Câu 1. Trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy tính x và y trong các hình sau: Gợi ý làm bài: a) hình a Theo định lý Pi-ta-go, ta có: \(x + y = \sqrt {{5^2} + {7^2}} = \sqrt {74} \) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có: \({5^2} = x.(x + y) \Rightarrow x = {{{5^2}} \over {x + y}} = {{25} \over {\sqrt {74} }}\) Thay \(x = {{25} \over {\sqrt {74} }}\) vào \(x + y = \sqrt {74} \), ta có: \({{25} \over {\sqrt {74} }} + y = \sqrt {74} \Rightarrow y = \sqrt {74} - {{25} \over {\sqrt {74} }} = {{74 - 25} \over {\sqrt {74} }} = {{49} \over {\sqrt {74} }}\) b. Hình b Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \({14^2} = y.16 \Rightarrow y = {{{{14}^2}} \over {16}} = {{196} \over {16}} = 12,25\) \(x + y = 16 \Rightarrow x = 16 - y = 16 - 12,25 = 3,75\) Câu 2. Trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy tính x và y trong các hình sau: Gợi ý làm bài: a) Hình a Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \({x^2} = 2.(2 + 6) = 2.8 = 16 \Rightarrow x = 4\) \({y^2} = 6.(2 + 6) = 6.8 = 48 \Rightarrow y = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \) b) Hình b Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: \({x^2} = 2.8 = 16 \Rightarrow x = 4\) Câu 3. Trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy tính x và y trong các hình sau: Gợi ý làm bài: a) Hình a Theo định lý Pi-ta-go, ta có: \({y^2} = {7^2} + {9^2} \Rightarrow y = \sqrt {{7^2} + {9^2}} = \sqrt {130} \) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có: \(x.y = 7.9 \Rightarrow x = {{7.9} \over y} = {{63} \over {\sqrt {130} }}\) b) Hình b Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \({5^2} = x.x = {x^2} \Rightarrow x = 5\) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \({y^2} = x.(x + x) = 5.(5 + 5) = 50 \Rightarrow y = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \) Câu 4. Trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy tính x và y trong các hình sau: Gợi ý làm bài: a) Hình a Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \({3^2} = 2.x \Rightarrow x = {{{3^2}} \over 2} = {9 \over 2} = 4,5\) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(\eqalign{ & {y^2} = x.(x + 2) = 4,5.(4,5 + 2) = 29,25 \cr & \Rightarrow y = \sqrt {29,25} \cr} \) b) Hình b Ta có: \(\eqalign{ & {{AB} \over {AC}} = {3 \over 4} \Rightarrow {{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \cr & \Rightarrow AC = 4.{{AB} \over 3} = 4.{{15} \over 3} = 4.5 = 20 \cr} \) Theo định lý Pi-ta-go, ta có: \({y^2} = B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625\) Suy ra: \(y = \sqrt {625} = 25\) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có: \(\eqalign{ & x.y = 15.20 \cr & \Rightarrow x = {{15.20} \over y} = {{15.20} \over {25}} = 12 \cr} \) Câu 5. Trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.5). Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau: a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH; b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH. Gợi ý làm bài: a) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \({H^2} = BH.CH\) \( \Rightarrow CH = {{A{H^2}} \over {BH}} = {{{{16}^2}} \over {25}} = 10,24\) \(BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24\) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = BH.BC \cr & \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC} \cr & = \sqrt {25.35,24} = \sqrt {881} = 29,68 \cr} \) \(\eqalign{ & A{C^2} = HC.BC \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} \cr & = \sqrt {10,24.35,24} = \sqrt {360,9} = 18,99 \cr} \) b) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = BH.BC \cr & \Rightarrow BC = {{A{B^2}} \over {BH}} = {{{{12}^2}} \over 6} = 24 \cr} \) \(CH = BC - BH = 24 - 6 = 18\) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = HC.BC \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} \cr & = \sqrt {18.24} = \sqrt {432} \approx 20,78 \cr} \) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có: \(\eqalign{ & A{H^2} = HB.HC \cr & \Rightarrow AH = \sqrt {HB.HC} \cr & = \sqrt {6.18} = \sqrt {108} = 6\sqrt 3 \cr} \) Câu 6. Trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng và nó chia ra trên cạnh huyền. Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) \(AB = 5,AC = 7\) Theo định lý Pi-ta-go, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \cr & = \sqrt {{5^2} + {7^2}} = \sqrt {74} \cr} \) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có: \(\eqalign{ & AH.BC = AB.AC \cr & \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} \cr & = {{5.7} \over {\sqrt {74} }} = {{35} \over {\sqrt {74} }} \cr} \) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = BH.BC \cr & \Rightarrow BH = {{A{B^2}} \over {BC}} \cr & = {{{5^2}} \over {\sqrt {74} }} = {{25} \over {\sqrt {74} }} \cr} \) \(\eqalign{ & CH = BC - BH \cr & = \sqrt {74} - {{25} \over {\sqrt {74} }} = {{74 - 25} \over {\sqrt {74} }} = {{49} \over {\sqrt {74} }} \cr} \) Câu 7. Trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này. Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có: \(\widehat {BAC} = {90^0},AH \bot BC,BH = 3,CH = 4\) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = BH.BC \cr & = 3.(3 + 4) = 3.7 = 21 \cr & \Rightarrow AB = \sqrt {21} \cr} \) \(\eqalign{ & A{C^2} = CH.BC \cr & = 4.(3 + 4) = 4.7 = 28 \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \cr} \) Câu 8. Trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này. Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) Theo đề bài, ta có: \(BC - AB = 1(cm)\) (1) \(AB + AC - BC = 4(cm)\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(BC - AB + AB + AC - BC = 4 + 1 = 5(cm)\) Theo định lý Pi-ta-go, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (3) Từ (1) suy ra: \(BC = AB + 1\) (4) Thay (4) và (3) ta có: \(\eqalign{ & {\left( {AB + 1} \right)^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & \Leftrightarrow A{B^2} + 2AB + 1 = A{B^2} + {5^2} \cr & \Leftrightarrow 2AB = 24 \cr & \Leftrightarrow AB = 12\left( {cm} \right) \cr} \) Thay AB = 12 (cm) vào (1) ta có: \(BC = 12 + 1 = 13(cm)\) Câu 9 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này. Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {90^0},AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\) và \(BH < CH\) Ta có: \(BH + CH = 5\) (1) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có: \(BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(BH = 1\) và \(CH = 4\) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(A{B^2} = BH.BC = 1.5 = 5\) Suy ra: \(AB = \sqrt 5 \). Câu 10. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {90^0 },AH \bot BC,BC = 125cm,{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\) Từ \({{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\) suy ra: \({{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}}\) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có: \({{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {25}}\) (1) Theo định lí Pi-ta-go, ta có: \(\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {125^2} = 15625 \cr} \) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \({{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{15625} \over {25}} = 625\) (3) Từ (3) suy ra : \(A{B^2} = 9.625 = 5625 \Rightarrow AB = \sqrt {5625} = 75(cm)\) \(A{C^2} = 16.625 = 10000 \Rightarrow AB = \sqrt {10000} = 100(cm)\) Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = {{A{B^2}} \over {BC}} = {{{{75}^2}} \over {125}} = 45(cm)\) \(CH = BC - BH = 125 - 45 = 80(cm)\) Câu 11. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \({{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\), đường cao \(AH = 30cm\). Tính HB, HC. Gợi ý làm bài: Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^0}\) \(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\)) Vậy ∆AHB đồng dạng ∆CHA (g.g) Suy ra: \({{AH} \over {HC}} = {{AB} \over {CA}}.\) (1) Theo đề bài: \({{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\) và \(AH = 30(cm)\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \({{30} \over {HC}} = {5 \over 6} \Rightarrow HC = {{30.6} \over 5} = 36(cm)\) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \(A{H^2} = HB.HC \Rightarrow HB = {{A{H^2}} \over {HC}} = {{{{30}^2}} \over {36}} = 25(cm)\) Câu 12. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R. Gợi ý làm bài: Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230km nên tam giác AOB cân tại O. Ta có: \(OA = R + 230\) \( = 6370 + 230 = 6600(km)\) Trong tam giác AOB ta có: \(OA \bot AB\) Suy ra: \(HA = HB = {{AB} \over 2} = {{2200} \over 2} = 1100(km)\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO ta có: \(A{O^2} = A{H^2} + O{H^2}\) Suy ra: \(O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}\) Suy ra: \(\eqalign{ & OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} \cr & = \sqrt {{{6600}^2} - {{1100}^2}} = \sqrt {42350000} \approx 6508(km) \cr} \) Vì \(OH > R\) nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau. Câu 13. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng: a) \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}\) b) \(\sqrt {{a^2} - {b^2}} \,,\,\left( {a > 0} \right)\) Gợi ý làm bài: a) \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}\) * Cách dựng (hình a): − Dựng góc vuông xOy. − Trên tia Ox, dựng đoạn OA = a. − Trên tia Oy, dựng đoạn OB = b. − Nối AB ta có đoạn \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) cần dựng. * Chứng minh: Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có: \(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {a^2} + {b^2}\) Suy ra: \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) b) \(\sqrt {{a^2} - {b^2}} \,,\,\left( {a > 0} \right)\) * Cách dựng (hình b): − Dựng góc vuông xOy. − Trên tia Ox, dựng đoạn OA = b. − Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt Oy tại B. Ta có đoạn \(OB = \sqrt {{a^2} - {b^2}} (a > b)\) cần dựng. * Chứng minh; Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có: \(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \Rightarrow O{B^2} = A{B^2} - O{A^2} = {a^2} - {b^2}\) Suy ra: \(OB = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) Câu 14. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng \(\sqrt {ab} \) như thế nào? Gợi ý làm bài: * Cách dựng: − Dựng đường thẳng t. − Trên đường thẳng t dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b. − Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC. − Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D. Ta có đoạn \(BD = \sqrt {ab} \) cần dựng. * Chứng minh: Nối DA và DC. Ta có tam giác ACD vuông tại D và \(DB \bot AC\). Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \(B{D^2} = AB.BC = a.b\) Suy ra: \(BD = \sqrt {ab} \). Câu 15. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Giữa hai tòa nhà ( kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất (h.7). Tìm độ dài AB của băng chuyền. Gợi ý làm bài: Kẻ \(BH \bot AD\) ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật. Ta có: BC = DH và BH = CD (tính chất hình chữ nhật) Suy ra: DH = 4 (m) \(AH = 8 - 4 = 4\)(m) BH = 10 (m) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có: \(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\) Suy ra: \(AB = \sqrt {B{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{10}^2} + {4^2}} = \sqrt {116} \approx 10,8(m)\) Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8m. Câu 16. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác. Gợi ý làm bài: Ta có: \({5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169 = {13^2}\) Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lý Pi-ta-go (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông. Vậy góc đối diện với cạnh 13 ( cạnh dài nhất) là góc vuông. Câu 17. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn \(4{2 \over 7}m\) và \(5{5 \over 7}m\). Tính các kích thước của hình chữ nhật. Gợi ý làm bài: Trong tam giác ABC, gọi giao điểm đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) với cạnh AC là E. Theo đề bài ta có: \(AE = 4{2 \over 7}m,\,EC = 5{5 \over 7}m.\) Theo tính chất của đường phân giác, ta có: \({{AE} \over {EC}} = {{AB} \over {BC}}\) Suy ra: \({{AB} \over {BC}} = {{4{2 \over 7}} \over {5{5 \over 7}}} = {{{{30} \over 7}} \over {{{40} \over 7}}} = {3 \over 4}\) Suy ra: \({{AB} \over 3} = {{BC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{B{C^2}} \over {16}}\) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) Mà \(AC = AE + EC\) nên: \(\eqalign{ & A{B^2} + B{C^2} = {(AE + EC)^2} \cr & = {\left( {4{2 \over 7} + 5{5 \over 7}} \right)^2} = {\left( {{{30} \over 7} + {{40} \over 7}} \right)^2} = {10^2} = 100 \cr} \) Mà : \(\eqalign{ & {{A{B^2}} \over 9} = {{B{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {9 + 16}} \cr & = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {25}} = {{100} \over {25}} = 4 \cr} \) Suy ra: \(A{B^2} = 9.4 = 36 \Rightarrow AB = \sqrt {36} = 6\left( m \right)\) \(B{C^2} = 16.4 = 64 \Rightarrow BC = \sqrt {64} = 8\left( m \right)\) Vậy: \(AB = CD = 6m\) \(BC = AD = 8m\) Câu 18. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC. Gợi ý làm bài: Gọi a, b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH. Ta có: \(b = 30cm,c = 40cm.\) Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \) \(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\)) Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g) Suy ra: \({{HB} \over {HA}} = {{HA} \over {HC}} = {{BA} \over {AC}} = {{HB + HA + BA} \over {HA + HC + AC}} = {b \over c}\) Suy ra: \({{BA} \over {AC}} = {b \over c} = {{30} \over {40}} = {3 \over 4}\) Suy ra: \({{BA} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{B{A^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{A^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{B{A^2} + A{C^2}} \over {25}}\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) Suy ra: \({{B{A^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{C^2}} \over {25}} \Rightarrow {{BA} \over 3} = {{AC} \over 4} = {{BC} \over 5}\) Ta có các tam giác ABH, CAH, CBA đồng dạng với nhau nên: \(b:c:a = BA:AC:BC = 3:4:5\) Suy ra: \({b \over 3} = {c \over 4} = {a \over 5} \Leftrightarrow {{30} \over 3} = {{40} \over 4} = {a \over 5} \Rightarrow a = {{30} \over 3}.5 = 50\left( {cm} \right)\) Câu 19. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN. Gợi ý làm bài: Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có: \({{MA} \over {MC}} = {{AB} \over {BC}} \Rightarrow {{MA} \over {MA + MC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\) (Tính chất tỉ lệ thức) Suy ra: \(MA = {{AB.(MA + MC)} \over {AB + BC}} = {{6.8} \over {6 + 10}} = {{48} \over {16}} = 3\left( {cm} \right)\) Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: \(BM \bot BN\) Suy ra tam giác BMN vuông tại B. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: \(A{B^2} = AM.AN\) Suy ra: \(AN = {{A{B^2}} \over {AM}} = {{{6^2}} \over 3} = {{36} \over 3} = 12\left( {cm} \right)\) Câu 20. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kể MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: \(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\) Gợi ý làm bài: Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có: \(B{M^2} = B{D^2} + D{M^2} \Rightarrow B{D^2} = B{M^2} - D{M^2}\) (1) Áp dụng đinh lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có: \(C{M^2} = C{E^2} + E{M^2} \Rightarrow C{E^2} = C{M^2} - E{M^2}\) (2) Áp dụng định lí pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có: \(A{M^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2} + F{M^2} \Rightarrow A{F^2} = A{M^2} - F{M^2}\) (3) Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có: \(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2}\) \(= B{M^2} - D{M^2} + C{M^2} - E{M^2} + A{M^2} - F{M^2}\) (4) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có: \(B{M^2} = B{F^2} + F{M^2}\) (5) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có: \(C{M^2} = C{D^2} + D{M^2}\) (6) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có: \(A{M^2} = A{E^2} + E{M^2}\) (7) Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có: \(\eqalign{ & B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} \cr & = B{F^2} + F{M^2} - D{M^2} + C{D^2} + D{M^2} - E{M^2} + A{E^2} + E{M^2} - F{M^2} \cr & = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2} \cr} \) Vậy \(B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\) Câu 1.1. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 3 : 4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng: (A) 6cm ; (B) 9cm ; (C) 12cm ; (D) 15cm. Hãy chọn phương án đúng. Gợi ý làm bài: ∆ABC đồng dạng ∆HAC nên \({3 \over 4} = {{AB} \over {AC}} = {{HA} \over {HC}}\) suy ra \(HC = {4 \over 3}HA = 12\). Chọn (C) Câu 1.2. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng: (A) 6cm ; (B) 9,6cm ; (C) 12cm ; (D) 15cm. Hãy chọn phương án đúng. Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH : AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c', CH = b'. Gợi ý làm bài: ∆ABC đồng dạng ∆HBA nên \({4 \over 5} = {{AB} \over {AC}} = {{HB} \over {HA}}\) suy ra \(HB = {4 \over 5}HA = {{48} \over 5} = 9,6\) (cm). Chọn (B) Câu 1.3. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Tính h, b, c nếu biết b¢ = 36, c¢ = 64. b) Tính h, b, b¢, c¢ nếu biết a = 9, c = 6. Gợi ý làm bài: a) h2 = b'c' kéo theo h = 48 ; a = b' + c' = 100 từ b2 = ab' suy ra b = 60, từ c2 = ac' suy ra c = 80. b) \(c' = {{{c^2}} \over a} = 4,b' = a - c' = 5,{b^2} = ab' = 45\) nên \(b = 3\sqrt 5 ;{h^2} = b'c' = 20,\) nên \(h = 2\sqrt 5 \). Câu 1.4. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy biểu thị b', c' qua a, b, c. Gợi ý làm bài: Từ \({b^2} = ab',{c^2} = ac'\) suy ra \(b' = {{{b^2}} \over a},c' = {{{c^2}} \over a}.\) Câu 1.5. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng minh rằng: a) \(h = {{bc} \over a}\); b) \({{{b^2}} \over {{c^2}}} = {{b'} \over {c'}}.\) Gợi ý làm bài: a) Hai cách: Cách 1: Dùng công thức tính diện tích tam giác vuông ABC: \(S = {1 \over 2}ah = {1 \over 2}bc\) suy ra \(h = {{bc} \over a}.\) Cách 2: dùng tam giác đồng dạng ∆ABC đồng dạng ∆HBA suy ra \({{AC} \over {HA}} = {{BC} \over {BA}}\) tức là \({b \over h} = {a \over c}\), hay \(h = {{bc} \over a}.\) b) Từ \({b^2} = ab',{c^2} = ac'\) suy ra \({{{b^2}} \over {{c^2}}} = {{b'} \over {c'}}\). Câu 1.6. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Đường cao của một tam giác vuông kể từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng 9cm. Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ 6 : 5. Gợi ý làm bài: Xét tam giác ABC vuông tại A với AB > AC, gọi AH là đường cao kẻ từ A thì ta có: \({{AB} \over {AC}} = {6 \over 5},HB = 9.\) Từ đó \({{A{B^2}} \over {A{C^2}}} = {{BH} \over {CH}} = {9 \over {BC - 9}} = {{36} \over {25}}\) nên \(BC - 9 = {{25} \over 4}\), suy ra \(BC = {{61} \over 4} = 15{1 \over 4}\left( {cm} \right)\). Câu 1.7. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trong tam giác có các cạnh là 5cm, 12cm, 13cm, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó. Gợi ý làm bài: Xét tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, BC = 13cm. Vì \({13^2} = {5^2} + {12^2}\) nên ∆ABC là tam giác vuông tại A. Gọi AH là đường cao kẻ từ A thì \(HB = {{A{B^2}} \over {BC}} = {{25} \over {15}}\left( {cm} \right)\), \(HC = 13 - {{25} \over {13}} = {{144} \over {13}}\left( {cm} \right)\). Câu 1.8. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3. Gợi ý làm bài: \(A{H^2} = HB.HC = {12^2} = 144\) mà HC = 3HB nên \(H{B^2} = {{{{12}^2}} \over 3} = 48\), suy ra \(HB = 4\sqrt 3 \), \(HC = 12\sqrt 3 \) và \(BC = HB + HC = 16\sqrt 3 \left( {cm} \right)\). Câu 1.9. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Tại sao ? a) ∆HCD đồng dạng với ∆ABM. b) AH = 2HD. Gợi ý làm bài: a) Hai tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng ( có cùng góc nhọn tại C) mà ∆DCM đồng dạng với ∆ABM ( vì là hai tam giác vuông có \(\widehat {DMC} = \widehat {AMB}\), vậy ∆HCD đồng dạng với ∆ABM. Khẳng định a) đúng. b) Theo câu a), từ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta có HC < MC ( H là chân đường cao hạ từ D của tam giác DCM vuông tại D) nên HC = 2HD < MC = AM < AH ( do M nằm giữa A và H), vì thế 2HD không thể bằng AH. Khẳng định b) là sai. Câu 1.10. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB. Gợi ý làm bài: Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có: \({{HD} \over {HB}} = {{A{D^2}} \over {A{B^2}}} = {{{4^2}} \over {{6^2}}} = {4 \over 9}.\) Dễ thấy ∆HDC đồng dạng với ∆HBA nên \({{DC} \over {AB}} = {{HD} \over {HB}} = {4 \over 9}\) suy ra \(DC = {4 \over 9}.6 = {8 \over 3}\left( {cm} \right)\) Kẻ đường cao CK của tam giác ABC, dễ thấy \(KB = AB-DC = 6 - {8 \over 3} = {{10} \over 3}.\) Từ đó \(B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2} = {{100} \over 9} + 16 = {{244} \over 9}\) suy ra \(BC = {{\sqrt {244} } \over 3} = {{2\sqrt {61} } \over 3}\left( {cm} \right)\) Tam giác vuông ABD có \(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {4^2} = 52\), từ đó \(DB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \left( {cm} \right)\)
