Câu 56 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a) \(\sqrt {7{x^2}} \) với x > 0; b) \(\sqrt {8{y^2}} \) với y < 0; c) \(\sqrt {25{x^3}} \) với x > 0; d) \(\sqrt {48{y^4}} \) Gợi ý làm bài a) \(\sqrt {7{x^2}} = \left| x \right|\sqrt 7 = x\sqrt 7 \) (với x > 0) b) \(\eqalign{ & \sqrt {8{y^2}} = \sqrt {4.2{y^2}} \cr & = 2\left| y \right|\sqrt 2 = - 2y\sqrt 2 \cr} \) (với y < 0) c) \(\eqalign{ & \sqrt {25{x^3}} = \sqrt {25{x^2}x} \cr & = 5\left| x \right|\sqrt x = 5x\sqrt x \cr} \) (với x > 0) d) \(\sqrt {48{y^4}} = \sqrt {16.3{y^4}} = 4{y^2}\sqrt 3 \) Câu 57 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) \(x\sqrt 5 \) với \(x \ge 0\); b) \(x\sqrt {13} \) với x < 0 ; c) \(x\sqrt {{{11} \over x}} \) với x > 0; d) \(x\sqrt {{{ - 29} \over x}} \) với x < 0. Gợi ý làm bài a) \(x\sqrt 5 = \sqrt {{x^2}.5} = \sqrt {5{x^2}} \) (với \(x \ge 0\)) b) \(x\sqrt {13} = - \sqrt {{x^2}.13} = - \sqrt {13{x^2}} \) (với x < 0) c) \(x\sqrt {{{11} \over x}} = \sqrt {{x^2}{{11} \over x}} = \sqrt {11x} \) (với x > 0) d) \(x\sqrt {{{ - 29} \over x}} = \sqrt {{x^2}{{ - 29} \over x}} = - \sqrt { - 29x} \) (với x < 0) Câu 58 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức : a) \(\sqrt {75} + \sqrt {48} - \sqrt {300} \); b) \(\sqrt {98} - \sqrt {72} + 0,5\sqrt 8 \); c) \(\sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {49a} \) với \(a \ge 0\); d) \(\sqrt {16b} + 2\sqrt {40b} - 3\sqrt {90b} \) với \(b \ge 0\). Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \sqrt {75} + \sqrt {48} - \sqrt {300} \cr & = \sqrt {25.3} + \sqrt {16.3} - \sqrt {100.3} \cr} \) \( = 5\sqrt 3 + 4\sqrt 3 - 10\sqrt 3 = - \sqrt 3 \) b) \(\eqalign{ & \sqrt {98} - \sqrt {72} + 0,5\sqrt 8 \cr & = \sqrt {49.2} - \sqrt {36.2} + 0,5\sqrt {4.2} \cr} \) \( = 7\sqrt 2 - 6\sqrt 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \) c) \(\eqalign{ & \sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {49a} \cr & = 3\sqrt a - 4\sqrt a + 7\sqrt a = 6\sqrt a \cr} \) (với \(a \ge 0\)) d) \(\eqalign{ & \sqrt {16b} + 2\sqrt {40b} - 3\sqrt {90b} \cr & = \sqrt {16b} + 2\sqrt {4.10b} - 3\sqrt {9.10b} \cr} \) \(\eqalign{ & = 4\sqrt b + 4\sqrt {10b} - 9\sqrt {10b} \cr & = 4\sqrt b - 5\sqrt {10b} \cr} \) (với \(b \ge 0\)) Câu 59 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \(\left( {2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt 3 - \sqrt {60} \); b) \(\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)\sqrt 5 - \sqrt {250} \); c) \(\left( {\sqrt {28} - \sqrt {12} - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \); d) \(\left( {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \). Gợi ý làm bài \(\eqalign{ & a)\,\left( {2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt 3 - \sqrt {60} \cr & = 2\sqrt {{3^2}} + \sqrt {15} - \sqrt {4.15} \cr} \) \( = 6 + \sqrt {15} - 2\sqrt {15} = 6 - \sqrt {15} \) \(\eqalign{ & b)\,\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)\sqrt 5 - \sqrt {250} \cr & = 5\sqrt {10} + 2\sqrt {{5^2}} - \sqrt {25.10} \cr} \) \( = 5\sqrt {10} + 10 - 5\sqrt {10} = 10\) \(\eqalign{ & c)\,\left( {\sqrt {28} - \sqrt {12} - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \cr & = \left( {\sqrt {4.7} - \sqrt {4.3} - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \cr} \) \( = \left( {2\sqrt 7 - 2\sqrt 3 - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \) \( = 2\sqrt {{7^2}} - 2\sqrt {21} - \sqrt {{7^2}} + 2\sqrt {21} \) \( = 14 - 7 = 7\) \(\eqalign{ & d)\,\left( {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \cr & = \left( {\sqrt {9.11} - \sqrt {9.2} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \cr} \) \( = \left( {3\sqrt {11} - 3\sqrt 2 - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \) \( = 3\sqrt {{{11}^2}} - 3\sqrt {22} - \sqrt {{{11}^2}} + 3\sqrt {22} \) \( = 33 - 11 = 22\) Câu 60 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \(2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \); b) \(2\sqrt {8\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {20\sqrt 3 } \). Gợi ý làm bài a) \(2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \) \( = 2\sqrt {40\sqrt {4.3} } - 2\sqrt {\sqrt {25.3} } - 3\sqrt {5\sqrt {16.3} } \) \( = 2\sqrt {80\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } \) \( = 2\sqrt {16.5\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } \) \( = 8\sqrt {5\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 6\sqrt {5\sqrt 3 } = 0\) \(\eqalign{ & b)\,2\sqrt {8\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {20\sqrt 3 } \cr & = 2\sqrt {4.2\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {4.5\sqrt 3 } \cr} \) \(\eqalign{ & = 4\sqrt {2\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 6\sqrt {5\sqrt 3 } \cr & = 4\sqrt 2 - 8\sqrt {5\sqrt 3 } \cr} \) Câu 61 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Khai triển và rút gọn các biểu thức ( với x và y không âm): a) \(\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x + x} \right)\); b) \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)\); c) \(\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)\); d) \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {{x^2} + y - x\sqrt y } \right)\). Gợi ý làm bài \(\eqalign{ & a)\,\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x + x} \right) \cr & = \left( {1 - \sqrt x } \right)\left[ {1 + 1\sqrt x + {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right] \cr} \) \( = 1 - {\left( {\sqrt x } \right)^3} = 1 - x\sqrt x \) (với \(x \ge 0\)) \(\eqalign{ & b)\,\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right) \cr & = \left( {\sqrt x + 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2 + {2^2}} \right] \cr} \) \( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {2^3} = x\sqrt x + 8\) (với \(x \ge 0\)) c) \(\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)\) \( = \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .\sqrt y + {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}} \right]\) \( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - {\left( {\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x - y\sqrt y \) (với \(x \ge 0\), \(y \ge 0\)) \(\eqalign{ & d)\,\,\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {{x^2} + y - x\sqrt y } \right) \cr & = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left[ {{x^2} - x\sqrt y + {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}} \right] \cr} \) \( = {x^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3} = {x^3} + y\sqrt y \) (với \(y \ge 0\)) Câu 62 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Khai triển và rút gọn các biểu thức (với x, y không âm): a) \(\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\); b) \(\left( {2\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)\). Gợi ý làm bài a) \(\left( {4\sqrt x - 2\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\) \( = 4\sqrt {{x^2}} - 4\sqrt {2{x^2}} - \sqrt {2{x^2}} + \sqrt {4{x^2}} \) \(\eqalign{ & = 4x - 4x\sqrt 2 - x\sqrt 2 + 2x \cr & = 6x - 5x\sqrt 2 \cr} \) (với \(x \ge 0\)) b) \(\left( {2\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)\) \( = 6\sqrt {{x^2}} - 4\sqrt {xy} + 3\sqrt {xy} - 2\sqrt {{y^2}} \) \( = 6x - \sqrt {xy} - 2y\) (với \(x \ge 0\), \(y \ge 0\)) Câu 63 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng minh: a) \({{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = x - y\) với x > 0 và y > 0; b) \({{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = x + \sqrt x + 1\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\). Gợi ý làm bài a) Ta có: \({{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = {{\left( {\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\) \( = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\) \( = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x - y\) (với x > 0 và y > 0) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b) Vì x > 0 nên \(\sqrt {{x^3}} = {\left( {\sqrt x } \right)^3}\) Ta có: \({{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = {{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x - 1}} = {{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)} \over {\sqrt x - 1}}\) \( = x + \sqrt x + 1\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\). Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. Câu 64 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Chứng minh: \(x + 2\sqrt {2x - 4} = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) với \(x \ge 2\); b) Rút gọn biểu thức: \(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\). Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\eqalign{ & x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} \cr & = 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \cr} \) \( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}\) \( = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\)) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b) Ta có: \(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) \( = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} \) \( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - \sqrt x - 2} \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\) \( = \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\) - Nếu \(\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \ge 0\) thì \(\eqalign{ & \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr & \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \) Với \(2 \le x \le 4\) thì \(\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \) Ta có: \(\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 \) - Nếu \(\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} < 0\) thì \(\sqrt {x - 2} > \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\) Với x > 4 thì \(\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \) Ta có: \(\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 = 2\sqrt {x - 2} \) Câu 65 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm x, biết: a) \(\sqrt {25x} = 35\); b) \(\sqrt {4x} \le 162\); c) \(3\sqrt x = \sqrt {12} \); d) \(2\sqrt x \ge 10\). Gợi ý làm bài \(\eqalign{ & a)\,\sqrt {25x} = 35 \Leftrightarrow 5\sqrt x = 35 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49 \cr} \) \(\eqalign{ & b)\,\sqrt {4x} \le 162 \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 162 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x \le 81 \Leftrightarrow x \le 6561 \cr} \) Suy ra : \(0 \le x \le 6561\) \(\eqalign{ & b)\,3\sqrt x = 12 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x = {2 \over 3}\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {\left( {{2 \over 3}\sqrt 3 } \right)^2} \cr & \Leftrightarrow x = - {4 \over 3} \cr} \) d) \(2\sqrt x \ge \sqrt {10} \Leftrightarrow \sqrt x \ge {{\sqrt {10} } \over 2} \Leftrightarrow x = {5 \over 2}\) Câu 66 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm x, biết: a) \(\sqrt {{x^2} - 9} - 3\sqrt {x - 3} = 0\); b) \(\sqrt {{x^2} - 4} - 2\sqrt {x + 2} = 0\). Gợi ý làm bài a) Điều kiện: \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 9} - 3\sqrt {x - 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {(x + 3)(x - 3)} - 3\sqrt {x - 3} \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} (\sqrt {x + 3} - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} = 0 \cr} \) hoặc \(\sqrt {x + 3} - 3 = 0\) +) \(\sqrt {x - 3} = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn) +) \(\eqalign{ & \sqrt {x + 3} - 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = 3 \cr & \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6 \cr} \) (thỏa mãn) Vậy x = 3 và x = 6. b) Điều kiện: \(x \ge 2\) hoặc x = -2 Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 4} - 2\sqrt {x + 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {(x + 2)(x - 2)} - 2\sqrt {x + 2} = 0 \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} (\sqrt {x + 2} - 2) = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = 0 \cr} \) hoặc \( \sqrt {x - 2} - 2 = 0\) +) \(\eqalign{ & \sqrt {x + 2} = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow x = - 2 \cr} \) (thỏa mãn) +) \(\eqalign{ & \sqrt {x - 2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} = 2 \cr & \Leftrightarrow x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6 \cr} \) (thỏa mãn) Vậy x = -2 và x = 6. Câu 67 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh: a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. b) Trong các hinh chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất. Gợi ý làm bài Với hai số không âm a và b, bất đẳng thức Cô-si cho hai số đó là: \({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) a) Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì \({{a + b} \over 2}\) không đổi. Từ bất đẳng thức: \({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) và \({{a + b} \over 2}\) không đổi suy ra \({{a + b} \over 2}\) \(\sqrt {ab} \) đạt giá trị lớn nhất bằng \({{a + b} \over 2}\) khi a = b. Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện thì hình vuông có diện tích lớn nhất. b) Các hình chữ nhật có cùng diện tích thì ab không đổi. Từ bất đẳng thức: \({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) và ab không đổi suy ra \({{a + b} \over 2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {ab} \) khi a = b. Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
