Câu 23 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính: a) \(\sqrt {10} .\sqrt {40} ;\) b) \(\sqrt 5 .\sqrt {45} ;\) c) \(\sqrt {52} .\sqrt {13} ;\) d) \(\sqrt 2 .\sqrt {162} .\) Gợi ý làm bài a) \(\sqrt {10} .\sqrt {40} = \sqrt {10.40} = \sqrt {400} = 20\) b) \(\sqrt 5 .\sqrt {45} = \sqrt {5.45} = \sqrt {225} = 15\) c) \(\eqalign{ & \sqrt {52} .\sqrt {13} = \sqrt {4.13.13} \cr & = \sqrt {{{\left( {2.13} \right)}^2}} = 2.13 = 26 \cr} \) d) \(\eqalign{ & \sqrt {2.162} = \sqrt {2.2.81} \cr & = \sqrt {{{\left( {2.9} \right)}^2}} = 2.9 = 18 \cr} \) Câu 24 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính: a) \(\sqrt {45.80} \); b) \(\sqrt {75.48} \); c) \(\sqrt {90.6,4} \); d) \(\sqrt {2,5.14,4} \). Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \sqrt {45.80} = \sqrt {9.5.5.16} \cr & = \sqrt 9 .\sqrt {{5^2}} .\sqrt {16} = 3.4.5 = 60 \cr} \) b) \(\eqalign{ & \sqrt {75.48} = \sqrt {25.3.3.16} \cr & = \sqrt {25} .\sqrt {{3^2}} .\sqrt {16} = 5.3.4 = 60 \cr} \) c) \(\eqalign{ & \sqrt {90.6,4} = \sqrt {9.64} \cr & = \sqrt 9 .\sqrt {64} = 3.8 = 24 \cr} \) d) \(\eqalign{ & \sqrt {2,5.14,4} = \sqrt {25.1,44} \cr & = \sqrt {25} .\sqrt {1,44} = 5.1,2 = 6 \cr} \) Câu 25 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn rồi tính: a) \(\sqrt {6,{8^2} - 3,{2^2}} \); b) \(\sqrt {21,{8^2} - 18,{2^2}} \); c) \(\sqrt {117,{5^2} - 26,{5^2} - 1440} \); d) \(\sqrt {146,{5^2} - 109,{5^2} + 27.256} \). Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \sqrt {6,{8^2} - 3,{2^2}} \cr & = \sqrt {\left( {6,8 + 3,2} \right)\left( {6,8 - 3,2} \right)} \cr & = \sqrt {10.3,6} = \sqrt {36} = 6 \cr} \) b) \(\eqalign{ & \sqrt {21,{8^2} - 18,{2^2}} \cr & = \sqrt {\left( {21,8 + 18,2} \right)\left( {21,8 - 18,2} \right)} \cr} \) \(\eqalign{ & = \sqrt {40.3,6} = \sqrt {4.36} \cr & = \sqrt 4 .\sqrt {36} = 2.6 = 12 \cr} \) c) \(\eqalign{ & \sqrt {117,{5^2} - 26,{5^2} - 1440} \cr & = \sqrt {\left( {117,5 + 26,5} \right)\left( {117,5 - 26,5} \right) - 1440} \cr} \) \( = \sqrt {144.91 - 1440} = \sqrt {144.\left( {91 - 10} \right)} \) \( = \sqrt {144.81} = \sqrt {144} .\sqrt {81} = 12.9 = 108\) d) \(\sqrt {146,{5^2} - 109,{5^2} + 27.256} \) \( = \sqrt {\left( {146,5 + 109,5} \right)\left( {146,5 - 109,5} \right) + 27.256} \) \(\eqalign{ & = \sqrt {256.37 + 27.256} \cr & = \sqrt {256.(37 + 27)} \cr & = \sqrt {256} .\sqrt {64} = 16.8 = 128 \cr} \) Câu 26 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng minh: a) \(\sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } = 8\) b) \(2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 = 9\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \cr & = \sqrt {\left( {9 - \sqrt {17} } \right)\left( {9 + \sqrt {17} } \right)} \cr} \) \( = \sqrt {81 - 17} = \sqrt {64} = 8\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b) Ta có: \(2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 \) \(\eqalign{ & = 2\sqrt 6 - 4\sqrt 2 + 1 + 4\sqrt 2 + 8 - 2\sqrt 6 \cr & = 1 + 8 = 9 \cr} \) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. Câu 27 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn: a) \({{\sqrt 6 + \sqrt {14} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt {28} }}\); b) \({{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\). Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {{\sqrt 6 + \sqrt {14} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt {28} }} = {{\sqrt {2.3} + \sqrt {2.7} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt 4 .\sqrt 7 }} \cr & = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)} \over {2\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \) b) \(\eqalign{ & {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} \cr & = {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + 4} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} \cr} \) \(= {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 + \sqrt 4 + \sqrt 6 + \sqrt 8 } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\) \( = {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right) + \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\) \(= {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} = 1 + \sqrt 2 \) Câu 28 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi): a) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và \(\sqrt {10} \); b) \(\sqrt 3 + 2\) và \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \); c) 16 và \(\sqrt {15} .\sqrt {17} \); d) 8 và \(\sqrt {15} + \sqrt {17} \). Gợi ý làm bài a) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và \(\sqrt {10} \) Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt 6 + 3 \cr & = 5 + 2\sqrt 6 \cr} \) \({\left( {\sqrt {10} } \right)^2} = 10 = 5 + 5\) So sánh \(2\sqrt 6 \) và 5: Ta có: \({\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 4.6 = 24\) \({5^2} = 25\) Vì \({\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} < {5^2}\) nên \(2\sqrt 6 < 5\) Vậy: \(\eqalign{ & 5 + 2\sqrt 6 < 5 + 5 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} < {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \cr & \Rightarrow \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt {10} \cr} \) b) \(\sqrt 3 + 2\) và \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} = 3 + 4\sqrt 3 + 4 = 7 + 4\sqrt 3 \) \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt {12} + 6 \cr & = 8 + 2\sqrt {4.3} = 8 + 2.\sqrt 4 .\sqrt 3 = 8 + 4\sqrt 3 \cr} \) Vì \(7 + 4\sqrt 3 < 8 + 4\sqrt 3 \) nên \({\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} < {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2}\) Vậy \(\sqrt 3 + 2\) < \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \) c) 16 và \(\sqrt {15} .\sqrt {17} \) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {15} .\sqrt {17} = \sqrt {16 - 1} .\sqrt {16 + 1} \cr & = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} = \sqrt {{{16}^2} - 1} \cr} \) \(16 = \sqrt {{{16}^2}} \) Vì \(\sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \) nên \(16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \) Vậy \(16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \). d) 8 và \(\sqrt {15} + \sqrt {17} \) Ta có: \({8^2} = 64 = 32 + 32\) \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} = 15 + 2\sqrt {15.17} + 17 \cr & = 32 + 2\sqrt {15.17} \cr} \) So sánh 16 và \(\sqrt {15.17} \) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {15.17} = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} \cr & = \sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \cr} \) Vì \(16 > \sqrt {15.17} \) nên \(32 > 2\sqrt {15.17} \) Suy ra: \(\eqalign{ & 64 > 32 + 32 + 2.\sqrt {15.17} \cr & \Rightarrow {8^2} > {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} \cr} \) Vậy \(8 > \sqrt {15} + \sqrt {17} \). Câu 29 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi): \(\sqrt {2003} + \sqrt {2005} \) và \(2\sqrt {2004} \) Gợi ý làm bài Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} = 4.2004 \cr & = 4008 + 2.2004 \cr} \) \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2} \cr & = 2003 + 2\sqrt {2003.2005} + 2005 \cr} \) \( = 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \) So sánh 2004 và \(\sqrt {2003.2005} \) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {2003.2005} \cr & = \sqrt {(2004 - 1)(2004 + 1)} \cr & = \sqrt {{{2004}^2} - 1} < \sqrt {{{2004}^2}} \cr} \) Suy ra: \(\eqalign{ & 2004 > \sqrt {2003.2005} \cr & \Rightarrow 2.2004 > 2.\sqrt {2003.2005} \cr} \) \( \Rightarrow 4008 + 2.2004 > 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \) \( \Rightarrow {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} > {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2}\) Vậy \(2\sqrt {2004} > \sqrt {2003} + \sqrt {2005} \). Câu 30 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho các biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 3} \) và \(B = \sqrt {(x + 2)(x - 3)} .\) a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x của B có nghĩa. b) Với giá trị nào của x thì A = B ? Gợi ý làm bài a) Ta có: \(A = \sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 3} \) có nghĩa khi và chỉ khi: \(\left\{ \matrix{ x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\) \(B = \sqrt {(x + 2)(x - 3)} \) có nghĩa khi và chỉ khi: \((x + 2)(x - 3) \ge 0\) Trường hợp 1: \(\left\{ \matrix{ x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\) Trường hợp 2: \(\left\{ \matrix{ x + 2 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2\) Vậy với x ≥ 3 hoặc x ≤ -2 thì B có nghĩa b) Để A và B đồng thời có nghĩa thì x ≥ 3 Vậy với x ≥ 3 thì A = B. Câu 31 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Biểu diễn \(\sqrt {{\rm{ab}}} \) ở dạng tích các căn bậc 2 với a < 0 và b < 0. Áp dụng tính \(\sqrt {( - 25).( - 64)} \) Gợi ý làm bài Vì a < 0 nên –a > 0 và b < 0 nên –b > 0 Ta có: \(\sqrt {ab} = \sqrt {( - a).( - b)} = \sqrt { - a} .\sqrt { - b} \) Áp dụng: \(\sqrt {( - 25).( - 64)} = \sqrt {25} .\sqrt {64} = 5.8 = 40\) Câu 32 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \(\sqrt {4{{(a - 3)}^2}} \) với a ≥ 3 ; b) \(\sqrt {9{{(b - 2)}^2}} \) với b < 2 ; c) \(\sqrt {{a^2}{{(a + 1)}^2}} \) với a > 0 ; d) \(\sqrt {{b^2}{{(b - 1)}^2}} \) với b < 0 . Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \sqrt {4{{(a - 3)}^2}} = \sqrt 4 .\sqrt {{{(a - 3)}^2}} \cr & = 2.\left| {a - 3} \right| = 2(a - 3) \cr} \) (với a ≥ 3) b) \(\eqalign{ & \sqrt {9{{(b - 2)}^2}} = \sqrt 9 \sqrt {{{(b - 2)}^2}} \cr & = 3.\left| {b - 2} \right| = 3(2 - b) \cr} \) (với b < 2) c) \(\eqalign{ & \sqrt {{a^2}{{(a + 1)}^2}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{(a + 1)}^2}} \cr & = \left| a \right|.\left| {a + 1} \right| = a(a + 1) \cr} \) (với a > 0) d) \(\eqalign{ & \sqrt {{b^2}{{(b - 1)}^2}} = \sqrt {{b^2}} .\sqrt {{{(b - 1)}^2}} \cr & = \left| b \right|.\left| {b - 1} \right| = - b(1 - b) \cr} \) (với b < 0) Câu 33 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích: a) \(\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \); b) \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \). Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi: \({x^2} - 4 \ge 0\) và \(x - 2 \ge 0\) Ta có: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0\) Trường hợp 1: \(\left\{ \matrix{ x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\) Trường hợp 2: \(\left\{ \matrix{ x + 2 \le 0 \hfill \cr x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2\) \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\) Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa. Biến đổi về dạng tích: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr & = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}\) \(= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\) b) Ta có: \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi: \(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} - 9 \ge 0\) Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\) \({x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0\) Trường hợp 1: \(\left\{ \matrix{ x + 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 3 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\) Trường hợp 2: \(\left\{ \matrix{ x + 3 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 3 \hfill \cr x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\) Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa. Biến đổi về dạng tích: \(\eqalign{ & 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr & = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr} \) \(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)\) Câu 34 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm x, biết: a) \(\sqrt {x - 5} = 3\); b) \(\sqrt {x - 10} = - 2\); c) \(\sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \); d) \(\sqrt {4 - 5x} = 12\). Gợi ý làm bài a) \(\sqrt {x - 5} = 3\) điều kiện: \(x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\) Ta có: \(\sqrt {x - 5} = 3 \Leftrightarrow x - 5 = 9 \Leftrightarrow x = 14\) b) \(\sqrt {x - 10} = - 2\) điều kiện: \(x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10\) Vì \(\sqrt {x - 10} \ge 0\) nên không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x - 10} = - 2\) \(\sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \) điều kiện: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0,5\) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \Leftrightarrow 2x - 1 = 5 \cr & \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3 \cr} \) d) \(\sqrt {4 - 5x} = 12\) điều kiện: \(4 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {4 \over 5}\) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {4 - 5x} = 12 \Leftrightarrow 4 - 5x = 144 \cr & \Leftrightarrow - 5x = 140 \Leftrightarrow x = - 28 \cr} \) Câu 35 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Với n là số tự nhiên, chứng minh: \({(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )^2} = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \) Viết đẳng thức trên khi n bằng 1, 2, 3, 4. Gợi ý làm bài Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr & = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr & = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \) \(\eqalign{ & = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr & = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \) \(\eqalign{ & = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr & = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \) \(\eqalign{ & = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr & = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. - Với n = 1, ta có: \({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8 \) - Với n = 2, ta có: \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25} - \sqrt {24} \) - Với n = 3, ta có: \({\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49} - \sqrt {48} \) - Với n = 4, ta có: \({\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81} - \sqrt {80} \)
