Câu 44 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là A và nhận O làm tâm. Nêu cách vẽ. Giải Cách vẽ: − Vẽ đường tròn (O; R) − Kẻ 2 đường kính AC ⊥ BD − Nối AB, BC, CD, DA ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O; R) − Từ A đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây trương cung bằng bán kính R. \(\overparen{{A}{A_1}}\), \(\overparen{{A_1}{A_2}}\), \(\overparen{{A_2}{C}}\), \(\overparen{{C}{A_3}}\), \(\overparen{{A_3}{A_4}}\) Nối AA2; A2A3; A3A ta có ∆AA2A3 là tam giác đều nhận O làm tâm. Câu 45 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm rồi vẽ hình tám cạnh đều nội tiếp đường tròn (O; 2 cm). Nêu cách vẽ. Giải Cách vẽ: − Vẽ đường kính (0; 2 cm) − Vẽ đường kính AC ⊥ BD − Nối AB, BC, CD, DA ta có hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (0; 2 cm) − Kẻ đường kính EF ⊥ AD; đường kính GH ⊥ AB Nối AE, ED, DG, GC, CF, FB, BH, HA ta có đa giác AEDGCFBH là đa giác đều 8 cạnh nội tiếp trong đường tròn (0; 2cm). Câu 46 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó. Hướng dẫn Tính \(\widehat {COD}\) rồi tính sin \(\widehat {COB}\) và tg \(\widehat {COB}\), từ đây tính được R và r (h.4). Giải Giả sử một đa giác đều n cạnh có độ dài một cạnh là a. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r bán kính đường tròn nội tiếp. \( \Rightarrow \) OB = R; OC = r \(\widehat {AOB} = {{360^\circ } \over n} \Rightarrow \widehat {COB} = {{360^\circ } \over n}:2 = {{180^\circ } \over n}\) Trong ∆OCB ta có: \(\widehat {OCB} = 90^\circ \) \(\sin \widehat {COB} = {{CB} \over {OB}} = {{{a \over 2}} \over R} = {a \over {2R}} \Rightarrow 2R = {a \over {\sin {{180^\circ } \over n}}}\) \(\Rightarrow R = {a \over {2\sin {{180^\circ } \over n}}}\) \(\tan \widehat {COB} = {{CB} \over {OC}} = {{{a \over 2}} \over r} = {a \over {2r}} \Rightarrow 2r = {a \over {\tan {{180^\circ } \over n}}}\) \(\Rightarrow r = {a \over {2\tan {{180^\circ } \over n}}}\) Câu 47 trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. a) Vẽ một lục giác đều ABCDEG nội tiếp đường tròn bán kính 2cm rồi vẽ hình 12 cạnh đều AIBJCKDLEMGN nội tiếp đường tròn đó. Nêu cách vẽ. b) Tính độ dài cạnh AI. c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình AIBJCKDLEMGN. Hướng dẫn. Áp dụng các công thức ở bài 46. Giải a) Cách vẽ: − Vẽ đường tròn (0; 2cm) − Từ điểm A trên đường tròn (0; 2cm) đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây trương cung 2cm. \(\overparen{AB}\) = \(\overparen{BC}\) = \(\overparen{CD}\) = \(\overparen{DE}\) = \(\overparen{EG}\) Nối AB, BC, CD, DE, EG, GA ta có lục giác đều ABCDEG nội tiếp trong đường tròn (0; 2cm). Kẻ đường kính vuông góc AB và DE cắt đường tròn tại I và L. Ta có: \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\); \(\overparen{LD}\) = \(\overparen{LE}\) Kẻ đường kính vuông góc với BC và EG cắt đường tròn tại J và M. \(\overparen{BJ}\) = \(\overparen{JC}\); \(\overparen{ME}\) = \(\overparen{MG}\) Kẻ đường kính vuông góc với CD và AG cắt đường tròn tại N và K. \(\overparen{KC}\) = \(\overparen{KD}\); \(\overparen{NA}\) = \(\overparen{NG}\) Nối AI, IB, BJ, JC, CK, KD, DL, LE, EM, MG, GN, NA Ta có đa giác đều 12 cạnh AIBJCKDLEMGN. b) AI là cạnh của đa giác đều 12 cạnh. Kẻ OH ⊥ AI \(\widehat {IOH} = {{180^\circ } \over {12}} = 15^\circ \) \(OI = {{HI} \over {\sin \widehat {IOH}}} \Rightarrow OI = {{AI} \over {2\sin \widehat {IOH}}} \Rightarrow AI = OI.2\sin \widehat {IOH}\) AI = 2. 2sin 15º \( \approx \) 1,04 (cm) c) OH = r bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều 12 cạnh. Trong tam giác vuông OHI ta có OH = OI.\({\rm{cos}}\widehat {HOI} = 2.c{\rm{os15}}^\circ \approx {\rm{1,93 (cm) }}\) Câu 48 trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. a) Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 3cm. b) Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tòn bán kính 3cm. Giải a) Kẻ OH ⊥ AB, ta có: HA = HB = \({1 \over 2}AB,OA = R = 3cm\) \(\widehat {HOA} = {{180^\circ } \over 5} = 36^\circ \) Trong tam giác vuông OHA vuông tại H ta có: AH = OA, sin\(\widehat {HOA}\) \( \Rightarrow AB = 2OA.\sin \widehat {HOA} = 2.3.\sin 36^\circ \approx 3,522\) (cm) b) OH = r = 3 cm Trong tam giác vuông OHA vuông tại H ta có: AH = OH.tan \(\widehat {HOA}\) \( \Rightarrow AB = 2.OH.\tan \widehat {HOA} = 2.3.\tan 36^\circ \approx 4,356\) (cm) Câu 49 trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn: Cách 1: áp dụng công thức a = 2Rsin\({{180^\circ } \over n}\) Cách 2: tính trực tiếp. Vẽ dây AB là cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn (O), gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Khi đó CA là cạnh của hình tám cạnh đều nội tiếp. Hãy tính CA trong tam giác vuông CAC’. Giải AB là cạnh của đa giác đều 8 cạnh. Kẻ OH ⊥ AB \( \Rightarrow \) HA =HB \( = {1 \over 2}AB\) \( \Rightarrow \widehat {HOB} = {{180^\circ } \over 8} = 22^\circ 30'\) Trong tam giác vuông HOB ta có: HB = OB. sin\(\widehat {HOB}\) \( \Rightarrow AB = 2.OB.\sin \widehat {HOB} = 2.R.\sin 22^\circ 30' \approx 0,764R\) Câu 50 trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Trong đường tròn (O; R) cho một dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (Điểm C và điểm A ở cùng một phía đối với BO). Tính các cạnh của tam giác ABC và đường cao AH của nó theo R. Giải Dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) nên AB = \(R\sqrt 2 \) và cung \(\overparen{AB}\) nhỏ có sđ \(\overparen{AB}\). Dây BC bằng cạnh hình tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) nên BC = \(R\sqrt 3 \) và cung nhỏ \(\overparen{BC}\) nhỏ có sđ \(\overparen{BC}\) \( = 120^\circ \). \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AC}\) = sđ \(\overparen{BC}\) - sđ \(\overparen{AB}\) = \(120^\circ - 90^\circ = 30^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AC}\) = 150(tính chất góc nội tiếp) Trong ∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) \( \Rightarrow AH = AB.\sin \widehat {ABH} = R\sqrt 2 .\sin 15^\circ \approx 0,36R\) Trong ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) \widehat {ACB} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AB}\) = 450 (tính chất góc nội tiếp) \(AC = {{AH} \over {\sin \widehat {ACH}}} = {{AH} \over {\sin 45^\circ }} \approx {{0,36R} \over {\sin 45^\circ }} \approx 0,51R\) Câu 51 trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh \(D{I^2} = AI.AD\). Giải Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCDE sđ \(\overparen{AB}\) = sđ \(\overparen{BC}\) = sđ \(\overparen{CD}\) = sđ \(\overparen{DE}\) = sđ \(\overparen{AE}\)= 720 (1) \(\widehat {{E_1}} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AB}\) (tính chất góc nội tiếp) (2) \(\widehat {{D_1}} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AE}\) (tính chất góc nội tiếp) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) Xét ∆AIE và ∆AED: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên) \(\widehat A\) chung Suy ra: ∆AIE đồng dạng ∆AED (g.g) \({{AI} \over {AE}} = {{AE} \over {AD}}\) \( \Rightarrow \) AE2 = AI. AD (*) \(\widehat {{E_2}} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{BCD}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {{E_2}} = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{BC}\) + sđ \(\overparen{CD}\)) (4) \(\widehat {{I_1}} = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{DE}\) + sđ \(\overparen{AB}\)) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn) (5) Từ (1), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}\) \( \Rightarrow \) △DEI cân tại D \( \Rightarrow \) DE = DI DE = AE (gt) Suy ra: DI = AE (**) Từ (*) và (**) suy ra: DI2 = AI. AD Câu 8.1 trang 109 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Mỗi câu sau đây đúng hay sai? a) Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp b) Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp c) Giao điểm ba đường trung tuyến của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy d) Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy. e) Giao điểm ba đường phân giác trong của một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ấy. f) Giao điểm ba đường cao của một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ấy. g) Tứ giác có tổng độ dài các cặp cạnh đối nhau bằng nhau thì ngoại tiếp được đường tròn h) Tứ giác có tổng số đo các cặp góc (trong) đối nhau bằng nhau thì nội tiếp được đường tròn. i) Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó. Giải Câu a: Đúng Câu b: Sai Câu c: Sai Câu d: Đúng Câu e: Đúng Câu f: Sai Câu g: Đúng Câu h: Đúng Câu i: Sai Câu 8.2 trang 109 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O). Qua điểm M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) (tức là đường thẳng đi qua điểm M và cắt đường tròn tại hai điểm C, D). Gọi I là trung điểm của dây CD. Khi đó MAOIB có là ngũ giác nội tiếp hay không? Giải Khi cắt tuyến MCD không đi qua O. IC = ID (gt) \( \Rightarrow \) OI ⊥ CD (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây không đi qua tâm) \( \Rightarrow \widehat {MIO} = 90^\circ \) MA ⊥ OA (tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \) MB ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \) A, I, B nhìn MO dưới một góc bằng 90º nên A, I, B nằm trên đường tròn đường kính MO. Vậy: Ngũ giác MAOIB nội tiếp. (Khi cắt tuyến MCD đi qua O ngũ giác MAOIB suy biến thành tứ giác MAOB chứng minh tương tự).
