Câu 36 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương , hãy tính: a) \(\sqrt {{9 \over {169}}} \); b) \(\sqrt {{{25} \over {144}}} \); c) \(\sqrt {1{9 \over {16}}} \); d) \(\sqrt {2{7 \over {81}}} \). Gợi ý làm bài a) \(\sqrt {{9 \over {169}}} = {{\sqrt 9 } \over {\sqrt {169} }} = {3 \over {13}}\) b) \(\sqrt {{{25} \over {144}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {144} }} = {5 \over {12}}\) c) \(\sqrt {1{9 \over {16}}} = \sqrt {{{25} \over {16}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {16} }} = {5 \over 4}\) d) \(\sqrt {2{7 \over {81}}} = \sqrt {{{169} \over {81}}} = {{\sqrt {169} } \over {\sqrt {81} }} = {{13} \over 9}\) Câu 37 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính: a) \({{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }}\) b) \({{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }}\) c) \({{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }}\) d) \({{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }}\) Gợi ý làm bài a) \({{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }} = \sqrt {{{2300} \over {23}}} = \sqrt {100} = 10\) b) \({{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }} = \sqrt {{{12,5} \over {0,5}}} = \sqrt {25} = 5\) c) \({{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }} = \sqrt {{{192} \over {12}}} = \sqrt {16} = 4\) d) \({{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }} = \sqrt {{6 \over {150}}} = \sqrt {{1 \over {50}}} = {1 \over 5}\) Câu 38 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho các biểu thức: A= \(\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} \) và B = \({{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}\) a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa . b) Với giá trị nào của x thì A=B ? Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} \) có nghĩa khi và chỉ khi \({{2x + 3} \over {x - 3}} \ge 0\) Trường hợp 1: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x + 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3 \cr} \) Trường hợp 2: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x + 3 \le 0 \hfill \cr x - 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x < - 3 \hfill \cr x < 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - {3 \over 2} \hfill \cr x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - {3 \over 2} \cr} \) Vậy với x > 3 hoặc x \( \le \) \( - {3 \over 2}\) thì biểu thức A có nghĩa. Ta có: \({{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}\) có nghĩa khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge - 3 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 3 \cr} \) Vậy x > 3 thì biểu thức B có nghĩa. b) Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa. Vậy với x > 3 thì A = B. Câu 39 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Biểu diễn \(\sqrt {{a \over b}} \) với a < 0 và b < 0 ở dạng thương của hai căn thức. Áp dụng tính \(\sqrt {{{ - 49} \over { - 81}}} \) Gợi ý làm bài Ta có: a < 0 nên –a > 0; b < 0 nên –b > 0 \(\sqrt {{a \over b}} = \sqrt {{{ - a} \over { - b}}} = {{\sqrt { - a} } \over {\sqrt { - b} }}\) Áp dụng: \(\sqrt {{{ - 49} \over { - 81}}} = {{\sqrt {49} } \over {\sqrt {81} }} = {7 \over 9}\) Câu 40 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \({{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }}\) (y>0); b) \({{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }}\) (x > 0); c) \({{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }}\) (m > 0 và n > 0); d) \({{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }}\) (a < 0 và b ≠ 0). Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }} = \sqrt {{{63{y^3}} \over {7y}}} = \sqrt {9{y^2}} \cr & = \sqrt 9 .\sqrt {{y^2}} = 3.\left| y \right| = 3y \cr} \) (y>0) b) \(\eqalign{ & {{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }} = \sqrt {{{48{x^3}} \over {3{x^5}}}} \cr & = \sqrt {{{16} \over {{x^2}}}} = {4 \over {\left| x \right|}} = {4 \over x} \cr} \) (x > 0) c) \(\eqalign{ & {{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }} = \sqrt {{{45m{n^2}} \over {20m}}} \cr & = \sqrt {{{9{n^2}} \over 4}} = {{\sqrt {9{n^2}} } \over {\sqrt 4 }} = {{3\left| n \right|} \over 2} = {{3n} \over 2} \cr} \) (m > 0 và n > 0) d) \(\eqalign{ & {{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }} = \sqrt {{{16{a^4}{b^6}} \over {128{a^6}{b^6}}}} = \sqrt {{1 \over {8{a^2}}}} \cr & = {{\sqrt 1 } \over {\sqrt {4{a^2}.2} }} = {1 \over {2\left| a \right|\sqrt 2 }} = {{ - 1} \over {2a\sqrt 2 }} \cr} \) (a < 0 và b ≠0) Câu 41 trang 11,12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \(\sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \) (x ≥ 0); b) \({{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{(y - 2\sqrt y + 1)}^2}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \) (x ≠1, y ≠ 1 và y ≥ 0). Gợi ý làm bài a) Vì x ≥ 0 nên \(x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}\) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr & = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr & = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \) \( = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}} }} = {{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\left| {\sqrt x + 1} \right|}} = {{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}}\) - Nếu \(\sqrt x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) thì \(\left| {\sqrt x - 1} \right| = \sqrt x - 1\) Ta có: \({{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}\) (với x ≥ 1) - Nếu \(\sqrt x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\) thì \(\left| {\sqrt x - 1} \right| = 1 - \sqrt x \) Ta có: \({{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x + 1}}\) (với 0 ≤ x < 1) b) Vì y ≥ 0 nên \(y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}\) Ta có: \(\eqalign{ & {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr & = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \) \(\eqalign{ & = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\left| {y - 2\sqrt y + 1} \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr & = {{\left| {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - 2\sqrt y + 1} \right|} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} = {{\left| {{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}} \right|} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} \cr} \) \( = {{{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} = {{\sqrt y - 1} \over {x - 1}}\) (x ≠ 1, y ≠ 1, y ≥ 0) Câu 42 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó: a) \(\sqrt {{{{{(x - 2)}^4}} \over {{{(3 - x)}^2}}}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}}\) (x < 3); tại x = 0,5 ; b) \(4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }}\) (x > -2); tại x = \( - \sqrt 2 \) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{{{(x - 2)}^4}} \over {{{(3 - x)}^2}}}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr & = {{\sqrt {{{(x - 2)}^4}} } \over {\sqrt {{{(3 - x)}^2}} }} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr & = {{{{(x - 2)}^2}} \over {\left| {3 - x} \right|}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr} \) \(\eqalign{ & = {{{x^2} - 4x + 4} \over {3 - x}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr & = {{ - {x^2} + 4x + 4} \over {x - 3}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr} \) \( = {{4x - 5} \over {x - 3}}\) (x<3) Với x = 0,5 ta có: \(\eqalign{ & {{4.0,5 - 5} \over {0,5 - 3}} = {{ - 3} \over { - 2,5}} \cr & = {3 \over {2,5}} = {6 \over 5} = 1,2 \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & 4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^3} + 2{x^2}} \over {x + 2}}} \cr} \) \(\eqalign{ & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^2}(x + 2)} \over {x + 2}}} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{x^2}} = 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr} \) (x > -2) - Nếu x > 0 thì \(\left| x \right| = x\) Ta có: \(\eqalign{ & 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr & = 4x - \sqrt 8 + x = 5x - \sqrt 8 \cr} \) Với \(x = - \sqrt 2 \) ta có: \(5\left( { - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 8 = - 5\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - 7\sqrt 2 \) - Nếu -2 < x < 0 thì \(\left| x \right| = - x\) Ta có: \(4x - \sqrt 8 + \left| x \right| = 4x - \sqrt 8 - x = 3x - \sqrt 8 \) Với \(x = - \sqrt 2 \) ta có: \(3\left( { - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 8 = - 3\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - 5\sqrt 2 \) Câu 43 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm x thỏa mãn điều kiện a) \(\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2\) b) \({{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\) c) \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3\) d) \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2x - 3} \over {x - 1}} \ge 0\) Trường hợp 1: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \) Trường hợp 2: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \le 0 \hfill \cr x - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \le 3 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 1,5 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr} \) Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \) Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1. b) Ta có: \({{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }}\) xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \) Với x ≥ 1,5 ta có: \(\eqalign{ & {{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \) Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện. Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\) c) Ta có: \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0\) Trường hợp 1: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \) Trường hợp 2: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \le 0 \hfill \cr x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \le - 3 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr} \) Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \) Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1. d) Ta có : \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \) Với x ≥ -0,75 ta có: \(\eqalign{ & {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \) Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\) Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai số a, b không âm. Chứng minh: \({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Gợi ý làm bài Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh \(\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}\) Gợi ý làm bài Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \) \( \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \) \( \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4} \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \cr} \) Câu 46 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Với a dương, chứng minh: \(a + {1 \over a} \ge 2.\) Gợi ý làm bài Với a dương, ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - {1 \over {\sqrt a }}} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt a .{1 \over {\sqrt a }} + {1 \over a} \ge 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow a - 2 + {1 \over a} \ge 0 \Leftrightarrow a + {1 \over a} \ge 2\)
