Câu 35 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét: a) \(3{x^2} - 2x - 5 = 0\) b) \(5{x^2} + 2x - 16 = 0\) c) \({1 \over 3}{x^2} + 2x - {{16} \over 3} = 0\) d) \({1 \over 2}{x^2} - 3x + 2 = 0\) Giải Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét a) \(3{x^2} - 2x - 5 = 0\) Có hệ số a = 3, b = -2, c = -5 \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 3.\left( { - 5} \right) = 1 + 15 = 16 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4 \cr & {x_1} = {{1 + 4} \over 3} = {5 \over 3} \cr & {x_2} = {{1 - 4} \over 3} = - 1 \cr & {x_1} + {x_2} = {5 \over 3} + \left( { - 1} \right) = {2 \over 3} \cr & {x_1}{x_2} = {5 \over 3}.\left( { - 1} \right) = {{ - 5} \over 3} \cr} \) b) \(5{x^2} + 2x - 16 = 0\) Có hệ số a = 5, b = 2, c = -16 \(\eqalign{ & \Delta ' = {1^2} - 5.\left( { - 16} \right) = 1 + 80 = 81 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {81} = 9 \cr & {x_1} = {{ - 1 + 9} \over 5} = {8 \over 5} \cr & {x_2} = {{ - 1 - 9} \over 5} = - 2 \cr & {x_1} + {x_2} = {8 \over 5} + \left( { - 2} \right) = {{ - 2} \over 5} \cr & {x_1}{x_2} = {8 \over 5}.\left( { - 2} \right) = {{ - 16} \over 5} \cr} \) c) \({1 \over 3}{x^2} + 2x - {{16} \over 3} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 16 = 0\) Có hệ số a = 1, b = 6, c = -16 \(\eqalign{ & \Delta ' = {3^2}.\left( { - 1} \right).\left( { - 16} \right) = 9 + 16 = 25 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{ - 3 + 5} \over 1} = 2 \cr & {x_2} = {{ - 3 - 5} \over 1} = - 8 \cr & {x_1} + {x_2} = 2 + \left( { - 8} \right) = - 6 \cr & {x_1}{x_2} = 2.\left( { - 8} \right) = - 16 \cr} \) d) \({1 \over 2}{x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 = 0\) Có hệ số a = 1, b = -6, c = 4 \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.4 = 9 - 4 = 5 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 5 \cr & {x_1} = {{3 - \sqrt 5 } \over 1} = 3 - \sqrt 5 \cr & {x_2} = {{3 + \sqrt 5 } \over 1} = 3 + \sqrt 5 \cr & {x_1} + {x_2} = 3 - \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 = 6 \cr & {x_1}{x_2} = \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 9 - 5 = 4 \cr} \) Câu 36 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình: a) \(2{x^2} - 7x + 2 = 0\) b) \(2{x^2} + 9x + 7 = 0\) c) \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\) d) \(1,4{x^2} - 3x + 1,2 = 0\) e) \(5{x^2} + x + 2 = 0\) Giải a) \(\eqalign{ & 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {7 \over 2};{x_1}{x_2} = {2 \over 2} = 1\) b) \(\eqalign{ & 5{x^2} + 2x - 16 = 0 \cr & a = 5;c = - 16;ac < 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - {2 \over 5};{x_1}{x_2} = - {{16} \over 5}\) c) \(\eqalign{ & \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0 \cr & \Delta ' = {2^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 4 - 4 - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt 6 \cr & = 2\sqrt 3 + \sqrt 6 - 2\sqrt 2 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = {{ - 4} \over {2 - \sqrt 3 }} = - 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cr & {x_1}{x_2} = {{2 + \sqrt 2 } \over {2 - \sqrt 3 }} = {{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \over {4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 6 \cr} \) d) \(\eqalign{ & 1,4{x^2} - 3x + 1,2 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1,4.1,2 = 9 - 6,72 = 2,28 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - {{ - 3} \over {1,4}} = {{30} \over {14}} = {{15} \over 7} \cr & {x_1}{x_2} = {{1,2} \over {1,4}} = {6 \over 7} \cr} \) e) \(\eqalign{ & 5{x^2} + x + 2 = 0 \cr & \Delta = 1 - 4.5.2 = 1 - 40 = - 39 < 0 \cr} \) Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm. Câu 37 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình: a) \(7{x^2} - 9x + 2 = 0\) b) \(23{x^2} - 9x - 32 = 0\) c) \(1975{x^2} + 4x - 1979 = 0\) d) \(\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x - 10 = 0\) e) \({1 \over 3}{x^2} - {3 \over 2}x - {{11} \over 6} = 0\) f) \(31,1{x^2} - 50,9x + 19,8 = 0\) Giải a) \(7{x^2} - 9x + 2 = 0\) Ta có hệ số: a = 7, b = -9, c = 2 Phương trình có dạng: a + b + c = 0 \(\Rightarrow 7 + \left( { - 9} \right) + 2 = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = {2 \over 7}\) b) \(23{x^2} - 9x - 32 = 0\) Ta có hệ số: a = 23, b = -9, c = -32 Phương trình có dạng: a – b + c = 0 \(\eqalign{ & \Rightarrow 23 - \left( { - 9} \right) + \left( { - 32} \right) = 23 + 9 - 32 = 0 \cr & {x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 32} \over {23}} = {{32} \over {23}} \cr} \) c) \(1975{x^2} + 4x - 1979 = 0\) Ta có hệ số: a = 1975, b = 4, c = -1979 Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 1975 + 4 + \left( { - 1979} \right) = 0 \cr & {x_1} = 1;{x_2} = {{ - 1979} \over {1975}} \cr} \) d) \(\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x - 10 = 0\) Ta có hệ số \(a = 5 + \sqrt 2 ,b = 5 - \sqrt 2 ,c = - 10\) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 5 + \sqrt 2 + 5 - \sqrt 2 + \left( { - 10} \right) = 0 \cr & {x_1} = 2;{x_2} = {{ - 10} \over {5 + \sqrt 2 }} = - {{10\left( {5 - \sqrt 2 } \right)} \over {23}} \cr} \) e) \({1 \over 3}{x^2} - {3 \over 2}x - {{11} \over 6} = 0\) Ta có hệ số: \(a = {1 \over 3},b = - {3 \over 2},c = - {{11} \over 6}\) Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {1 \over 3} - \left( { - {3 \over 2}} \right) + \left( { - {{11} \over 6}} \right) = {1 \over 3} + {3 \over 2} - {{11} \over 6} = {2 \over 6} + {9 \over 6} - {{11} \over 6} = 0 \cr & {x_1} = 1;{x_2} = - {{ - 11} \over 6}:{1 \over 3} = {{11} \over 6}.{3 \over 1} = {{11} \over 2} \cr} \) f) \(31,1{x^2} - 50,9x + 19,8 = 0\) Ta có hệ số: a = 31,1; b = -50,9; c = 19,8 Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 31,1 + \left( { - 50,9} \right) + 19,8 = 0 \cr & {x_1} = 1;{x_2} = {{19,8} \over {31,1}} = {{198} \over {311}} \cr} \) Câu 38 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình: a) \({x^2} - 6x + 8 = 0\) b) \({x^2} - 12x + 32 = 0\) c) \({x^2} + 6x + 8 = 0\) d) \({x^2} - 3x - 10 = 0\) e) \({x^2} + 3x - 10 = 0\) Giải a) \(\eqalign{ & {x^2} - 6x + 8 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\matrix{ {{x_1} + {x_2} = 6} \cr {{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = 4} \right.\) b) \(\eqalign{ & {x_2} - 12x + 32 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 1.32 = 36 - 32 = 4 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\matrix{ {{x_1} + {x_2} = 12} \cr {{x_1}{x_2} = 32} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 4;{x_2} = 8} \right.\) c) \(\eqalign{ & {x^2} + 6x + 8 = 0 \cr & \Delta ' = {3^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\matrix{ {{x_1} + {x_2} = - 6} \cr {{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = - 2} \right.;{x_2} = - 4\) d) \({x^2} - 3x - 10 = 0;a = 1;c = - 10 \Leftrightarrow ac < 0\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\matrix{ {{x_1} + {x_2} = 3} \cr {{x_1}{x_2} = - 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = - 2} \right.;{x_2} = 5\) e) \({x^2} + 3x - 10 = 0;a = 1;c = - 10;ac < 0\) Phương trình có hai nghiệm Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\matrix{ {{x_1} + {x_2} = - 3} \cr {{x_1}{x_2} = - 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = - 5} \right.\) Câu 39 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. a) Chứng tỏ rằng phương trình \(3{x^2} + 2x - 21 = 0\) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia b) Chứng tỏ rằng phương trình \( - 4{x^2} - 3x + 115 = 0\) có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia Giải a) Thay x = -3 vào vế trái của phương trình ta có: \(3{\left( { - 3} \right)^2} + 2\left( { - 3} \right) - 21 = 27 - 6 - 21 = 0\) Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 2x - 21 = 0\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{ - 21} \over 3} \Rightarrow - 3.{x_2} = {{ - 21} \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = {7 \over 3}\) b) Thay x = 5 vào vế trái của phương trình ta có: \( - {4.5^2} - 3.5 + 115 = - 100 - 15 + 115 = 0\) Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình \( - 4{x^2} - 3x + 115 = 0\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{115} \over { - 4}} \Rightarrow 5{x_2} = - {{115} \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = - {{23} \over 4}\) Câu 40 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau: a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\), biết nghiệm x1 = 7 b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0,\) biết nghiệm x1 = 12,5 c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm x1 = -2 d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0,\) biết nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) Giải a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = - 35 \Rightarrow 7{x_2} = - 35 \Leftrightarrow {x_2} = - 5\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - m \cr & \Rightarrow - m = 7 + \left( { - 5} \right) \Leftrightarrow - m = 2 \Leftrightarrow m = - 2 \cr} \) Vậy m = -2 thì phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7 và nghiệm x2 = -5 b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\) Vậy với m = 6,25 thì phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5 và có nghiệm x2 = 0,5 c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - {3 \over 4} \Rightarrow - 2 + {x_2} = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr & \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr & {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \cr & {m_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = - 2 \cr} \) Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2 và nghiệm \({x_2} = {5 \over 4}\) d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3}\) \( \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3} \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) = 16 \Leftrightarrow m - 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\) Vậy m = 11 thì phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) và nghiệm \({x_2} = 5\). Câu 41 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) u + v = 14; uv = 40 b) \(u + v = - 7;uv = 12\) c) \(u + v = - 5;uv = - 24\) d) \(u + v = 4,uv = 19\) e) \(u - v = 10,uv = 24\) f) \({u^2} + {v^2} = 85,uv = 18\) Giải a) Hai số u và v có u + v = 14, uv = 40 nên nó là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & {x^2} - 14x + 40 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 1.40 = 49 - 40 = 9 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr} \) \({x_1} = {{7 + 3} \over 1} = 10;{x_2} = {{7 - 3} \over 1} = 4\) Vậy hai số: u = 10; v = 4 hoặc u = 4; v = 10 b) Hai số u và v có u + v = -7 và uv = 12 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 7x + 12 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {7^2} - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr & {x_1} = {{ - 7 + 1} \over {2.1}} = - 3 \cr & {x_2} = {{ - 7 - 1} \over {2.1}} = - 4 \cr} \) Vậy hai số: u = -3; v = -4 hoặc u = -4; v = -3. c) Hai số u và v có u + u = -5, uv = -24 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x - 24 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 24} \right) = 25 + 96 = 121 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \cr & {x_1} = {{ - 5 + 11} \over {2.1}} = 3 \cr & {x_2} = {{ - 5 - 11} \over {2.1}} = - 8 \cr} \) Vậy hai số u = 3; v = -8 hoặc u = -8; v = 3 d) Hai số u và v có u + v = 4, uv = 19 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 19 = 0\) \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.19 = 4 - 19 = - 15 < 0\) Phương trình vô nghiệm, không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán e) Hai số u và v có u – v = 10 và uv = 24 suy ra: u + (-v) = 10 và u(-v) = -24 nên hai số u và –v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 10x - 24 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.\left( { - 24} \right) = 25 + 24 = 49 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr & {x_1} = {{5 + 7} \over 1} = 12 \cr & {x_2} = {{5 - 7} \over 1} = - 2 \cr} \) Hai số: u = 12; -v = -2 ⇒ v = 2 hoặc u = -2; v = -12 ⇒ v = -12 Vậy: u = 12; v = 2 hoặc u = -2; v = -12 f) Hai số u và v có \({u^2} + {v^2} = 85\) và uv = 18 suy ra: \({u^2}{v^2} = 324\) nên hai số \({u^2}\) và \({v^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 85x + 324 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - 85} \right)^2} - 4.1.324 = 7225 - 1296 = 5929 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {5929} = 77 \cr & {x_1} = {{85 + 77} \over {2.1}} = 81 \cr & {x_2} = {{85 - 77} \over {2.1}} = 4 \cr} \) Hai số: \({u^2} = 81;{v^2} = 4\) hoặc \({u^2} = 4;{v^2} = 81\) ⇒ u = ± 9; v = ± 2 hoặc u = ± 2; v = ± 9 Vì uv = 18 nên u và v cùng dấu ta có: Nếu u = 9 thì v = 2 hoặc u = -9 thì v = -2 Nếu u = 2 thì v = 9 hoặc nếu u = -2 thì v = -9 Câu 42 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau: a) 3 và 5; b) -4 và 7; c) -5 và \({1 \over 3}\); d) 1,9 và 5,1; e) 4 và \(1 - \sqrt 2 \); f) \(3 - \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \) Giải a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 3x + 15 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0 \cr} \) b) Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x + 4} \right)\left( {x - 7} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 4x - 28 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 28 = 0 \cr} \) c) Hai số -5 và \({1 \over 3}\) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x + 5} \right)\left( {x - {1 \over 3}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {1 \over 3}x + 5x - {5 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} + 14x - 5 = 0 \cr} \) d) Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x - 1,9} \right)\left( {x - 5,1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 5,1x - 1,9x + 9,69 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 9,69 = 0 \cr} \) e) Hai số 4 và \(1 - \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x - 4} \right)\left[ {x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 1 + \sqrt 2 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x + \sqrt 2 x - 4x + 4 - 4\sqrt 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x + 4 - 4\sqrt 2 = 0 \cr} \) f) Hai số \(3 - \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left[ {x - \left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {3 + \sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( {3 + \sqrt 5 } \right)x - \left( {3 - \sqrt 5 } \right)x + \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 = 0 \cr} \) Câu 43 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Cho phương trình \({x^2} + px - 5 = 0\) có nghiệm là x1, x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau: a) –x1 và –x2 b) \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\) Giải Phương trình: \({x^2} + px - 5 = 0\) có hai nghiệm x1 và x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p \cr & {x_1}{x_2} = {{ - 5} \over 1} = - 5 \cr} \) (1) a) Hai số -x1 và –x2 là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left[ {x - \left( { - {x_1}} \right)} \right]\left[ {x - \left( { - {x_2}} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( { - {x_2}x} \right) - \left( { - {x_1}x} \right) + \left( { - {x_1}} \right)\left( { - {x_2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} = 0(2) \cr} \) Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: \({x^2} - px - 5 = 0\) b) Hai số \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x - {1 \over {{x_1}}}} \right)\left( {x - {1 \over {{x_2}}}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {1 \over {{x_2}}}x - {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right)x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) \cr} \) Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm: \(\eqalign{ & {x^2} - {{ - p} \over { - 5}}x + {1 \over { - 5}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {p \over 5}x - {1 \over 5} = 0 \cr & \Leftrightarrow 5{x^2} - px - 1 = 0 \cr} \) Câu 44 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Cho phương trình \({x^2} - 6x + m = 0.\) Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1,x2thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4. Giải Phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\) có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - {{ - 6} \over 1} = 6\) Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\matrix{ {{x_1} + {x_2} = 6} \cr {{x_1} - {x_2} = 4} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {2{x_1} = 10} \cr {{x_1} - {x_2} = 4} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{x_1} = 5} \cr {5 - {x_2} = 4} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{x_1} = 5} \cr {{x_2} = 1} \cr} } \right.} \right.} \right.} \right.\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {m \over 1} = m \Rightarrow m = 5.1 = 5\) Vậy m = 5 thì phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\) có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1} - {x_2} = 4\)
Câu 6.1 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0).\) Điều nào sau đây đúng? A) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\) B) \({x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = - {c \over a}\) C) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = - {c \over a}\) D) \({x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\) Giải x1, x2 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) Chọn D \({x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\) Câu 6.2 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình \({x^2} + px + q = 0.\) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2. Giải Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: \({x^2} + px + q = 0\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p;{x_1}{x_2} = {q \over 1} = q\) Phương trình có hai nghiệm là \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q. Hai số -p và q là nghiệm của phương trình. \(\eqalign{ & \left( {x + p} \right)\left( {x - q} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - qx + px - pq = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {q - p} \right)x - pq = 0 \cr} \) Phương trình cần tìm: \({x^2} + \left( {p - q} \right)x - pq = 0\) Câu 6.3 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x1 và x2 thì nó phân tích được thành \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\) Áp dụng: Phân tích các tam thức sau thành tích: a) \({x^2} - 11x + 30\) b) \(3{x^2} + 14x + 8\) c) \(5{x^2} + 8x - 4\) d) \({x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 \) Giải a) Tam thức bậc hai: \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x1, x2 nên phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - {b \over a};{x_1}{x_2} = {c \over a}(1) \cr & a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + {b \over a}x + {c \over a}} \right)(2) \cr} \) Từ (1) và (2) suy ra: \(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2}} \right] \cr & = a\left[ {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right] \cr & = a\left[ {x\left( {x - {x_1}} \right) - {x_2}\left( {x - {x_1}} \right)} \right] \cr & = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \cr} \) Áp dụng a) \(\eqalign{ & {x^2} - 11x + 30 = x \cr & \Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.30 = 121 - 120 = 1 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr & {x_1} = {{11 + 1} \over {2.1}} = 6 \cr & {x_2} = {{11 - 1} \over {2.1}} = 5 \cr} \) Ta có: \({x^2} - 11x + 30 = \left( {x - 6} \right)\left( {x + 5} \right)\) b) \(\eqalign{ & 3{x^2} + 14x + 8 = 0 \cr & \Delta ' = {7^2} - 3.8 = 49 - 24 = 25 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{ - 7 + 5} \over 3} = - {2 \over 3} \cr & {x_2} = {{ - 7 - 5} \over 3} = - 4 \cr & 3{x^2} + 14x + 8 = 3\left( {x + {2 \over 3}} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) \cr} \) c) \(\eqalign{ & 5{x^2} + 8x - 4 = 0 \cr & \Delta ' = {4^2} - 5.\left( { - 4} \right) = 16 + 20 = 36 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6 \cr & {x_1} = {{ - 4 - 6} \over 5} = - 2 \cr & {x_2} = {{ - 4 + 6} \over 5} = {2 \over 5} \cr & \Rightarrow 5{x^2} + 8x - 4 = 5\left( {x - {2 \over 5}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {5x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \cr} \) d) \(\eqalign{ & {x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 = 0 \cr & \Delta = {\left[ { - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - 3 + \sqrt 3 } \right) \cr & = 1 + 4\sqrt 3 + 12 + 12 - 4\sqrt 3 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{1 + 2\sqrt 3 + 5} \over {2.1}} = 3 + \sqrt 3 \cr & {x_2} = {{1 + 2\sqrt 3 - 5} \over {2.1}} = \sqrt 3 - 2 \cr & {x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 = \left[ {x - \left( {3 + \sqrt 3 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {\sqrt 3 - 2} \right)} \right] \cr & = \left( {x - 3 - \sqrt 3 } \right)\left( {x - \sqrt 3 + 2} \right) \cr} \) Câu 6.4 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Cho phương trình \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2}).\) a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm. b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m. c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m. Giải Phương trình: \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2})\) (1) a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt {\Delta '} \ge 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 4} \right)} \right]^2} - \left( {2m - 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \cr & = {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m + 2 \cr & = - 9m + 9m + 18 \cr & = - 9m\left( {{m^2} - m - 2} \right) \cr & = - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \cr & \Delta ' \ge 0 \Rightarrow - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0 \cr} \) \( \Rightarrow \left\{ {\matrix{ {m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr} } \right.\) hoặc \(\left\{ {\matrix{ {m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\) \(\left\{ {\matrix{ {m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m \ge 2} \cr {m \le - 1} \cr} } \right.} \right.\) vô nghiệm \(\left\{ {\matrix{ {m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m \le 2} \cr {m \ge - 1} \cr} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 2} \right.} \right.\) Vậy với -1 ≤ m ≤ 2 thì phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m - 1}};{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}\) c) Đặt \({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P\) \(S = {{2m + 8} \over {2m - 1}} \Leftrightarrow 2mS - S = 2m + 8 \Leftrightarrow 2m\left( {S - 1} \right) = S + 8\) Ta có: \(\eqalign{ & 2m + 8 \ne 2m - 1 \Rightarrow S \ne 1 \cr & \Rightarrow m = {{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} \cr} \) Thay vào biểu thức P ta có: \(\eqalign{ & P = {{5.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} + 2} \over {2.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} - 1}} = {{5S + 40 + 4S - 4} \over {2S + 16 - 2S + 2}} = {{9S + 36} \over {18}} = {{S + 4} \over 2} \cr & \Rightarrow 2P = S + 4 \Rightarrow 2P - S = 4 \cr & \Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4 \cr} \) Biểu thức không phụ thuộc vào m
