Câu 15 trang 158 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn; b) HK < BC. Giải: a) Gọi M là trung điểm của BC Tam giác BCH vuông tại H có HM là đường trung tuyến nên: \(HM = {1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông) Tam giác BCK vuông tại K có KM là đường trung tuyến nên: \(KM = {1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông) Suy ra: MB = MC = MH = MK. Vậy bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \({1 \over 2}BC\). b) Trong đường tròn tâm M ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH < BC. Câu 16 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tứ giác ABCD có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \). a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì? Giải: a) Gọi M là trung điểm của AC. Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên: \(BM = {1 \over 2}AC\) (tính chất tam giác vuông) Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên: \(DM = {1 \over 2}AC\) (tính chất tam giác vuông) Suy ra: MA = MB = MC = MD. Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \({1 \over 2}AC\). b) BD là dây của đường tròn (I), còn AC là đường kính nên AC ≥ BD AC = BD khi và chỉ khi BD cũng là đường kính, khi đó ABCD là hình chữ nhật Câu 17 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh rằng IE = KF. Giải: Ta có: AI ⊥ EF (gt) BK ⊥ EF (gt) Suy ra: AI // BK Suy ra tứ giác ABKI là hình thang Kẻ OH ⊥ EF Suy ra: OH // AI // BK Ta có: OA = OB (= R) Suy ra: HI = HK Hay: HE + EI = HF+FK (1) Lại có: HE = HF (đường kính dây cung) (2) Từ (1) và (2) suy ra: IE = KF. Câu 18 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC. Giải: Gọi I là trung điểm của AB Suy ra: \(IO = IA = {1 \over 2}OA = {3 \over 2}\) Ta có: BC ⊥OA (gt) Suy ra: \(\widehat {OIB} = 90^\circ \) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OIB ta có: \(O{B^2} = B{I^2} + I{O^2}\) suy ra: \(B{I^2} = O{B^2} - I{O^2}\) \(={3^2} - {\left( {{3 \over 2}} \right)^2} = 9 - {9 \over 4} = {{27} \over 4}\) \(BI ={{3\sqrt 3 } \over 2}\) (cm) Ta có: BI = CI (đường kính dây cung) Suy ra: \(BC = 2BI=2.{{3\sqrt 3 } \over 2} = 3\sqrt 3 \) (cm) Câu 19 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C. a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao? b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA. c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. Giải: a) Ta có: OB = OC = R (vì B, C nằm trên (O ; R)) DB = DC = R ( vì B, C nằm trên (D ; R)) Suy ra : OB = OC = DB = DC. Vậy tứ giác OBDC là hình thoi. b) Ta có: OB = OD = BD = R ∆OBD đều \( \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \) Vì OBDC là hình thoi nên: \(\widehat {CBD} = \widehat {OBC} = {1 \over 2}\widehat {OBD} = 30^\circ \) Tam giác ABD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên: \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) Mà \(\widehat {OBD} + \widehat {OBA} = 90^\circ \) Nên \(\widehat {OBA} = \widehat {ABD} - \widehat {OBD} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) c) Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD ⊥ BC hay AD ⊥ BC Ta có: AB = AC ( tính chất đường trung trực) Suy ra tam giác ABC cân tại A (1) Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {OBC} - \widehat {OBA} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \). (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều. Câu 20 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN. b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và qua N, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD. Giải: a) Ta có: CM ⊥CD DN⊥CD Suy ra: CM // DN Kẻ OI ⊥CD Suy ra: OI // CM // DN Ta có: IC = ID (đường kính dây cung) Suy ra: OM = ON (1) Mà: AM + OM = ON + BM( = R) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AM = BN. b) Ta có: MC // ND (gt) Suy ra tứ giác MCDN là hình thang Lại có: OM + AM = ON + BN (= R) Mà AM = BN (gt) Suy ra: OM = ON Kẻ OI ⊥ CD (3) Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung) Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN Suy ra: OI // MC // ND (4) Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD. Câu 21 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK. Giải: Kẻ OM ⊥ CD cắt AD tại N. Ta có: MC = MD ( đường kính dây cung) Hay MH + CH = MK + KD (1) Ta có: OM // BK (cùng vuông góc với CD) Hay: MN // BK Mà: OA = OB (= R) Suy ra: NA = NK (tính chất đường trung bình của tam giác) Lại có: OM // AH ( cùng vuông góc với CD) Hay: MN // AH Mà: NA = NK (chứng minh trên) Suy ra: MH = MK ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK. Câu 22 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn. a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm. b) Tính độ dài AB ở câu a) biết rằng R = 5cm; Om = 1,4cm. Giải: a) * Cách dựng − Dựng đoạn OM. − Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt O tại A và B. Nối A và B ta được dây cần dựng. * Chứng minh Ta có: OM ⊥ AB ⟹MA = MB. b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OMB, ta có: \(O{B^2} = O{M^2} + M{B^2}\) Suy ra: \(M{B^2} = O{B^2} - O{M^2} = {5^2} - 1,{4^2} = 25 - 1,96 = 23,04\) MB = 4,8 (cm) Vậy AB = 2.MB = 2.4,8 = 9,6 (cm). Câu 23 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây CD vuông góc với OI tại I. hãy cho biết ACBD là hình gì? Vì sao? Giải: Ta có: OI ⊥ CD (gt) Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung) Mà: IA = IB (gt) Tứ giác ACBD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Câu 2.1 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) bằng: (A) \({R \over 2}\) ; (B) \({{R\sqrt 3 } \over 2}\) ; (B) (C) \(R\sqrt 3 \) ; (D) Một đáp số khác. Hãy chọn phương án đúng. Giải: Chọn (C). Câu 2.2 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đường tròn (O; 2cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD. Giải: Ta có \(AB \le 4cm\), \(CD \le 4cm.\) Do AB ^ CD nên \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AB.CD \le {1 \over 2}.4.4 = 8\) (cm2). Giá trị lớn nhất của \({S_{ABC{\rm{D}}}}\) bằng 8 cm2 khi AB và CD đều là đường kính của đường tròn. Câu 2.3 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đường tròn (O; R), dây AB khác đường kính. Vẽ về hai phía của AB các dây AC, AD. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B và AC và AD. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, H, B, K thuộc cùng một đường tròn; b) HK < 2R. Giải: a) Bốn điểm A, H, B, K cùng thuộc đường tròn đường kính AB. b) Ta có \(HK \le AB \le 2R\).
