Câu 33 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và \(\widehat A = \alpha \) không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Giải Chứng minh thuận: Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong của ∆ABC \(\widehat {IBC} = {{\widehat B} \over 2};\widehat {ICB} = {{\widehat C} \over 2}\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = {{\widehat B + \widehat C} \over 2}\) mà trong ∆ABC ta có: \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - \alpha \) Suy ra: \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = {{180^\circ - \alpha } \over 2}\) Trong ∆BIC ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\) Suy ra: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - {{180^\circ - \alpha } \over 2} = {{360^\circ - 180^\circ + \alpha } \over 2} = 90^\circ + {\alpha \over 2}\) Α không đổi \( \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ + {\alpha \over 2}\) không đổi. I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn BC cố định một góc bằng 90º + \({\alpha \over 2}\) không đổi Vậy I nằm trên cung chứa góc 90º + \({\alpha \over 2}\) vẽ trên BC. Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc 90º + \({\alpha \over 2}\) lấy điểm I’ bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm I’ hai tai Bx và Cy sao cho BI’ là phân giác của \(\widehat {CBx},CI'\) là phân giác của \(\widehat {BCy}\). Bx cắt Cy tại A¢. Trong ∆BI¢C ta có: \(\widehat {BI'C} = 90 + {\alpha \over 2}\) \( \Rightarrow \widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} = 180^\circ - \widehat {BI'C} = 180^\circ - \left( {90^\circ + {\alpha \over 2}} \right) = {{180^\circ - \alpha } \over 2}\) \(\widehat {CBA'} = 2\widehat {I'BC};\widehat {BCA'} = 2\widehat {I'CB}\) \( \Rightarrow \widehat {CBA'} + \widehat {BCA'} = 2.{{180^\circ - \alpha } \over 2} = 180^\circ - \alpha \) Trong ∆A¢BC ta có: \(\widehat {BA'C} = 180^\circ - (\widehat {CBA'} + \widehat {BCA'}) = 180^\circ - (180^\circ - \alpha ) = \alpha \) Vậy quỹ tích giao điểm 3 đường phân giác trong ∆ABC khi \(\widehat A = \alpha \) không đổi, BC cố định là 2 cung chứa góc \(90^\circ + {\alpha \over 2}\) vẽ trên BC. Câu 34 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Dựng cung chứa góc 420 trên đoạn thẳng AB = 3 cm. Giải Cách dựng: − Dựng đoạn AB = 3 cm − Dựng \(\widehat {BAx} = 42^\circ \) − Dựng đường thẳng d là trung trực của AB − Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A Tia Ay cắt đường trung trực d của AB tại O. − Dựng cung tròn \(\overparen{AmB}\) tâm O bán kính OA − Dựng điểm O' đối xứng với O qua AB. − Dựng cung tròn \(\overparen{Am'B}\) tâm O¢ bán kính O'A. Câu 35 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Dựng tam giác ABC, biết BC = 3 cm, \(\widehat A = {45^0}\) và trung tuyến AM = 2,5 cm. Giải Cách dựng − Dựng đoạn BC = 3cm − Dựng \(\widehat {CBx} = 45^\circ \) − Dựng trung điểm M của BC − Dựng trung trực BC − Dựng tia vuông góc Bx tại B cắt đường trung trực BC tại O. − Dựng cung tròn \(\overparen{BmC}\) bán kính OB là cung chứa góc 45º vẽ trên BC. − Dựng cung tròn tâm M bán kính 2,5 cm cắt cung \(\overparen{BmC}\) tại A và A¢. − Nối AB, AC (hoặc A’B, A’C) ta có ∆ABC (hoặc ∆A’BC) thỏa mãn điều kiện bài toán. Vì BC = 3 cm, nên bán kính OB = \({{3\sqrt 2 } \over 2}\) (cm). Khoảng cách 2 tâm MO = \({{3\sqrt 2 } \over 2}\) (cm) \({{3\sqrt 2 } \over 2} - 2,5 < MO < {{3\sqrt 2 } \over 2} + 2,5\) nên (O) và (M) luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được. Câu 36 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB. a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho. b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho. Giải a) Chứng minh thuận: Ta có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: \(\widehat {BCD} = 90^\circ \) CD = CB (gt) Suy ra: ∆BCD vuông cân tại C. \( \Rightarrow \widehat {CDB} = 45^\circ \) hay \(\widehat {ADB} = 45^\circ \) AB cố định. Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45º dựng trên đoạn thẳng AB cố định. Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB. − Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm của quỹ tích. − Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng ới B’ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45º vẽ trên AB. Chứng minh đảo: Lấy điểm D’ tùy ý trên cung BB’, nối AD’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BC’, B’D’. Ta có: \(\widehat {AD'B} = 45^\circ \) (vì D’ nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên AB). Trong đường tròn đường kính AB ta có: \(\widehat {AC'B} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {BC'D'} = 90^\circ \) Suy ra: ∆BC’D’ vuông cân tại C’ \( \Rightarrow \) C’B = C’D’ Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung \(\overparen{BB'}\) nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C. b) Chứng minh thuận: Trong đường tròn đường kính AB ta có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CB = CE (gt) \( \Rightarrow \) ∆CBE vuông tại C \( \Rightarrow \widehat {CEB} = 45^\circ \) \(\widehat {CEB} + \widehat {AEB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AEB} = 135^\circ \) AB cố định, C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc 135º dựng trên đoạn AB cố định. − Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì C trùng với B nên E trùng với B \( \Rightarrow \) B là 1 điểm của quỹ tích. − Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A. Khi đó E trùng A nên A là 1 điểm của quỹ tích. Vậy E chuyển động trên 1 cung chứa góc 135º vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C. Chứng minh đảo: Lấy E’ bất kỳ trên cung chứa góc 135º. Kẻ AE’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BE’, BC’. Ta có: \(\widehat {AE'B} = 135^\circ \) (vì E’ nằm trên cung chứa góc 135º) \(\widehat {AE'B} + \widehat {BE'C} = 180^\circ \) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BE'C'} = 180^\circ - \widehat {AE'B} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \) Trong đường tròn đường kính AB ta có: \(\widehat {AC'B} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: ∆E’C’B vuông cân tại C’. \( \Rightarrow \) C¢E¢ = C¢B Vậy quỹ tích các điểm E khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB là một cung chứa góc 135º vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C. Câu 37 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho. Giải Chứng minh thuận: Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P. O cố định, đường tròn đường kính AB cố định suy ra P cố định. Nối PD. Ta có: OP // CH (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với AB) Xét ∆OCH và ∆OPD: OD = CH (gt) OP = OC (bán kính) \(\widehat {POD} = \widehat {OCH}\) (so le trong) Suy ra: ∆DOP = ∆HCO (c.g.c) \( \Rightarrow \)\(\widehat {ODP} = \widehat {CHO}\) mà \(\widehat {CHO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ODP} = 90^\circ \) Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với 2 đầu đoạn thẳng OP cố định một góc \(\widehat {OPD} = 90^\circ \). Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP. Chứng minh đảo: Lấy điểm D¢ bất kỳ trên đường tròn đường kính OP. Kẻ OD' cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C', kẻ C'H'⊥ AB ta phải chứng minh OD' = C'H'. Nối PD'. Xét ∆C'H'O và ∆PD'O \(\widehat {C'H'O} = \widehat {PD'O} = 90^\circ \) OC' = OP (bán kính đường tròn tâm O) \(\widehat {D'OP} = \widehat {OC'H'}\) (so le trong) Suy ra: ∆C'H'O = ∆PD'O (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) C'H' = OD' Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP. Câu 38 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD. Giải Phân tích: Giả sử hình vuông ABCD dung được thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta cần dựng đỉnh C. Đỉnh C thỏa mãn 2 điều kiện: − \(\widehat {MCN} = 90^\circ \) nên C nằm trên cung chứa góc 90º dựng trên MN. − Ta có \(\widehat {ACM} = 45^\circ \) (vì hình vuông có đường chéo là phân giác) nên C nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên AM. Cách dựng: − Dựng cung chứa góc 90º trên đoạn MN. − Dựng cung chứa góc 45º trên đoạn AM. Hai cung cắt nhau tại C, nối CM, CN. Kẻ AB ⊥ CN tại B, AD ⊥ CN tại D. Ta có tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng. Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có: \(\widehat C = 90^\circ ,\widehat B = 90^\circ ,\widehat D = 90^\circ \) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật, có điểm M thuộc BC, điểm N thuộc CD. AC là phân giác của \(\widehat C.\) Vậy: tứ giác ABCD là hình vuông.
