Câu 63 trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. a) Điền vào ô trống trong bảng sau (S là diện tích hình tròn bán kính R). R0123451020Sb) Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình tròn theo bán kính của nó. c) Diện tích hình tròn có tỉ lệ thuận với bán kính không? Giải a) R0123451020S0π4π9π16π25π100π400πb) Vẽ đồ thị: c) Diện tích không tỉ lệ thuận với bán kính Câu 64 trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. a) Điền vào ô trống trong bảng sau (S là diện tích hình quạt n0). Cung n004590180360Sb) Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình quạt theo n0. c) Diện tích hình quạt có tỉ lệ thuận với số đo độ của cung không? Giải a) Cung n004590180360\(S = {{\pi {R^2}.n} \over {360}}\)0\({{\pi {R^2}} \over 8}\)\({{\pi {R^2}} \over 4}\)\({{\pi {R^2}} \over 2}\)\(\pi {R^2}\)b) Vẽ đồ thị: c) Diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo độ của cung tròn. Câu 65 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Tính diện tích hình tròn biết chu vi của nó là C. Giải Gọi bán kính của hình tròn là R, diện tích là S. Ta có: C = \(2\pi R \Rightarrow R = {C \over {2\pi }}\) \(S = \pi {R^2} = \pi .{\left( {{C \over {2\pi }}} \right)^2}\) \( = \pi .{{{C^2}} \over {4{\pi ^2}}} = {{{C^2}} \over {4\pi }}\) (đơn vị diện tích) Câu 66 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. So sánh diện tích hình gạch sọc và hình để trắng trong trong hình 10: Giải Hình để trắng là nửa hình tròn có đường kính 4 cm nên bán kính bằng 2 cm có diện tích: \({S_1} = {1 \over 2}\pi {.2^2} = 2\pi \) (cm2) Diện tích \({1 \over 4}\) hình tròn có bán kính 4 cm: S = \({1 \over 4}\pi {.4^2} = 4\pi \) (cm2) Diện tích phần gạch sọc: S2 = S – S1 = \(4\pi - 2\pi = 2\pi \) (cm2) Vậy: S1 = S2 Câu 67 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. a) Vẽ đường xoắn (h.11) xuất phát từ một hình vuông cạnh 1cm. Nói cách vẽ. b) Tính diện tích hình gạch sọc. Giải a) Hình vuông ABCD có cạnh 1 cm - Vẽ cung đường tròn tâm A bán kính 1 cm ta được cung \(\overparen{DE}\) - Vẽ cung đường tròn tâm B bán kính 2 cm ta được cung \(\overparen{EF}\) - Vẽ cung đường tròn tâm C bán kính 3 cm ta được cung \(\overparen{FG}\) - Vẽ cung đường tròn tâm D bán kính 4 cm ta được cung \(\overparen{GH}\) b) Tính diện tích phần gạch sọc. Diện tích hình quạt DAE = \({1 \over 4}\pi {.1^2}\) Diện tích hình quạt EBF = \({1 \over 4}\pi {.2^2}\) Diện tích hình quạt FCG = \({1 \over 4}\pi {.3^2}\) Diện tích hình quạt GDH = \({1 \over 4}\pi {.4^2}\) Diện tích phần gạch sọc: S = \({1 \over 4}\pi \left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2}} \right) = {{15} \over 2}\) (cm2) Câu 68 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn đường kính 1,2m. Người ta muốn nới rộng một bàn bằng cách ghép thêm (vào giữa) một mặt hình chữ nhật có một kích thước là 1,2m (h.12). Hỏi a) Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiều nếu diện tích mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới? b) Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiêu nếu chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới? Giải a) Gọi kích thước thứ 2 của hình chữ nhật là x (cm), điều kiện: x > 0 Ta có: \(1,2.x + \pi {\left( {0,6} \right)^2} = 2.\pi {\left( {0,6} \right)^2}\) \( \Rightarrow 1,2.x = \pi .{\left( {0,6} \right)^2}\) \(x = {{\pi .0,36} \over 2} \approx 0,942\) (m) b) Chu vi mặt bàn mới là \(1,2.\pi + 2x\) Theo bài ra ta có: \(1,2\pi .2x = 2.1,2\pi \) \( \Rightarrow x = {{1,2\pi } \over 2} \approx 1,885\) (m) Câu 69 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường trong (O; R). Chia đường tròn này thành ba cung có số đo tỉ lệ với 3, 4 và 5 rồi tính diện tích các hình quạt tròn được tạo thành. Giải Gọi số đo độ của 3 cung theo thứ tự là a, b, c có a + b + c = 3600 Theo bài ra ta có: \({a \over 3} = {b \over 4} = {c \over 5}\) \( = {{a + b + c} \over {3 + 4 + 5}} = {{{{360}^0}} \over {12}} = {30^0}\) a = 3. 300 = 900; b = 4. 300 = 1200 c = 5. 300 = 1500 Diện tích các hình quạt tương ứng với cung 900, 1200, 1500 là S1, S2, S3 \({S_1} = {{\pi {R^2}.90} \over {360}} = {{\pi {R^2}} \over 4}\) \({S_2} = {{\pi {R^2}.120} \over {360}} = {{\pi {R^2}} \over 3}\) \({S_3} = {{\pi {R^2}.150} \over {360}} = {{5\pi {R^2}} \over {12}}\) Câu 70 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có \(\widehat C = {45^0}\). a) Tính diện tích hình quạt tròn AOB (ứng với cung nhỏ AB) b) Tính diện tích hình viên phân AmB (ứng với cung nhỏ AB) Giải a) \(\widehat C = {45^0}\) (gt) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AmB}\) \( = {90^0}\) Diện tích hình quạt AOB là: \(S = {{\pi {R^2}.90} \over {360}} = {{\pi {R^2}} \over 4}\) (đơn vị diện tích) b) \(\widehat {AOB} = \) sđ \(\overparen{AmB}\) \( = {90^0}\) \( \Rightarrow OA \bot OB\) Diện tích tam giác OAB là: \(S = {1 \over 2}OA.OB = {{{R^2}} \over 2}\) Diện tích hình viên phân AmB là: Squạt AOB – S AOB = \({{\pi {R^2}} \over 4} - {{{R^2}} \over 2} = {{{R^2}\left( {\pi - 2} \right)} \over 4}\) (đơn vị diện tích) Câu 71 trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Trong một tam giác đều ABC (h.13), vẽ những cung tròn đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó. Cho biết cạnh tam giác bằng a, tính diện tích hình hoa thị gạch sọc. Giải Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích 3 hình viên phân trừ diện tích tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của tam giác đều ABC \( \Rightarrow OA = OB = OC\) Vì ∆ABC đều nên AO, BO, CO là phân giác của các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\) \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}\) \(\widehat {AOC} = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{30}^0}} \right) = {120^0}\) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AOC}\) là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (O’; R) Trong tam giác O’HA có \(\widehat {O'HA} = {90^0}\), \(\widehat {HO'A} = {60^0}\) AH = R.sin \(\widehat {HO'A} = R\). sin 600 = \({{R\sqrt 3 } \over 2}\) AC = 2AH = \(R\sqrt 3 \) \( \Rightarrow R = {{AC} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) Squạt = \({{\pi {{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.120} \over {360}}\) = \({{\pi {{{a^2}} \over 3}} \over 3} = {{\pi {a^2}} \over 9}\) (đơn vị diện tích) ∆O'HA có \(\widehat {O'HA} = {90^0}\); \(\widehat {HO'A} = {60^0}\) O’A = \(R.\cos {60^0} = {{a\sqrt 3 } \over 3}.{1 \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\) S∆O'CA = \({1 \over 2}O'H.AC = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 6}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) (đơn vị diện tích) Sviên phân = Squạt – S∆O'CA = \({{\pi {a^2}} \over 9} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}}\) Diện tích tam giác đều ABC cạnh a: SABC = \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (đơn vị diện tích) Diện tích hình hoa thị là: S = 3Sviên phân - SABC = \(3.{{4\pi {R^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) = \({{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} - {{3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) = \({{4\pi {a^2} - 6{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{{a^2}} \over 6}\left( {2\pi - 3\sqrt 3 } \right)\) Câu 72 trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. Biết BH = 2cm và HC = 6cm. Tính: a) Diện tích hình tròn (O). b) Tổng diện tích hai hình viên phân AmH và BnH (ứng với các cung nhỏ). c) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ AH). Giải a) ∆ABC có \(\widehat A = {90^0}\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow A{B^2} = 2.\left( {2 + 6} \right) = 16\) AB = 4 (cm) Diện tích hình tròn tâm O là: \(S = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} = \pi {\left( {{4 \over 2}} \right)^2} = 4\pi \) (cm2) b) Tổng diện tích hai hình viên phân AmH Và BnH bằng diện tích nửa hình tròn tâm O trừ diện tích ∆AHB Trong tam giác vuông ABC ta có: \(A{H^2} = HB.HC = 2.6 = 12\) AH = \(2\sqrt 3 \) (cm) SAHB = \({1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.2.2\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \) (cm2) Tổng diện tích hai hình viên phân là: \(S = 2\pi - 2\sqrt 3 = 2\left( {\pi - \sqrt 3 } \right)\) (cm2) c) ∆BOH có OB = OH = BH = 2 cm \( \Rightarrow \Delta BOH\) đều \( \Rightarrow \widehat B = {60^0}\) \(\widehat B = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AmH}\) (tính chất góc nội tiếp) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AmH}\) \( = 2\widehat B = {120^0}\) Squạt AOH = \({{\pi {{.2}^2}.120} \over {360}} = {{4\pi } \over 3}\) (cm2) Câu 10.1 trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường cong, biết OA = OB = R > 0 (h.bs.7). Giải Hình đó gồm nửa hình tròn bán kính 5R, 3 nửa hình tròn bán kính R và bớt đi 2 nửa hình tròn bán kính R. \(S = {{\pi {{\left( {5R} \right)}^2}} \over 2} + 3.{{\pi {R^2}} \over 2} - 2.{{\pi {R^2}} \over 2}\) \( = {{25{R^2}\pi } \over 2} + {{\pi {R^2}} \over 2}\) \( = {{26\pi {R^2}} \over 2} = 13\pi {R^2}\) (đơn vị diện tích) Câu 10.2 trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Tính diện tích của hình cánh hoa, biết OA = R (h.bs.8). Giải Ta có 12 hình viên phân có diện tích bằng nhau tạo nên cánh hoa đó. Xét hình viên phân giới hạn bởi cung \(\overparen{BO}\) và dây căng cung đó thì cung \(\overparen{BO}\) là cung của đường tròn tâm A bán kính R. OA = AB = OB = R \( \Rightarrow \Delta AOB\) đều \( \Rightarrow \widehat {OAB} = {60^0}\) Squạt OAB = \({{\pi {R^2}.60} \over {360}} = {{\pi {R^2}} \over 6}\) Kẻ \(AI \bot BO\). Trong tam giác vuông AIO ta có: AI = AO. sin\(\widehat {AOI} = R.\sin {60^0} = {{R\sqrt 3 } \over 2}\) S∆AOB =\({1 \over 2}AI.AB = {1 \over 2}.{{R\sqrt 3 } \over 2}.R = {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}\) Diện tích 1 hình viên phân là: S1 = Squạt OAB – S AOB =\({{\pi {R^2}} \over 6} - {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{2\pi {R^2} - 3{R^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) Diện tích của hình cánh hoa: S = 12. S1 = 12.\({{2\pi {R^2} - 3{R^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {R^2}\left( {2\pi - 3\sqrt 3 } \right)\) (đơn vị diện tích)
