Câu 64 trang 167 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình 76, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau. Giải: Ta có: O, A, O’ thẳng hàng C, A, B thẳng hàng Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) (đối đỉnh) (1) Tam giác AOB cân tại O Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) (2) Tam giác AO’C cân tại O’ Suy ra: \(\widehat {O'AC} = \widehat {O'CA}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {OBA} = \widehat {O'CA}\) Suy ra OB // O’C (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Lại có: Bx ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến) Suy ra: Bx ⊥O’C Mà: Cy ⊥ O’C ( tính chất tiếp tuyến) Suy ra: Bx // Cy. Câu 65 trang 167 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B như trên hình 77. Biết OA = 15cm, O’A = 13cm, AB = 24cm. Tính độ dài OO’. Giải: Gọi H là giao điểm của AB và OO’. Vì OO’ là đường trung trực của AB nên: OO’ ⊥ AB tại H. Suy ra: \(HA = HB = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}.24 = 12\) (cm) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOH, ta có: AO2 = OH2 + AH2 Suy ra: OH2 = OA2 - AH2 = 152 – 122 = 81 OH = 9 (cm) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AO’H, ta có: AO’2 = O’H2 + AH2 Suy ra: O’H2 = O’A2 – AH2 = 132 – 122 = 25 O’H = 5 (cm) Vậy OO’ = OH + O’H = 9 + 5 = 14 (cm). Câu 66 trang 167 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc nhau tại A như trên hình 78. Chứng minh rằng các bán kính OB và O’C song song với nhau. Giải: Ta có: OA = OB (= R) Suy ra tam giác AOB cân tại O Hay \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) (1) Ta có: O’A = O’C ( = R’ ) Suy ra tam giác AO’C cân tại O’ Hay \(\widehat {O'AC} = \widehat {O'CA}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {OBA} = \widehat {O'CA}\) Suy ra: OB // O’C ( vì có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau). Câu 67 trang 167 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD. Giải: Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AC là đường kính nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) Ta có: \(\widehat {CBD} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) Vậy ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD. Câu 68 trang 168 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của OO’. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D (khác A). Chứng minh rằng AC = AD. Giải: Kẻ OH ⊥ CD, O’K ⊥ CD Ta có: IA ⊥ CD Suy ra: OH // IA // O’K Theo giả thiết: IO = IO’ Suy ra: AH = AK ((tính chất đường thẳn g song song cách đều) (1) Ta có: OH ⊥ AC Suy ra: \(HA = HC = {1 \over 2}AC\) (đường kính dây cung) ⇒AC = 2AH (2) Lại có: O’K ⊥ AD. Suy ra: \(KA = KD = {1 \over 2}AD\) ( đường kính dây cung) ⇒ AD = 2AK (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC = AD. Câu 69 trang 168 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O). a) Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O’) b) Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt AB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng. Giải: a) Tam giác AO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên \(\widehat {O'AC} = 90^\circ \) Suy ra: CA ⊥ O’A tại điểm A Vậy CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’) Tam giác BO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên \(\widehat {O'BC} = 90^\circ \) Suy ra: CB ⊥ O’B tại điểm B Vậy CB là tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Trong đường tròn (O’) ta có AC và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C. Suy ra: \(\widehat {ACO'} = \widehat {BCO'}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà O’I ⊥ O’A (gt) CA ⊥ O’A (chứng minh trên) Suy ra: O’I // CA \( \Rightarrow \widehat {ACO'} = \widehat {CO'I}\) (hai góc so le trong) Suy ra: \(\widehat {BCO'} = \widehat {CO'I}\) Hay tam giác CIO’ cân tại I ⇒ IC = IO’ Khi đó I nằm trên đường trung trực của O’C Lại có: \(\widehat {AO'C} = \widehat {BO'C}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) KC ⊥ CA (gt) O’A ⊥ AC (chứng minh trên) Suy ra: KC // O’A \(\Rightarrow \widehat {AO'C} = \widehat {O'CK}\) (hai góc so le trong) Suy ra: \(\widehat {O'CK} = \widehat {KO'C}\) Hay tam giác CKO’ cân tại K ⇒ KC = KO’ Khi đó K nằm trên đường trung trực của O’C Mặt khác: OC = OO’ (= R) Suy ra O, I, K nằm trên đường trung trực của O’C. Vậy O, I, K thẳng hàng. Câu 70 trang 168 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng: a) AB ⊥ KB; b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên cùng một đường tròn. Giải: a) Gọi H là giao điểm của AB và OO’. Vì OO’ là đường trung trực của AB nên OO’ ⊥ AB tại H Ta có: HA = HB I là trung điểm của OO’ nên IH ⊥ AB (1) Trong tam giác ABK, ta có: HA = HB (chứng minh trên) IA = IK (tính chất đối xứng tâm) Suy ra IH là đường trung bình của tam giác ABK Suy ra IH // BK (2) Từ (1) và (2) suy ra: AB ⊥KB b) Vì AB ⊥ KB nên AE ⊥ KB Lại có: AB = BE ( tính chất đối xứng tâm) Suy ra: KA = KE ( tính chất đường trung trực) (3) Ta có: IO = IO’ (gt) IA = IK ( chứng minh trên) Tứ giác AOKO’ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Suy ra: OK // O’A và OA // O’K CA ⊥ O’A (vì CA là tiếp tuyến của đườngg tròn (O’)) OK // O’A ( chứng minh trên) Suy ra: OK ⊥ AC Khi đó OK là đường trung trực của AC Suy ra: KA = KC ( tính chất đường trung trực) (4) DA ⊥ OA ( vì DA là tiếp tuyến của đường tròn (O)) O’K // OA ( chứng minh trên) Suy ra: O’K ⊥ DA Khi đó O’K là đường trung trực của AD Suy ra: KA = KD ( tính chất đường trung trực) (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra: KA = KC = KE = KD Vậy bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn. Câu 7.1 trang 168 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho h.bs.23, trong đó OA = 3, O'A = 2, AB = 5. Độ dài AC bằng: (A) \({{10} \over 3}\) ; (B) 3,5 ; (C) 3 ; (D) 4. Hãy chọn phương án đúng. Giải: Chọn (A). Câu 7.2 trang 168 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại C và D ( khác B). Chứng minh rằng \(OO’ = {1 \over 2}CD\). Giải: \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên A, O, C thẳng hàng. \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) nên A, O', D thẳng hàng. OO¢ là đường trung bình của ∆ACD nên \(OO’ = {1 \over 2}CD\).
