Câu 21. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Vẽ một tam giác vuôg có một góc nhon bằng rồi viết các tỉ số lượng giác của góc . Gợi ý làm bài: Vẽ tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat A = {90^0},\,\widehat B = {40^0}\) Đặt \(AB = c,AC = b,BC = a.\) Ta có: \(\sin 40^\circ = \sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {b \over a}\) \(\cos 40^0 = \cos \widehat B = {{AB} \over {BC}} = {c \over a}\) \(tg{40^0} = tg\widehat B = {{AC} \over {AB}} = {b \over c}\) \(cotg40^\circ = cotg\widehat B = {{AB} \over {AC}} = {c \over b}\) Câu 22. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: \({{\sin \widehat B} \over {\sin \widehat C}} = {{AC} \over {AB}}\) Gợi ý làm bài: Tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \) . Ta có: \(\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}};\sin \widehat C = {{AB} \over {BC}}\) Suy ra: \({{\sin \widehat B} \over {\sin \widehat C}} = {{{{AC} \over {BC}}} \over {{{AB} \over {BC}}}} = {{AC} \over {BC}}.{{BC} \over {AB}} = {{AC} \over {AB}}.\) Câu 23. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat B = 30^\circ ,BC = 8cm.\) Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng \(\cos 30^\circ \approx 0,866.\) Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = 30^\circ ,BC = 8cm\). Ta có: \(\cos \widehat B = {{AB} \over {BC}}\) Suy ra: \(AB = BC.\cos \widehat B = 8.\cos 30^\circ = 8.0,866 \approx 6,928\left( {cm} \right)\) Câu 24. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB = 6cm,\widehat B = \alpha \). Biết \(tg\alpha = {5 \over {12}}.\) Hãy tính: a) Cạnh AC; b) Cạnh BC. Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = \alpha .\) a) Ta có: \(tg\alpha = tg\widehat B = {{AC} \over {AB}}\) Suy ra: \(AC = AB.tg\widehat B = AB.tg\alpha = 6.{5 \over {12}} = 2,5\left( {cm} \right)\) b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {(2,5)^2} = 42,25\) Suy ra: \(BC = \sqrt {42,25} = 6,5\left( {cm} \right)\) Câu 25. Trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm giá trị x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng: \(tg47^\circ \approx 1,072;\cos 38^\circ \approx 0,788.\) Gợi ý làm bài: a) Hình a Ta có: \(tg47^\circ = {{63} \over x}.\) Suy ra: \(x = {{63} \over {tg47^\circ }} \approx {{63} \over {1,072}} = 58,769\) b) Hình b Ta có: \(\cos 38^\circ = {{16} \over x}.\) Suy ra: \(x = {{16} \over {\cos 38^\circ }} \approx {{16} \over {0,788}} = 20,305\) Câu 26. Trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6cm, AC = 8cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C. Gợi ý làm bài: Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) Suy ra: BC = 10 (cm) Ta có: \(\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {8 \over {10}} = 0,8\) \(\cos \widehat B = {{AB} \over {BC}} = {6 \over {10}} = 0,6\) \(tg\widehat B = {{AC} \over {AB}} = {8 \over 6} = {4 \over 3}\) \(cotg\widehat C = tg\widehat B = {4 \over 3}\) Câu 27. Trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính sinB, sinC trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng: a) AB = 13; BH = 5. b) BH = 3; CH = 4. Gợi ý làm bài: a) Xét tam giác vuông ABH, ta có: \(\cos \widehat B = {{BH} \over {AB}} = {5 \over {13}}\) Tam giác ABC vuông tại A nên: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) Suy ra: \(\sin \widehat C = c{\rm{os}}\widehat B = {5 \over {13}} = 0,3864.\) Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {13^2} - {5^2} = 144\) Suy ra: AH = 12 Ta có: \(\sin B = {{AH} \over {AB}} = {{12} \over {13}} \approx 0,9231\) b) Ta có: \(BC = BH + HC = 3 + 4 = 7\) Theo hệ thức liên hệ giữa góc vuông và hình chiếu, ta có: \(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC} = \sqrt {3.7} = \sqrt {21} \) \(\eqalign{ & A{C^2} = CH.BC \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} = \sqrt {4.7} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \cr} \) Suy ra: \(\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {{2\sqrt 7 } \over 7} \approx 0,7559\) \(\sin \widehat C = {{AB} \over {BC}} = {{\sqrt {21} } \over 7} \approx 0,6547\) Câu 28. Trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45° ; \(\sin 75^\circ ,\cos 53^\circ ,\sin 47^\circ 20',,tg62^\circ ,\cot g82^\circ 45'.\) Gợi ý làm bài: Vì \(75^\circ + 15^\circ = 90^\circ \) nên \(\sin 75^\circ = \cos 15^\circ \) Vì \(53^\circ + 37^\circ = 90^\circ \) nên \(\cos 53^\circ = \sin 37^\circ \) Vì \(47^\circ 20' + 42^\circ 20' = 90^\circ \) nên \(\sin 47^\circ 20' = \cos 42^\circ 40'\) Vì \(62^\circ + 28^\circ = 90^\circ \) nên \(tg62^\circ = \cot g28^\circ \) Vì \(82^\circ 45' + 7^\circ 15' = 90^\circ \) nên \(\cot g82^\circ 45' = tg7^\circ 15'\) Câu 29. Trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính: a) \({{\sin 32^\circ } \over {\cos 58^\circ }};\) b) \(tg76^\circ - \cot g14^\circ \). Gợi ý bài làm: a) Ta có: \(32^\circ + 58^\circ = 90^\circ \) Suy ra: \(\sin 32^\circ = \cos 58^\circ .\) Vậy \({{\sin 32^\circ } \over {\cos 58^\circ }} = 1.\) b) Ta có: \(76^\circ + 14^\circ = 90^\circ \) Suy ra: \(tg76^\circ = \cot g14^\circ .\) Vậy \(tg76^\circ - \cot g14^\circ = 0.\) Câu 30. Trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Đường cao MQ của tam giác vuông MNP chia cạnh huyền NP thành hai đoạn NQ = 3, PQ = 6. Hãy so sánh cotgN và cotgP. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần? Gợi ý làm bài: Tam giác MNQ vuông tại Q nên ta có: \(\cot g\widehat N = {{NQ} \over {MQ}} = {3 \over {MQ}}\) Tam giác MPQ vuông tại Q nên ta có: \(\cot g\widehat P = {{PQ} \over {MQ}} = {6 \over {MQ}}\) Ta có: \({6 \over {MQ}} > {3 \over {MQ}}\) nên \(\cot g\widehat P > \cot g\widehat N\) \({{\cot g\widehat P} \over {\cot g\widehat N}} = {{{6 \over {MQ}}} \over {{3 \over {MQ}}}} = {6 \over {MQ}}.{{MQ} \over 3} = {6 \over 3} = 2\) Vậy \(\cot g\widehat P = 2\cot g\widehat N.\) Câu 31. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cạnh góc vuông kề với góc của một tam giác vuông bằng 3. Sử dụng bằng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư). Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ ,\widehat C = 60^\circ ,AC = 3\). Ta có: \(BC = {{AC} \over {\cos 60^\circ }} = {3 \over {{1 \over 2}}} = 6\) \(\sin 60^\circ = \sin \widehat C = {{AB} \over {BC}}\) Suy ra: \(AB = BC.\sin 60^\circ = 6.{{\sqrt 3 } \over 2} = 3\sqrt 3 \) Câu 32. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6, đoạn thẳng AD = 5. a) Tính diện tích tam giác ABD; b) Tính AC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần: \(\sin C = {3 \over 5},\cos C = {4 \over 5},tgC = {3 \over 4}.\) Gợi ý làm bài: a) Vì tam giác ABD vuông tại D nên ta có: \({S_{\Delta ABD}} = {1 \over 2}.BD.AD = {1 \over 2}.6.5 = 15\) (đvdt) b) Ta có: \(tg\widehat C = {{BD} \over {DC}}\) Theo giả thiết: \(tg\widehat C = {3 \over 4}\) Suy ra: \({{BD} \over {DC}} = {3 \over 4} \Rightarrow DC = {4 \over 3}BD = {{4.6} \over 3} = 8\) Suy ra: \(AC = AD + DC = 5 + 8 = 13.\) Câu 33. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho \(\cos \alpha = 0,8\). Hãy tìm \(\sin \alpha ,tg\alpha ,\cot g\alpha \) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư). Gợi ý làm bài: Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Suy ra: \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {(0,8)^2} = 1 - 0,64 = 0,36\) Vì \(\sin \alpha > 0\) nên \(\sin \alpha = \sqrt {0,36} = 0,6\) Suy ra: \(tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = {{0,6} \over {0,8}} = {3 \over 4} = 0,75\) \(\cot g\alpha = {1 \over {tg\alpha }} = {1 \over {0,75}} = 1,3333\) Câu 34. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy tìm \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết: a) \(tg\alpha = {1 \over 3}\) ; b) \(\cot g\alpha = {3 \over 4}.\) Gợi ý làm bài: a) Vì \(tg\alpha = {1 \over 3}\) nên là góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 1 và 3. Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là: \(\sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} = 3,1623\) Vậy: \(\sin \alpha = {1 \over {3,1623}} \approx 0,3162\); \(\cos \alpha = {3 \over {3,1623}} \approx 0,9487\) b) Vì \(\cot g = {3 \over 4}\) nên là góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3 và 4. Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là: \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} = \sqrt {25} = 5\) Vậy: \(\sin \alpha = {3 \over 5} \approx 0,6\); \(\cos \alpha = {4 \over 5} \approx 0,8\) Câu 35. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Dựng góc nhọn , biết rằng: a) \(sin\alpha = 0,25\); b) \(cos\alpha = 0,75\) ; c) \(tg\alpha = 1\); d) \(\cot g\alpha = 2\) Gợi ý làm bài: a) \(sin\alpha = 0,25\) * Cách dựng: hình a − Dựng góc vuông xOy. − Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài. − Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B. − Nối AB ta được \(\widehat {OBA} = \alpha \) cần dựng. * Chứng minh: ta có: \(\sin \alpha = \sin \widehat {OBA} = {{OA} \over {AB}} = {1 \over 4} = 0,25\) b) \(cos\alpha = 0,75\) ; * Cách dựng:hình b: − Dựng góc vuông xOy. − Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 3 đơn vị dài. − Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B. − Nối AB ta được \(\widehat {OAB} = \alpha \) cần dựng. * Chứng minh: Ta có: \(\cos \widehat {OAB} = {{OA} \over {AB}} = {3 \over 4} = 0,75\) c) \(tg\alpha = 1\); * Cách dựng: hình c − Dựng góc vuông xOy − Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài − Trên tia Oy dựng đoạn OB bằng 1 đơn vị dài − Nối AB ta được \(\widehat {OAB} = \alpha \) cần dựng * Chứng minh:Ta có: \(tg\alpha = tg\widehat {OAB} = {{OB} \over {OA}} = {1 \over 1} = 1\) d) \(\cot g\alpha = 2\) * Cách dựng: hình d − Dựng góc vuông xOy − Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 2 đơn vị dài − Trên tia Oy dựng đoạn OB bằng 1 đơn vị dài − Nối AB ta được \(\widehat {OAB} = \alpha \) cần dựng * Chứng minh: Ta có: \(\cot g\alpha = \sin \widehat {OAB} = {{OA} \over {OB}} = {2 \over 1} = 2\). Câu 36. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trong mặt phẳng tọa độ, các đỉnh của tam giác ABC có tọa độ như sau: A(1 ; 1) ; B(5 ; 1) ; C(7 ; 9) Hãy tính: a) Giá trị của \(tg\widehat {BAC}\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư); b) Độ dài của cạnh AC. Gợi ý làm bài: a) Vì tam giác ACH vuông tại H nên ta có: \(tg\widehat {HAC} = {{CH} \over {AH}} = {{9 - 1} \over {7 - 1}} = {8 \over 6} = 1,3333\) Mà A, B, H thẳng hàng nên suy ra: \(tg\widehat {BAC} = tg\widehat {HAC} = 1,3333\) b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH, ta có: \(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2}\) Suy ra: \(AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = \sqrt {100} = 10\) Câu 37. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình 12. Hãy viết một phương trình để từ đó có thể tìm được x (không phải giải phương trình này). Gợi ý làm bài: Từ đỉnh của góc 70°, kẻ đường cao của tam giác. Sử dụng tỉ số sin của các góc, ta có phương trình: \(x\sin 30^\circ = 4\sin 80^\circ \) Câu 38. Trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy tính sinL (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng \(\sin 30^\circ = 0,5.\) Gợi ý làm bài: Kẻ \(MH \bot NL\) Ta có: \(\sin 30^\circ = {{MH} \over {MN}} \Rightarrow MH = \sin 30^\circ .MN = \sin 30^\circ .2,8\) \(\sin L = {{MH} \over {ML}} = {{\sin 30^\circ .2,8} \over {4,2}} = {{0,5.2,8} \over {4,2}} = {1 \over 3} \approx 0,3333.\) Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11. Câu 2.1 (A) \(\sin \alpha = {a \over b}\); (B) \(sin\alpha = {b \over c}\); (C) \(\sin \alpha = {{b'} \over b}\); (D) \(\sin \alpha = {h \over a}.\) Câu 2.2 (A) \(cos\alpha = {a \over b};\) (B) \(cos\alpha = {a \over c}\); (C) \(cos\alpha = {b \over c}\); (D) \(cos\alpha = {b \over {b'}}.\) Câu 2.3 (A) \(tg\alpha = {b \over a}\); (B) \(tg\alpha = {b \over c}\) ; (C) \(tg\alpha = {b \over h}\); (D) \(tg\alpha = {h \over {b'}}\). Câu 2.4 (A) \(\cot g\alpha = {b \over a}\); (B) \(\cot g\alpha = {b \over c}\); (C) \(\cot g\alpha = {a \over c}\); (D) \(\cot g\alpha = {h \over b}.\) Câu 2.5 (A) \(\sin \alpha = \sin \beta \); (B) \(\sin \alpha = \cos \beta\); (C) \(\sin \alpha = tg\beta \); (D) \(\sin \alpha = {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \beta \). Câu 2.6 (A) \(\cos \alpha = \cos \beta \); (B) \(\cos \alpha = tg\beta \); (C) \(\cos \alpha = {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \beta \); (D) \(\cos \alpha = \sin \beta \). Câu 2.7 (A) \(tg\alpha = tg\beta \); (B) \(tg\alpha = cotg\beta \); (C) \(tg\alpha = \sin \beta \); (D) \(tg\alpha = \cos \beta \). Câu 2.8 (A) \(\cot g\alpha = tg\beta \); (B) \(\cot g\alpha = cotg\beta \); (C) \(\cot g\alpha = \cos \beta \); (D) \(\cot g\alpha = \sin \beta \). Câu 2.9 (A) cos2∝ + sin2β = 1 ; (B) sin2∝ + cos2β = 1 ; (C)sin2∝ + cos2= 1 ; (D) cos2∝ + cos2β = 2. Câu 2.10 (A) tg∝ = sin∝ + cos∝ ; (B) tg∝ = sin∝ - cos∝ ; (C) tg∝ = sin∝ .cos∝ ; (D) tg∝ = \({{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.\) Câu 2.11. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 (A) cotg∝ = 1 + tg∝ ; (B) cotg∝ = 1 − tg∝ ; (C)cotg∝ = 1.tg∝ ; (D) cotg∝ = \({1 \over {tg\alpha }}.\) Gợi ý làm bài: 2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.102.11DCDABDBACDD Câu 2.12. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho \(\sin \alpha = {1 \over 2}.\) Hãy tìm cosα, tgα, cotgα ( 0º <α < 90º). Gợi ý làm bài: \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = {3 \over 4}\) nên \(\cos \alpha = {{\sqrt 3 } \over 2}\) \(tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = {{{1 \over 2}} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\) \(\cot g\alpha = {1 \over {tg\alpha }} = \sqrt {3.} \) Câu 2.13. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho \(\cos \alpha = {3 \over 4}.\) Hãy tìm sinα, tgα, cotgα ( 0º < α < 90º ). Gợi ý làm bài: \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {9 \over {16}}} = {{\sqrt 7 } \over 4}.\) \(tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha }} = {{\sqrt 7 } \over 3},\) \(\cot g\alpha = {1 \over {tg\alpha }} = {3 \over {\sqrt 7 }} = {{3\sqrt 7 } \over 7}.\) Câu 2.14. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = {1 \over 3}BC\). Hãy tính sinC, cosC, tgC, cotgC. Gợi ý làm bài: Do \(AB = {1 \over 3}BC\) nên \(\sin C = {{AB} \over {BC}} = {1 \over 3}.\) Từ đó \(\eqalign{ & \cos C = \sqrt {1 - {1 \over 9}} = {{2\sqrt 2 } \over 3}, \cr & tgC = {{\sin C} \over {\cos C}} = {1 \over {2\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 4}, \cr & \cot gC = {4 \over {\sqrt 2 }} = 2\sqrt {2.} \cr} \) Câu 2.15. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy tính: a) 2sin30º − 2cos60º + tg45º ; b) sin45º + cotg60º . cos30º ; c) cotg44º . cotg45º . cotg46º ; Gợi ý làm bài: a) 2sin30º − 2cos60º + tg45º = tg45º = 1 ( do sin30º = cos60º). b) sin45º + cotg60º . cos30º = \({{\sqrt 2 } \over 2} + {1 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{1 + \sqrt 2 } \over 2}.\) c) cotg44º . cotg45º . cotg46º = cotg45º = 1 ( vì cotg44º = tg46º ( do 44º + 46º = 90º) mà tg46º . cotg46º = 1). Câu 2.16. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC. Gợi ý làm bài: Kẻ đường cao BH của tam giác ABC thì H nằm trên tia AC (để \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) là góc nhọn ), do đó HC2 = (AC – AH)2 Công thức Py-ta-go cho ta: BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = BH2 + AH2 +AC2 – 2AC.AH = AB2 + AC2 – 2AC.AH. Do \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên AH = AB cos60º = \({{AB} \over 2},\) suy ra BC2 = AB2 + AC2 − AB.AC . Câu 2.17 Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tứ giác ABCD có α là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng: \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD.\sin a.\) Gợi ý làm bài: Giả sử hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I, \(\widehat {AIB} = \alpha \) là góc nhọn. Kẻ đường cao AH của tam giác ABD và đường cao CK của tam giác CBD. Ta có: AH = AIsinα, CK = CIsinα, diện tích tam giác ABD là \({S_{ABD}} = {1 \over 2}BD.AH,\) diện tích tam giác CBD là: \({S_{CBD}} = {1 \over 2}BD.CK.\) Từ đó diện tích S của tứ giác ABCD là: \(\eqalign{ & S = {S_{ABD}} + {S_{CBD}} \cr & = {1 \over 2}BD.(AH + CK) \cr & = {1 \over 2}BD.(AI + CI)\sin \alpha \cr & = {1 \over 2}{\rm{BC}}{\rm{.ACs}}in\alpha \cr} \) Câu 2.18. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho góc nhọn α a) Chứng minh rằng \({{1 - tg\alpha } \over {1 + tg\alpha }} = {{\cos \alpha - \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }}.\) b) Cho \(tg\alpha = {1 \over 3}.\) Tính \({{\cos \alpha - \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }}\). Gợi ý làm bài: a) \({{1 - tg\alpha } \over {1 + tg\alpha }} = {{1 - {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}} \over {1 + {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}}} = {{\cos \alpha - \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }}.\) b) \({{\cos \alpha - \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }} = {{1 - tg\alpha } \over {1 + tg\alpha }} = {{1 - {1 \over 3}} \over {1 + {1 \over 3}}} = {1 \over 2}.\) Câu 2.19 Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tính giá trị của biểu thức a) \({{3\cot g60^\circ } \over {2{{\cos }^2}30^\circ - 1}}\); b) \({{\cos 60^\circ } \over {1 + \sin 60^\circ }} + {1 \over {tg30^\circ }}.\) Gợi ý làm bài: a) \(\eqalign{ & {{3\cot g60^\circ } \over {2{{\cos }^2}30^\circ - 1}} \cr & = {{\sqrt 3 } \over {2{{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2} - 1}} \cr & = {{\sqrt 3 } \over {{3 \over 2} - 1}} = 2\sqrt 3 \cr} \) b) \(\eqalign{ & {{\cos 60^\circ } \over {1 + \sin 60^\circ }} + {1 \over {tg30^\circ }} \cr & = {{{1 \over 2}} \over {1 + {{\sqrt 3 } \over 2}}} + \sqrt 3 \cr & = {1 \over {2 + \sqrt 3 }} + \sqrt 3 \cr & = {{2(2 + \sqrt {3)} } \over {2 + \sqrt 3 }} = 2. \cr} \) Câu 2.20. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trong hình thang vuông ABCD với đáy là AD, BC có \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \), \(\widehat {ACD} = 90^\circ ,BC = 4cm,AD = 16cm.\) Hãy tìm các góc C và D của hình thang. Gợi ý làm bài: Kẻ đường cao CH của tam giác ACD vuông tại C. Khi đó: AH = BC = 4, HD = AD – AH = 12. Từ đó: HC2 = HA.HD = 48, vậy HC = \(4\sqrt 3 \). Trong tam giác vuông HCD, ta có: \(tgD = {{HC} \over {HD}} = {{4\sqrt 3 } \over {12}} = {{\sqrt 3 } \over 3} = tg30^\circ \) nên \(\widehat D = 30^\circ \). Suy ra: \(\widehat {BCD} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ .\) Câu 2.21. Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tính các góc của một hình thoi, biết hai đường chéo của nó có độ dài là và 2. Gợi ý làm bài: Coi đường chéo \(AC = 2\sqrt 3 \), đường chéo BD = 2 thì để ý rằng AC và BD vuông góc, ta có: \(tg\widehat {DAC} = {{OD} \over {OA}} = {1 \over {\sqrt 3 }} = tg30^\circ \) nên \(\widehat {DAC} = 30^\circ \) từ đó góc A của hình thoi là 60º. Suy ra \(\widehat C = 60^\circ \) còn \(\widehat B = \widehat D = 120^\circ \) Câu 2.22 Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Các cạnh của một hình chữ nhật bằng 3cm và \(\sqrt 3 \) cm. Hãy tìm các góc hợp bởi đường chéo và các cạnh của hình chữ nhật đó. Gợi ý làm bài: Hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, BC = \(\sqrt 3 \) cm nên \(tg\widehat {BAC} = {{BC} \over {AB}} = {{\sqrt 3 } \over 3} = tg30^\circ .\) Vậy \(\widehat {BAC} = 30^\circ \), \(\widehat {DAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\)
