: ON // AB (gt) \( \Rightarrow {{ON} \over {AB}} = {{CN} \over {CB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (2) Trong tam giác BCD, ta có: ON // CD (gt) Suy ra: \({{DO} \over {DB}} = {{CN} \over {CB}}\) (Định lí Ta-lét ) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{OM} \over {AB}} = {{ON} \over {AB}}\) Vậy: OM = ON. Câu 15 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài tương ứng là m, n và p. Dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài q sao cho \({m \over n} = {p \over q}\) Giải: (hình trang 93 sgbt) Cách dựng: - Dựng hai tia chung gốc Ox và Oy phân biệt không đối nhau. - Trên tia Ox dựng đoạn OA = m và dựng đoạn AB = n sao cho A nằm giữa O và B. - Trên tia Oy dựng đoạn OC = p. - Dựng đường thẳng AC - Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt tia Oy tại D. Đoạn thẳng CD = q cần dựng. Chứng minh: Theo cách dựng, ta có: AC // BD. Trong ∆ OBD ta có: AC // BD Suy ra: \({{OA} \over {AB}} = {{OC} \over {CD}}\) (Định lí Ta-lét ) Vậy \({m \over n} = {p \over q}\) Câu 16 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho ba đoạn thẳng AB = 3cm, CD = 5cm, EF = 2cm. Dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài a sao cho \({{AB} \over {CD}} = {{EF} \over a}\) hay \({3 \over 5} = {2 \over a}\) . Tính giá trị của a. Giải: Cách dựng: - Dựng hai tia chung gốc Ox và Oy phân biệt không đối nhau. - Trên Ox dựng đoạn OM = AM = 3cm và dựng đoạn MN = CD = 5cm sao cho M nằm giữa O và N. - Trên đoạn Oy dựng đoạn OP = EF = 2cm. - Dựng đường thẳng PM - Từ N dựng đường thẳng song song với PM cắt tia Oy tại Q. Đoạn thẳng PQ = a cần dựng. Chứng minh: Theo cách dựng, ta có: PM // NQ Trong ∆ ONQ ta có: PM // NQ Suy ra: \({{OM} \over {MN}} = {{OP} \over {PQ}}\) (Định lí Ta-lét ) Suy ra: \({{AB} \over {CD}} = {{EF} \over a}\) hay \({3 \over 5} = {2 \over a}\) Vậy \(a = {{10} \over 3}\) (cm). Câu 2.1 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình bs.1 cho biết AB // CD, O ∈ MN, MN = 5cm, OB = 1,5cm, OD = 4,5cm, MB = 1cm. Hãy chọn kết quả đúng. 1. Độ dài của đoạn thẳng MO (tính theo đơn vị cm) là : A. 1,25 B. 2,25 C. 3,25 D. 4,25 2. Độ dài của đoạn thẳng NO (tính theo đơn vị cm) là: A. 5,75 B. 3,75 C. 4,25 D. 2,75 Giải: 1. Chọn A 2. Chọn C Câu 2.2 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại O. Chứng minh rằng OM.OC = ON.OB Giải: (hình bs.8 trang 107 sbt) Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và AB nên đường thẳng MN song song với BC. Do đó tứ giác BCMN là hình thang và có hai đường chéo BM và CN cắt nhau tại O. Theo kết quả chứng minh ở bài tập số 9, ta có: OM.OC = ON.OB.
