Tóm tắt lý thuyết 1. Các tính chất Tương tự phép nhân số nguyên, phép nhân phân số có các tính chất cơ bản sau: a. Tính chất giao hoán: \(\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{c}{d}.\frac{a}{b}\) b. Tính chất kết hợp: \(\left( {\frac{a}{b}.\frac{c}{d}} \right).\frac{p}{q} = \frac{a}{b}.\left( {\frac{c}{d}.\frac{p}{q}} \right)\) c. Nhân với số 1: \(\frac{a}{b}.1 = 1.\frac{a}{b} = \frac{a}{b}\) d. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \(\frac{a}{b}.\left( {\frac{c}{d} + \frac{p}{q}} \right) = \frac{a}{b}.\frac{c}{d} + \frac{a}{b}.\frac{p}{q}\) 2. Áp dụng Do các tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân, khi nhân nhiều phân số, ta có thể đổi chỗ hoặc nhóm các phân số lại theo bất cứ cách nào sao cho việc tính toán được thuận tiện. Ví dụ 1: Tính tích \(M = \frac{{ - 7}}{{15}}.\frac{5}{8}.\frac{{15}}{{ - 7}}.( - 16)\) Giải Ta có \(M = \frac{{ - 7}}{{15}}.\frac{{15}}{{ - 7}}.\frac{5}{8}.( - 16)\) (Tính chất giao hoán) \( = \left( {\frac{{ - 7}}{{15}}.\frac{{15}}{{ - 7}}} \right).\left( {\frac{5}{8}.( - 16)} \right)\) (tính chất kết hợp) \( = 1.( - 10) = - 10\) nhân với số 1 Ví dụ 2: Tính nhanh giá trị các biểu thức \(A = \frac{6}{7} + \frac{1}{7}.\frac{2}{7} + \frac{1}{7}.\frac{5}{7}\) \(B = \frac{4}{9}.\frac{{13}}{3} - \frac{4}{3}.\frac{{40}}{9}\) Giải \(A = \frac{1}{7}.\left( {6 + \frac{2}{7} + \frac{5}{7}} \right) = \frac{1}{7}.7 = 1\) \(B = \frac{4}{9}.\left( {\frac{{13}}{3} - \frac{{40}}{3}} \right) = \frac{4}{9}.( - 9) = - 4\) Ví dụ 3: Áp dụng các tính chất của phép nhân phân số để tính nhanh. \(M = \frac{8}{3}.\frac{2}{5}.\frac{3}{8}.10.\frac{{19}}{{92}}\) \(N = \frac{5}{7}.\frac{5}{{11}} + \frac{5}{7}.\frac{2}{{11}} - \frac{5}{7}.\frac{{14}}{{11}}\) \(Q = \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{{12}}{{999}} - \frac{{123}}{{9999}}} \right).\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \right)\) Giải \(M = \left( {\frac{8}{3}.\frac{3}{8}} \right).\left( {\frac{2}{5}.10} \right).\frac{{19}}{{92}} = 1.4.\frac{{19}}{{92}} = \frac{{19}}{{23}}\) \(N = \frac{5}{7}.\left( {\frac{5}{{11}} + \frac{2}{{11}} - \frac{{14}}{{11}}} \right) = \frac{5}{7}.\frac{{ - 7}}{{11}} = \frac{{ - 5}}{{11}}\) \(Q = \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{{12}}{{999}} - \frac{{123}}{{9999}}} \right).0 = 0\) Bài tập minh họa Bài 1: Tính giá trị biểu thức. \(A = \frac{{{1^2}}}{{1.2}}.\frac{{{2^2}}}{{2.3}}.\frac{{{3^2}}}{{3.4}}.\frac{{{4^2}}}{{4.5}}\) \(B = \frac{{{2^2}}}{{1.3}}.\frac{{{3^2}}}{{2.4}}.\frac{{{4^2}}}{{3.5}}.\frac{{{5^2}}}{{4.6}}.\) Giải \(A = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}.\frac{4}{5} = \frac{1}{5}\) \(B = \frac{{2\,\,.\,\,3\,\,.\,\,4\,\,.\,\,5}}{{1\,\,.\,\,2\,\,.\,\,3\,\,.\,\,4}}\,\,.\,\,\frac{{2\,\,.\,\,3\,\,.\,\,4\,\,.\,\,5}}{{3\,\,.\,\,4\,\,.\,\,5\,\,.\,\,6}} = \frac{5}{3}\) Bài 2: Tính nhanh \(M = \frac{2}{{3\,\,.\,\,5}} + \frac{2}{{5\,\,.\,\,7}} + \frac{2}{{7\,\,.\,\,9}} + ... + \frac{2}{{97.99}}\) Giải \(M = \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{9}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{97}} - \frac{1}{{99}}} \right)\) \( = \frac{1}{3} - \frac{1}{{99}}\) \( = \frac{{32}}{{99}}\) Bài 3: Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{10.11.12}}\) Giải Ta có nhận xét: \(\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} = \frac{{3 - 1}}{{1.2.3}} = \frac{2}{{1.2.3}}\) \(\frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} = \frac{{4 - 2}}{{2.3.4}} = \frac{2}{{2.3.4}};...\) Suy ra \(\frac{1}{{1.2.3}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}}} \right)\) \(\frac{1}{{2.3.4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}}} \right);...\) Do đó: \(M = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} + .... + \frac{1}{{10.11}} - \frac{1}{{11.12}}} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{11.12}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{11.12}}} \right)\) \( = \frac{1}{2}.\frac{{65}}{{132}} = \frac{{65}}{{264}}\)
