Câu 1.1 trang 100 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Cho hình bs.4. Biết \(\overparen{DOA}\)= 1200, OA vuông góc với OC, OB vuông góc với OD. a) Đọc tên các gốc ở tâm có số đo nhỏ hơn 1800. b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên. c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 1800). d) So sánh hai cung nhỏ AB và BC. Giải a) Các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn 1800 là: \(\widehat {AOB},\widehat {AOC},\widehat {AOD},\widehat {BOC},\widehat {BOD},\widehat {COD}\) b) \(OA \bot OC \Rightarrow \widehat {AOC} = {90^0}\) \(OB \bot OD \Rightarrow \widehat {BOD} = {90^0}\) \(\widehat {AOB} + \widehat {BOD} = \widehat {AOD}\) \( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AOD} - \widehat {BOD} = {120^0} - {90^0} = {30^0}\) \(\widehat {AOC} + \widehat {COD} = \widehat {AOD}\) \( \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {AOD} - \widehat {AOC} = {120^0} - {90^0} = {30^0}\) \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = \widehat {AOC}\) \( \Rightarrow \widehat {BOC} = \widehat {AOC} - \widehat {AOB} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\) c) Các cung có số đo bằng nhau nhỏ hơn 1800 là: \(\overparen{AB}\) = \(\overparen{CD}\); \(\overparen{AC}\) = \(\overparen{BD}\) d) sđ \(\overparen{AB}\)=\( = \widehat {AOB} = {30^0}\) sđ \(\overparen{BC}\)\( = \widehat {BOC} = {60^0}\) Suy ra: sđ \(\overparen{BC}\) gấp đôi sđ \(\overparen{AB}\) Câu 1.2 trang 100 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Các điểm C, D, E cùng thuộc một cung AB sao cho sđ \(\overparen{BC}\) = sđ \(\overparen{BA}\) ; sđ \(\overparen{BD}\) = \({1 \over 2}\) sđ \(\overparen{BA}\); sđ \(\overparen{BE}\) = \({2 \over 3}\) sđ \(\overparen{BA}\). a) Đọc tên các góc ở tâm có số đo không lớn hơn 1800. b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên. c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 1800). d) So sánh hai cung nhỏ AE và BC. Giải a) Các góc ở tâm có số đo không quá 1800 là: \(\widehat {AOB},\widehat {AOC},\widehat {AOD},\widehat {AOE},\widehat {BOC},\widehat {BOD},\) \(\widehat {BOE},\widehat {COD},\widehat {COE},\widehat {DOE}\) b) \(\widehat {AOB} = {180^0}\) sđ \(\overparen{AB}\) = 1800 Ta có: sđ \(\overparen{BC}\) = \( = {1 \over 6}\) sđ \(\overparen{AB}\) = \({1 \over 6}{.180^0}\) = 300 \( \Rightarrow \widehat {BOC} = \) sđ \(\overparen{BC}\) = 300 Ta có: sđ \(\overparen{BD}\) \( = {1 \over 2}\)sđ \(\overparen{AB}\) = \({1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\) \( \Rightarrow \widehat {BOD} = \)sđ \(\overparen{BD}\) = \({90^0}\) Ta có: sđ \(\overparen{BE}\) \( = {2 \over 3}\) sđ \(\overparen{BA}\) \( = {2 \over 3}{.180^0} = {120^0}\) \( \Rightarrow \widehat {BOE} = \) sđ \(\overparen{BE}\) = 1200 \(\widehat {BOC} + \widehat {COE} = \widehat {BOE}\) \( \Rightarrow \widehat {COE} = \widehat {BOE} - \widehat {BOC}\) \( = {120^0} - {30^0} = {90^0}\) \(\widehat {AOE} + \widehat {BOE} = \widehat {AOB}\) \( \Rightarrow \widehat {AOE} = \widehat {AOB} - \widehat {BOE}\) \( = {180^0} - {120^0} = {60^0}\) \(\widehat {AOD} = \widehat {BOD} = {1 \over 2}\widehat {AOB} = {90^0}\) \(\widehat {BOC} + \widehat {COD} = \widehat {BOD}\) \( \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {BOD} - \widehat {BOC}\) = \({90^0} - {30^0} = {60^0}\) \(\widehat {COD} + \widehat {DOE} = \widehat {COE}\) \( \Rightarrow \widehat {DOE} = \widehat {COE} - \widehat {COD}\) \( = {90^0} - {60^0} = {30^0}\) c) Các cung có số đo nhỏ hơn 1800 bằng nhau. \(\overparen{BC}\)= \(\overparen{DE}\); \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{CD}\); \(\overparen{AD}\) = \(\overparen{BD}\). \(\overparen{AC}\) = \(\overparen{BE}\); \(\overparen{AD}\) = \(\overparen{CE}\); \(\overparen{CE}\) = \(\overparen{BD}\). d) sđ \(\overparen{AE}\) \( = \widehat {AOE} = {60^0}\) sđ \(\overparen{BC}\)\( = \widehat {BOC} = {30^0}\) Ta có số đo của cung \(\overparen{AE}\) gấp đôi số đo của cung \(\overparen{BC}\). Câu 1 trang 99 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. a) Từ 1 giờ đến 3 giờ kim giờ quay được 1 góc ở tâm bằng bao nhiêu độ b) Cũng hỏi như thế từ 3 giờ đến 6 giờ? Giải Vì trong đồng hồ người ta chia ra 12 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn tương ứng với góc ở tâm bằng 300. a) Từ 1 giờ đến 3 giờ kim giờ quay được một góc ở tâm bằng 600 b) Từ 3 giờ đến 6 giờ kim giờ quay được một góc ở tâm bằng 900. Câu 2 trang 99 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Một đồng hồ chạy chậm 25 phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc ở tâm là bao nhiêu độ? Giải Vì trong 1 khoảng chia ứng với 1 góc ở tâm bằng 300 là 5 phút, đồng hồ chậm 25 phút ta quay kim phút chạy 5 khoảng tương ứng với góc ở tâm là 1500. Câu 3 trang 99 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi sao năm cánh đều nhau. Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiều độ? Giải Đầu tiên ta gấp đôi tờ giấy để 5 phần đó bằng nhau, ta chọn điểm làm tâm chia tờ giấy ra 5 góc ở tâm bằng nhau, mỗi góc bằng 1800 : 5 = 360. Câu 4 trang 99 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O, R) cắt nhau taị M. Biết OM=2R. Tính số đo góc ở tâm AOB? Giải \(MA \bot OA\) (tính chất tiếp tuyến) Trong ∆MAO có \(\widehat {OAM} = {90^0}\) \(cos\widehat {AOM} = {{OA} \over {OM}} = {R \over {2R}} = {1 \over 2}\) \( \Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}\) \(\widehat {AOM} = {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau) \( \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = {120^0}\) Câu 5 trang 99 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây cung AB. Vẽ dây CD dài bằng R. Tính góc ở tâm DOB. Có mấy đáp số? Giải Điểm D có 2 trường hợp : Nếu điểm D nằm giữa C và B Ta có C điểm chính giữa của cung AB số đo cung BC = số đo cung AC = 900 CD = R (gt) Suy ra : OC = OD = CD = R \( \Rightarrow \Delta OC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow \widehat {COD} = {60^0}\) \( \Rightarrow \) sđ cung CD = sđ cung COD = 600 \( \Rightarrow \) sđ cung BD = sđ cung BC - sđ cung CB = ${90^0} - {60^0} = {30^0}\) \(\widehat {BOD}\) = sđ cung BD = 300 Nếu C nằm giữa B và D ta có : CD = OC = OD = R \( \Rightarrow \Delta OCD\) đều \( \Rightarrow \widehat {COD} = {60^0}\) sđ cung CD = sđ cung COD = 600 sđ cung BD = sđ cung BC + sđ cung CD= \({90^0} + {60^0} = {150^0}\) \(\widehat {BOD}\) = sđ cung BD = 1500 Câu 6 trang 99 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho hai đường đường tròn (O; R) và (O’;R’) cắt nhau tại A, B. Hãy so sánh R và R’ trong các trường hợp sau: a) Số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’). b) Số đo cung lớn AB của (O; R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O; R’). c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau Giải a) Trong (O; R) ta có: \(\widehat {AOB}\) = sđ cung AB (nhỏ) Trong (O’; R) ta có: \(\widehat {AO'B}\) = sđ cung AB (nhỏ) Vì số đo cung AB nhỏ của (O; R) lớn hơn số đo cung AB nhỏ của (O’; R’) Suy ra: \(\widehat {AOB} > \widehat {AO'B}\) (1) \(\Delta AOO' = \Delta BOO'\) (cạnh – cạnh – cạnh) \( \Rightarrow \widehat {AOO'} = \widehat {BOO'} = {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (2) \(\widehat {AO'O} = \widehat {BO'O} = {1 \over 2}\widehat {AO'B}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\) Trong \(\Delta AOO'\) ta có: \(\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\) Suy ra: O’A > OA hay R’ > R Trường hợp hình thứ 2, ta lấy đối xứng của (O) qua trục AB ta có kết quả như hình trên. b) Trong (O; R) số đo cung lớn AB cộng với số đo cung nhỏ AB bằng 3600 Mà số đo cung lớn AB của (O;R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O’; R’) Suy ra số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ của (O’; R’) Chứng minh tương tự câu a ta có: R > R’. c) Số đo hai cung nhỏ của (O; R) và (O’; R’) bằng nhau \( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AO'B}\) Suy ra: \(\widehat {AOO'} = \widehat {AO'O} \Rightarrow \Delta AOO'\) cân tại A nên OA = OA’ hay R = R’. Câu 7 trang 99 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Đường phân giác của góc OBO’ cắt các đường tròn (O), (O’) tương ứng tại C, D. Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BO’D. Hướng dẫn. Sử dụng các tam giác cân OBC, O’BD. Giải Trong (O) ta có: \(\Delta OBC\) cân tại O (vì OB = OC bán kính) \( \Rightarrow \widehat {BOC} = {180^0} - 2.\widehat {OBC}\) (1) Trong (O’) ta có \(\Delta BO'D\) cân tại O’ (vì O’D = O’D bán kính) \( \Rightarrow \widehat {BO'D} = {180^0} - 2.\widehat {O'BD}\) (2) \(\widehat {OBC} = \widehat {O'BD}\) (vì BC là phân giác của \(\widehat {OBO'}\)) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {BOC} = \widehat {BO'D}\). Câu 8 trang 100 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Trên một đường tròn, có cung AB bằng 1400, cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A là điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD. Giải Ta có: cung AB = cung BD = cung AC (gt) \( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {BOD} = \widehat {AOC} = {180^0}\) Kẻ đường kính AA’, BB’ ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {AOB'} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AOB'} = {180^0} - \widehat {AOB} = {180^0} - {140^0} = {40^0}\) Suy ra: \(\widehat {BOA'} = \widehat {AOB'} = {40^0}\) (hai góc đối đỉnh) \(\widehat {B'OD} + \widehat {BOD} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {B'OD} = {180^0} - \widehat {BOD} = {180^0} - {140^0} = {40^0}\) \(\widehat {AOC} = \widehat {AOB'} + \widehat {B'OD} + \widehat {DOC}\) \( \Rightarrow \widehat {DOC} = \widehat {AOC} - \widehat {AOB'} - \widehat {B'OD} = {140^0} - {40^0} - {40^0} = {60^0}\) sđ cung CD (nhỏ) = \(\widehat {COD} = {60^0}\) sđ cung CD (lớn) = sđ cung CD (nhỏ) = 3600 – 600 = 3000 Câu 9 trang 100 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho C là một điểm nằm trên cung lớn AB của đường tròn (O). Điểm C của cung lớn AB thành hai cung AC và CB. Chứng minh rằng cung lớn AB có sđ cung AB = sđ cung AC = sđ cung CB. Hướng dẫn: Xét 3 trường hợp: a) Tia OC nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm AOB. b) Tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB c) Tia OC nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm AOB Giải a) Trường hợp tia OC nằm trong góc đối đỉnh với \(\widehat {AOB}\) Kẻ đường kính CD Suy ra: OD nằm giữa OA và OB nên điểm D nằm trên cung nhỏ cung AB \( \Rightarrow \) sđ cung AD (nhỏ) + sđ cung BD (nhỏ) = sđ cung AB (nhỏ) (1) Vì OA nằm giữa OC và OD nên điểm A nằm trên cung nửa đường tròn CD. \( \Rightarrow \) sđ cung AD (nhỏ) + sđ cung AC (nhỏ) = 1800 (2) Vì OB nằm giữa OC và OD nên điểm B nằm trên cung nửa đường tròn CD. \( \Rightarrow \) sđ cung BD (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) = 1800 (3) Cộng từng vế (2) và (3): sđ cung AD (nhỏ) + sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BD (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) = 3600 (4) Từ (1) và (4) suy ra: sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) + sđ cung AB (nhỏ) = 3600 \( \Rightarrow \) sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) = 3600 - sđ cung AB (nhỏ) Mà 3600 - sđ cung AB (nhỏ) = sđ cung AD (lớn) Vậy với cung lớn AB ta có: sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung BC b) Trường hợp tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\); $\widehat {AOC} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {AOC} = {360^0}\) \( \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {360^0} - \widehat {AOB}\) Suy ra: sđ cung AB + sđ cung BC (nhỏ) = 3600 - sđ cung AB (nhỏ) Vậy với cung lớn AB ta có: sđ cung AB = sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BC c) Trong hợp tia OC nằm trong góc kề bù với góc ở tâm AOB, kẻ đường kính AE. Theo trường hợp b ta có: sđ cung AB (lớn) = sđ cung AE (nhỏ) + sđ cung BE (nhỏ) Ta xét trường hợp C nằm trên cung nhỏ EB: sđ cung EB (nhỏ) = sđ cung EC (nhỏ) + sđ cung CB (nhỏ) \( \Rightarrow \) sđ cung AB (lớn) = sđ cung AE + sđ cung EC (nhỏ) + sđ cung CB (nhỏ) Theo kết quả trường hợp b ta có: sđ cung AE + sđ cung EC (nhỏ)= sđ cung AC (lớn) Vậy với cung AB lớn ta có: sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung CB Trong trường hợp OC nằm trên góc đối với góc ở tâm \(\widehat {BOE}\) chứng minh tương tự. Trong trường hợp OC nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm \(\widehat {AOB}\) chứng minh ở trường hợp a.
