Câu 39 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh hai tam giác ADE và CBF đồng dạng với nhau. Giải: Vì ABCD là hình bình hành nên: AB = CD (1) Theo giả thiết: AE = EB = \({1 \over 2}AB\) (2) \(DF = FC = {1 \over 2}CD\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: EB = DF và BE // DF Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau) Suy ra: DE // BF Ta có: \(\widehat {AED} = \widehat {ABF}\) (đồng vị) \(\widehat {ABF} = \widehat {BFC}\) (so le trong) Suy ra: \(\widehat {AED} = \widehat {BFC}\) Xét ∆ AED và ∆ CFB, ta có: \(\widehat {AED} = \widehat {BFC}\) (chứng minh trên ) \(\widehat A = \widehat C\) (tính chất hình bình hành) Vậy: ∆ AED đồng dạng ∆ CFB (g.g) Câu 40 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác vuông ABC có $\widehat A = 90^\circ $ và đường cao AH. Từ điểm H hạ đường HK vuông góc với AC (h.27). a. Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu tam giác đồng dạng với nhau ? b. Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo thứ tự các đỉnh tương ứng và viết tỉ lệ thức giữa các cặp cạnh tương ứng của chúng. Giải: (hình 27 trang 93 sbt) a. Trong hình bên có 5 tam giác đồng dạng với nhau theo từng đôi một, đó là: ∆ABC; ∆ HAB; ∆ HAC; ∆ KAH; ∆ KHC. b. Các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo thứ tự các đỉnh tương ứng và viết tỉ lệ thức giữa các cặp cạnh tương ứng của chúng: - ∆ ABC đồng dạng ∆ HAB. Ta có: \({{AB} \over {HA}} = {{AC} \over {HB}} = {{BC} \over {AB}}\) - ∆ ABC đồng dạng ∆ HAC . Ta có: \({{AB} \over {HA}} = {{AC} \over {HC}} = {{BC} \over {AC}}\) - ∆ ABC đồng dạng ∆ KHC. Ta có: \({{AB} \over {KH}} = {{AC} \over {KC}} = {{BC} \over {HC}}\) - ∆ ABC đồng dạng ∆ KAH. Ta có: \({{AB} \over {KA}} = {{AC} \over {KH}} = {{BC} \over {AH}}\) - ∆ HAB đồng dạng ∆ HAC. Ta có: \({{HB} \over {HA}} = {{HA} \over {HC}} = {{BA} \over {AC}}\) - ∆ HAB đồng dạng ∆ KHC. Ta có: \({{HB} \over {KH}} = {{HA} \over {KC}} = {{BA} \over {HC}}\) - ∆ HAB đồng dạng ∆ KAH. Ta có: \({{HB} \over {KA}} = {{HA} \over {KH}} = {{BA} \over {AH}}\) - ∆ HAC đồng dạng ∆ KHC. Ta có: \({{HA} \over {KH}} = {{HC} \over {KC}} = {{AC} \over {HC}}\) - ∆ HAC đồng dạng ∆ KAH. Ta có: \({{HA} \over {KA}} = {{HC} \over {KH}} = {{AC} \over {AH}}\) - ∆ KHC đồng dạng ∆ KAH. Ta có: \({{KH} \over {KA}} = {{KC} \over {KH}} = {{HC} \over {AH}}\) Câu 41 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD = 5cm và \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\) (h.28). a. Chứng minh ∆ ADB đồng dạng ∆ BCD b. Tính độ dài các cạnh BC, CD c. Sau khi tính, hãy vẽ lại hình chính xác bằng thước và compa. Giải: (hình 28 trang 94 sbt) Xét ∆ ABD và ∆ BDC, ta có: \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\) (gt) \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong) Suy ra: ∆ ABD đồng dạng ∆ BDC (g.g) b. Vì ∆ ABD đồng dạng ∆ BDC nên : \({{AB} \over {BD}} = {{AD} \over {BC}} = {{BD} \over {DC}}\) Với AB = 2,5; AD = 3,5; BD = 5, ta có: \(\eqalign{ & {{2,5} \over 5} = {{3,5} \over {BC}} = {5 \over {DC}} \cr & \Rightarrow BC = {{5.3,5} \over {2,5}} = 7(cm) \cr} \) Vậy DC = \({{5,5} \over {2,5}} = 10\) (cm) Câu 42 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = 90^\circ \)). Dựng AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Đường phân giác BE cắt AD tại F (h.29). Chứng minh: \({{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\). Giải: (hình 29 trang 94 sbt) Trong tam giác ABC, ta có: BE là tia phân giác của góc ABC Suy ra: \({{EA} \over {EC}} = {{AB} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác ) (1) Trong tam giác ADB, ta có: BF là tia phân giác của góc ABD Suy ra: \({{FD} \over {FA}} = {{BD} \over {BA}}\) (tính chất đường phân giác ) (2) Xét ∆ ABC và ∆ DAB, ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDA} = 90^\circ \) \(\widehat B\) chung Suy ra: ∆ ABC đồng dạng ∆ DBA (g.g) Suy ra: \({{BD} \over {BA}} = {{AB} \over {BC}}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\) Câu 43 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Chứng minh rằng, nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau thì: a. Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. b. Tỉ số của hai trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Giải: a. Vì ∆ ABC đồng dạng ∆ A’B’C’ nên ta có: \(\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'}\) và \({{A'B'} \over {AB}} = k\) Lại có: \(\widehat {BAD} = {1 \over 2}\widehat A\) (gt) và \(\widehat {B'A'D'} = {1 \over 2}\widehat A\) (gt) Suy ra: \(\widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\) Xét ∆ ABD và ∆ A’B’D’, ta có: \(\widehat B = \widehat {B'}\) (chứng minh trên ) \(\widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\) (chứng minh trên ) Suy ra: ∆ ABD đồng dạng ∆ A’B’D’ (g.g) Vậy: \({{A'D'} \over {AD}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\) b. Vì ∆ ABC đồng dạng ∆ A’B’C’ nên \({{B'C'} \over {BC}} = k\) Mà \(B'M' = {1 \over 2}B'C'\) và \(BM = {1 \over 2}BC\) nên \({{B'M'} \over {BM}} = k\) Xét ∆ ABM và ∆ A’B’M’, ta có: \({{A'B'} \over {AB}} = {{B'M'} \over {BM}} = k\) \(\widehat B = \widehat {B'}\) (chứng minh trên ) Suy ra: ∆ ABM đồng dạng ∆ A’B’M’ (c.g.c) Vậy \({{AM'} \over {AM}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\) Câu 7.1 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình bs.5 cho biết tam giác ABC có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Trong hình bs.5 có số cặp tam giác đồng dạng với nhau là: A. 1 cặp B. 2 cặp C. 3 cặp D. 4 cặp Hãy chọn kết quả đúng. Giải: (hình bs.5 trang 94 sbt) Chọn D Câu 7.2 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình thang vuông ABCD (AB // CD) có đường chéo BD vuông góc với cạnh BC tại B và có độ dài BD = m = 7,25cm. Hãy tính độ dài các cạnh của hình thang, biết rằng BC = n = 10,75cm (Tính chính xác đến hai chữ số thập phân). Giải: (hình bs.12 trang 122 sbt) Theo giả thiết ABCD là hình thang vuông và AB // CD, BD ⊥ BC nên ta có: \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD}\)= 1v \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong) Do đó:∆ ABD đồng dạng ∆ BDC Suy ra: \({{AB} \over {BD}} = {{AD} \over {BC}} = {{BD} \over {DC}}\) (1) Xét tam giác vuông DBC, theo định lí Pi-ta-go , ta có: \(DC = \sqrt {B{D^2} + B{C^2}} = \sqrt {{m^2} + {n^2}} \) Từ dãy tỉ lệ thức (1), tính được: \(AB = {{B{D^2}} \over {DC}} = {{{m^2}} \over {\sqrt {{m^2} + {n^2}} }};AD = {{BC.BD} \over {DC}} = {{m.n} \over {\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\) Với m = 7,25cm, n = 10,75 cm, ta tính được: DC ≈ 12,97cm; AB ≈ 4,05cm; AD ≈ 6,01cm.
