Câu 14 trang 166 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc \(\widehat B = 60^\circ \) và BC = 2a.(đơn vị độ dài). Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền BC. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành. Giải Khi quay tam giác vuông ABC một vòng xung quanh cạnh huyền BC ta thu được hai hình nón có đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao AH kẻ từ A đến canh huyền BC. Trong tam giác vuông ABC ta có: AB = BC. cosB = 2a. cos60º = 2a.\({1 \over 2}\) = a AC = BC. sinB = 2a. sin60º =\(2a.{{\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3 \) AH =\({{AB.AC} \over {BC}} = {{a.a\sqrt 3 } \over {2a}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) Diện tích xung quanh hình tạo thành: S = π. AH: AB + π AH. AC = \(\pi {{a\sqrt 3 } \over 2}(a + a\sqrt 3 ) = {{\pi {a^2}(3 + \sqrt 3 )} \over 2}\) (đơn vị diện tích) Thể tích hình tạo thành: \(V = {1 \over 3}\pi A{H^2}.BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}.HC = {1 \over 3}\pi A{H^2}(BH + HC)\) \(\eqalign{ & V = {1 \over 3}\pi A{H^2}.BC = {1 \over 3}\pi {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.2a \cr & = {1 \over 3}\pi {{{a^2}.3} \over 4}.2a = {{\pi {a^2}} \over 2} \cr} \) Câu 15 trang 166 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cắt bỏ hình quạt OPSQ (xem hình 94 – phần gạch sọc). Biết độ dài \(\overparen{PRQ}\) là x thì phần còn lại có thể ghép thành hình nón nào dưới đây? (A) (B) (C) (D) Giải Chọn hình A. Câu 16 trang 167 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Một chiếc cốc dạng hình nón, chứa đầy rượu (h.95). Cụ Bá uống một lượng rượu nên “chiều cao” của rượu còn lại trong cốc bằng một nửa chiều cao ban đầu. Hỏi cụ Bá đã uống bao nhiêu phần rượu trong cốc? Giải Thể tích rượu ban đầu trong ly: \({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}.h\) Thể tích rượu còn lại trong ly: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{r \over 2}} \right)^2}.{h \over 2} = {1 \over {24}}\pi {r^2}h = {1 \over 8}{V_1}\) Lượng rượu đã uống: \({V_1} - {V_2} = {V_1} - {1 \over 8}{V_1} = {7 \over 8}{V_1}\) Cụ Bá đã uống \({7 \over 8}\) lượng rượu trong ly. Câu 17 trang 167 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Người ta minh họa một cái xô đựng nước ở hình 96. Thể tích nước chứa đầy xô sẽ là (tính theo cm3): (A) \({{1000\pi } \over 3}\); (B) \({{1750\pi } \over 3}\); (C) \({{2000\pi } \over 3}\); (D) \({{2750\pi } \over 3}\). Hãy chọn kết quả đúng. Giải Thể tích hình nón có đường kính đáy 0,2 m là: \({1 \over 3}\pi .{\left( {{{0,2} \over 2}} \right)^2}.0,2 = {{0,002\pi } \over 3}({m^3}) = {{2000\pi } \over 3}(c{m^3})\) Thể tích hình nón có đường kính đáy 0,1 m là: \({1 \over 3}\pi .{\left( {{{0,1} \over 2}} \right)^2}.0,1 = {{0,00025\pi } \over 3}({m^3}) = {{250\pi } \over 3}(c{m^3})\) Thể tích nước trong xô bằng hiệu thể tích hai hình nón. Ta chọn (B) \({{1750\pi } \over 3}\). Câu 18 trang 167 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Diện tích toàn phần của hình nón, theo các kích thước của hình 97 là: (A) 220; (B) 264; (C) 308; (D) 374. (Chọn \(\pi = {{22} \over 7}\) và tính gần đúng đến cm2). Hãy chọn kết quả đúng. Giải Diện tích xung quanh hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl = {{22} \over 7}.7.10 = 220(c{m^{2)}}\) Diện tích đáy hình nón: \(S = \pi {r^2} = {{22} \over 7}{.7^2} = 154(c{m^2})\) STP = Sxq + Sđáy = 374. Chọn (D) 374. Câu 19 trang 167 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho hình bình hành ABCD với AB = 1, AD = x (x > 0) và \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). a) Tính diện tích toàn phần S của hình tạo thành khi quay hình bình hành ABCD đúng một vòng quanh cạnh AB và diện tích toàn phần S1 của hình tạo thành khi quay quanh cạnh AD. b) Xác định giá trị x khi S = S1 và S = 2S1. Giải a) khi quay hình bình hành ABCD một vòng quanh cạnh AB thì cạnh AD và BC vạch nên 2 hình nón bằng nhau có đường sinh AD = BC = x, cạnh CD vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình tròn. Trong ∆AHD có \(\widehat {AHD} = 90^\circ ;\widehat A = 60^\circ \) DH = AD. sin60º = \(x.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{x\sqrt 3 } \over 2}\) Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh 2 hình nón và diện tích xung quanh hình trụ: S = Sxq trụ + 2Sxq nón \(\eqalign{ & S = 2\pi DH.DC + 2.\pi DH.AD \cr & = 2\pi {{x\sqrt 3 } \over 2}.1 + 2.\pi .{{x\sqrt 3 } \over 2}.x \cr & = \pi x\sqrt 3 + \pi {x^2}\sqrt 3 \cr} \) \( \Rightarrow S = \pi x\sqrt 3 (1 + x)\) Khi quay hình bình hành quanh trục AD một vòng thì cạnh AB và DC vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh AB = CD = 1. Cạnh AD vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính nón. Bán kính đáy: DH = AB. sin60º = \({{\sqrt 3 } \over 2}.\) S1: diện tích toàn phàn hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón cộng với diện tích hình trụ. S1 = Sxq trụ + 2.Sxq nón \({S_1} = 2.\pi .DH.AD + 2.\pi .DH.AB = 2\pi {{\sqrt 3 } \over 2}.x + 2.\pi .{{\sqrt 3 } \over 2}.1\) \({S_1} = \pi \sqrt 3 (x + 1)\) b) Để S = S1 \(\Rightarrow \pi x\sqrt 3 (1 + x) = \pi \sqrt 3 (x + 1) \Leftrightarrow x(1 + x) = x + 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 1) = 0\) Vì x > 0 \( \Rightarrow \) x + 1 # 0 \( \Rightarrow \) x – 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = 1 Để S =2S1 \(\Rightarrow \) \(\pi x\sqrt 3 (1 + x) = 2\pi \sqrt 3 (x + 1) \Leftrightarrow x(x + 1) = 2(x + 1)\) \( \Leftrightarrow \) x2 – x – 2 = 0 \( \Leftrightarrow \) x2 – 2x + x – 2 = 0 \( \Leftrightarrow \) (x – 2)(x + 1) = 0 Vì x > 0 \( \Rightarrow \) x + 1 # 0 \( \Rightarrow \) x – 2 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = 2 Câu 20 trang 168 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Hình 98 có một hình nón, bán kính đường tròn đáy là \({m \over 2}(cm)\), chiều cao là 2l (cm) và một hình trụ, bán kính đường tròn đáy m (cm), chiều cao 2l (cm). Người ta múc đầy nước vào hình nón và đổ vào hình trụ (không chứa gì cả) thì độ cao của nước trong hình trụ là: (A) \({l \over 6}\)(cm); (B) l (cm); (C) \({5 \over 6}\) (cm); (D) \({{11} \over 6}l\) (cm). Hãy chọn kết quả đúng. Giải Thể tích hình nón là: V1 = \({1 \over 3}\pi {r^2}.h\) V1 = \({1 \over 3}\pi {\left( {{m \over 2}} \right)^2}.2l = {1 \over 3}\pi {{{m^2}} \over 4}.2l = {{\pi {m^2}l} \over 6}\) Thể tích hình trụ là: V2 = πr2. h V2 = πm2. 2l = 2 πm2l \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{\pi {m^2}l} \over 6}:2\pi {m^2}l = {{\pi {m^2}l} \over 6}.{1 \over {2\pi {m^2}l}} = {1 \over {12}}\) Vậy khi đổ đầy nước vào hình nón rồi đổ vào hình trụ độ cao nước \({1 \over {12}}.2l = {1 \over 6}l\) Chọn (A) \({l \over 6}\)(cm). Câu 21 trang 168 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Nếu chiều cao và bán kính đáy của một hình nón đều tăng lên và bằng \({5 \over 4}\) so với các kích thước tương ứng ban đầu thì trong các tỉ số sau đây, tỉ số nào là tỉ số giữa thể tích của hình nón mới với thể tích của hình nón ban đầu? (A) \({5 \over 4};\) (B) \({{15} \over {12}};\) (C) \({{25} \over {16}};\) (D) \({{125} \over {64}}.\) Giải Gọi bán kính đáy hình nón là r, độ dài đường cao là h. Thể tích hình nón: V = \({1 \over 3}\pi {r^2}.h\) Thể tích nón mới khi bán kính và chiều cao tăng: \({V_1} = \pi {\left( {{5 \over 4}r} \right)^2}.{5 \over 4}h = \pi {r^2}.h.{\left( {{5 \over 4}} \right)^3}\) \({{{V_1}} \over V} = {{{1 \over 3}\pi {r^2}h{{\left( {{5 \over 4}} \right)}^3}} \over {{1 \over 3}\pi {r^2}h}} = {\left( {{5 \over 4}} \right)^3} = {{125} \over {64}}\) Chọn (D) \({{125} \over {64}}.\) Câu 22 trang 168 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Từ một hình nón, người thợ tiện có thể tiện ra một hình trụ cao nhưng “ hẹp” hoặc một hình trụ rộng nhưng “ thấp”. Trong trường hợp nào thì người thợ tiện loại bỏ ít vật liệu hơn? Giải Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao hình nón là h, bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao phần hình nón cắt đi là BE = x \(MN//AC \Rightarrow {{ME} \over {AD}} = {{BE} \over {BD}}\) hay \({r \over R} = {x \over h} \Rightarrow r = {{Rx} \over h}\)) Thể tích hình trụ: V = πr2. h \(V = \pi .{\left( {{{Rx} \over h}} \right)^2}.\left( {h - x} \right) = \pi .{{{R^2}{x^2}} \over {{h^2}}}(h - x)\) Phần bỏ đi của hình nón ít nhất có nghĩa là thể tích của hình trụ lớn nhất: \(V = \pi .{{{R^2}{x^2}} \over {{h^2}}}(h - x) \Rightarrow 2V{h^2} = \pi {R^2}{x^2}(2h - 2x) \Rightarrow {{2V{h^2}} \over {\pi {R^2}}} = {x^2}(2h - 2x)\)) Vì π, R, h là các hằng số nên thể tích hình trụ lớn nhất khi và chỉ khi x2(2h – 2x) lớn nhất. Ta có: x2(2h – 2x) = x. x.(2h – 2x) Vì x + x + (2h – 2x) = 2h là một hằng số không đổi nên tích x. x (2h – 2x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau. \( \Rightarrow \)x = 2h -2x \(\Leftrightarrow \) 3x = 2h \(\Rightarrow \) x = \({2 \over 3}h\) Vậy khi phần cắt bỏ ở phía trên hìnhh nón có chiều cao bằng \({2 \over 3}\) chiều cao hình nón thì phần bỏ đi là ít nhất. Câu 23 trang 168 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Hình 99 là một hình nón. Chiều cao là h (cm), bán kính đường tròn đáy là r (cm) và độ dài đường sinh m (cm) thì thể tích hình nón này là: (A) \(\pi {r^2}h(c{m^3});\) (B) \({1 \over 3}\)\(\pi {r^2}h(c{m^3});\) (C) πrm (cm3); (D) πr(r + m) (cm3). Hãy chọn kết quả đúng. Giải Chiều cao hình nón là h (cm), bán kính đường tròn đáy là r (cm), độ dài đường sinh là m (cm). Thể tích nón: V = \({1 \over 3}\pi {r^2}.h(c{m^3})\) Chọn (B) \({1 \over 3}\)\(\pi {r^2}h(c{m^3})\). Câu 24 trang 169 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Một hình trụ có bán kính đáy 1cm và chiều cao 2cm, người ta khoan đi một phần có dạng hình nón như hình vẽ (h.100) thì phần thể tích còn lại của nó sẽ là: (A) \({{2\pi } \over 3}(c{m^3})\); (B) \({{4\pi } \over 3}(c{m^3})\); (C) 2\(\pi \) (cm3); (D) \({{8\pi } \over 3}(c{m^3}).\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải Thể tích hình trụ là: \({V_1} = \pi {r^2}.h = \pi {.1^2}.2 = 2\pi (c{m^3})\) Thể tích hình nón là: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {r^2}.h = {1 \over 3}\pi {.1^2}.2 = {2 \over 3}\pi (c{m^3})\) Thể tích phần còn lại của hình trụ là: \(V = {V_1} - {V_2} = 2\pi - {2 \over 3}\pi = {4 \over 3}\pi (c{m^{3)}}\) Chọn (B) \({{4\pi } \over 3}(c{m^3})\). Câu 25 trang 169 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi V1, V2, V3 theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC, AB và AC. Chứng minh rằng: $${1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} = + {1 \over {V_3^2}}.$$ Giải ∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), đặt: AB = c, AC = b, BC = a, AH = h; AH là đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh huyền BC. Ta có: \(h = {{bc} \over a}\) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh huyền BC một vòng thì cạnh AB và AC vạch nên hai hình nón có chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao AH và tổng chiều cao 2 hình nón bằng cạnh huyền BC có thể tích: \({V_1} = {1 \over 3}\pi .A{H^2} + HB + {1 \over 3}\pi .A{H^2}.HC\) \( = {1 \over 3}A{H^2}.BC = {1 \over 3}\pi {\left( {{{bc} \over a}} \right)^2}.a = {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3a}})\) \(\Rightarrow {1 \over {V_1^2}} = {1 \over {{{\left( {{{\pi {b^2}{c^2}} \over {3a}}} \right)}^2}}} = {{9{a^2}} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\) (1) Khi quay ∆ABC quanh cạnh AB một vong ta thu được hình nón có chiều cao AB = c, bán kính đáy AC = b có thể tích: \({V_2} = {1 \over 3}\pi .A{C^2}.AB = {1 \over 3}\pi {b^2}c\) \({1 \over {V_2^2}} = {1 \over {\left( {{{\pi {b^2}c} \over 3}} \right)}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}}\) Khi quay ∆ABC quanh cạnh AC một vòng ta thu được hình nón có chiều cao AC = b, bán kính đáy AB = c có thể tích: \({V_3} = {1 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}.AC = {1 \over 3}\pi {c^2}b\) \({1 \over {V_3^2}} = {1 \over {\left( {{{\pi b{c^2}} \over 3}} \right)}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}}\) \({1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}} + {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}} = {{9({b^2} + {c^2})} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\) Vì ∆ABC vuông tại A nên \({b^2} + {c^2} = {a^2} \Rightarrow {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}} = {{9{a^2}} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \({1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}}\) Câu 26 trang 169 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Hình 101 có một hình nón, chiều cao k (cm), bán kính đường tròn đáy m (cm) và một hình trụ có cùng chiều cao và bán kính đường tròn đáy với hình nón. Chứa đầy cát vào hình nón rồi đổ hết vào hình trụ thì độ cao của cát trong hình trụ sẽ là: (A) \({k \over 4}cm;\) (B) \({k \over 3}cm;\) (C) \({{2k} \over 3}cm;\) (D) \({{3k} \over 4}cm.\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải Hình trụ và hình nón có cùng bán kính và cùng chiều cao nên thể tích hình nón bằng \({1 \over 3}\) thể tích hình trụ. Chọn (B) \({k \over 3}cm.\)
