Tóm tắt lý thuyết 1. Ước chung Ví dụ 1: Ta có Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Ư(15) = {1, 3, 5, 15} Nhận xét rằng, các số 1, 3 đều là ước của 12 và 15, khi đó ta nói “1 và 3 là các ước chung của 12 và 15” Từ đó, ta có định nghĩa: Cho hai số a và b. Nếu có một số d thoả mãn: \(a\, \vdots \,\,d\) và \(b\,\, \vdots \,\,d\) thì d được gọi là ước chung của a và b. Tập hợp các ước chung của hai số a và b được kí hiệu là ƯC(a; b) Chú ý: Ta cần chú ý tới: * Nếu \(x \in \) ƯC(a, b, c,…) thì \(a\,\, \vdots \,\,x,\,b\,\, \vdots \,\,x,\,\,c\,\, \vdots \,\,\,x,....\) * Nếu Ư(a, b) = 1 thì a và b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Kí hiệu (a, b) = 1 * ƯC(a, b) = Ư(a) \( \cap \) Ư(b). 2. Ước chung lớn nhất Ví dụ 2: Ta có: ƯC(12; 15) = {1, 3} khi đó, ta nói 3 là ước chung lớn nhất của 12 và 15. Từ đó, ta có định nghĩa: Ước chung lớn nhất của a, b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a, b. Kí hiệu ƯCLN(a, b). Nhận xét: Nếu \(a\,\, \vdots \,\,b\) thì ƯCLN(a, b) = b 3. Cách tìm ƯCLN Bài toán: ƯCLN (a, b, c,…) Phương pháp giải Ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: (Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố): Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. Bước 3: Lập tích của các thừa số chung đó, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN cần tìm. Cách 2: (Sử dụng thuật toán Ơclit): Ta thực hiệu theo các bước sau: Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ. Giả sử a = b .x + r * Nếu \(r \ne 0\) ta thực hiện bước 2. * Nếu r = 0 thì ƯCLN (a, b) = b. Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư \(b{\rm{ }} = {\rm{ }}r{\rm{ }}.{\rm{ }}y{\rm{ }} + \,\,{r_1}\) * Nếu \({r_1} \ne 0\) ta thực hiện bước 3. * Nếu \({r_1} = 0\) thì ƯCLN(a, b) = r. Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết. 4. ƯCLN và tính chất chia hết Ta có hai nhận xét sau: 1. Nếu số a chia chết cho m và n mà m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích m.n \(a\,\, \vdots \,\,m,a\,\, \vdots \,\,n\) và \((m,\,n) = 1 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,m.n\) 2. Nếu tích \(a.b\, \vdots m\) mà b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a phải chia hết cho m. \(a.b\, \vdots m\) và \((b,m) = 1 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,m\) Ví dụ 3: Cho ba số a = 28, b = 54, c = 96. a. Tìm tập hợp các ước của a, b, c. b. Tìm tập hợp các ước chung của a, b, c. c. Tìm ước chung lớn nhất của: a và b b và c a, b và c Giải a. Ta có: Ư(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28} Ư(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} Ư(96) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96} b. Ta có: ƯC(28, 54, 96) = {1, 2} c. Ta có: \(\begin{array}{l}28 = {2^2}.7\\54 = {2.3^2}\\96 = {2^3}.3\end{array}\) Ta được: ƯCLN(a, b) = 2 ƯCLN(b,c) = \({2^2}\) =4 ƯCLN(a,b,c)=2. Ví dụ 4: Sử dụng thuật toán Ơclit để tìm: a. ƯCLN(174, 18) b. ƯCLN(124, 16) Giải a. Ta thực hiện theo các bước: * Lấy 174 chia cho 18, ta được: 174 = 9 . 18 + 12 * Lấy 18 chia cho 12, ta được: 18 = 1. 12 + 6 * Lấy 12 chia cho 6, ta được: 12 = 2.6 + 0 Vậy ƯCLN(174,18) = 6 b. Ta thực hiện theo các bước: * Lấy 124 chia cho 16, ta được: 124 = 7 . 16 + 12 * Lấy 16 chia cho 12, ta được: 16 = 1 . 12 + 4 * Lấy 12 chia cho 4, ta được: 12 = 3 . 4 + 0 Vậy, ƯCLN(124, 16) = 4 Bài tập minh họa Bài 1: Trong đợt tổng kết cuối năm, có 135 quyển vở, 80 thước kẻ, 169 bút bi. Cô giáo chia thành các phần thưởng đến nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại. Sau khi chia, còn thừa 15 quyển vở, 8 thước kẻ và 1 bút bi không đủ chia vào các phần thưởng. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng và mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu thước kẻ, bao nhiêu bút bi? Giải Giả sử a là số phần thưởng. Ta có: Số quyển vở đã chia: 135 – 15 = 120. Số thước kẻ đã chia: 80 – 8 = 72. Số bút bi đã chia: 169 – 1 = 168. Do đó, a = ƯC(72, 120, 168) và a > 15. \( \Rightarrow a = 24.\) Vậy, có 24 phần thưởng. Mỗi phần thưởng có 5 quyển vở, 3 thước kẻ và 7 bút bi. Bài 2: Tìm giao của hai tập hợp A và B biết: a. A = {1, 4, 6} và B = {1, 2, 3, 5, 6, 7} b. A là tập hợp các số tự nhiên chẵn và B là tập hợp các số tự nhiên lẻ. Giải a. Ta có: A = {1, 4, 6} và B = {1, 2, 3, 5, 6, 7} Vậy \(A \cap B = {\rm{\{ }}1,6\} \) b. Ta có: A là tập hợp các số tự nhiên chẵn và B là tập hợp các số tự nhiên lẻ. Vậy, \(A \cap B = \,\emptyset \) Bài 3: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng: A = 8a + 3 và B = 5a + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Giải Gọi d là ước chung của hai số A và B. Do đó: \((8a + 3b) \vdots d\) và \((5a + 2b) \vdots d \Rightarrow 5(8a + 3b) \vdots d\) và \(8(5a + 2b) \vdots d\) \( \Rightarrow 8(5a + 2b) - 5(8a + 3b)\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow \,b\,\, \vdots \,\,d\) (1) Lại có: \(2(8a + 3b) \vdots d\) và \(3(5a + 2b)\,\, \vdots \,\,d\) \( \Rightarrow 2(8a + 3b) - 3(5a + 2b)\,\, \vdots \,\,d\, \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,d\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: d = ƯC(a, b) Mà (a,b) = 1 \( \Rightarrow \) d = 1 \( \Rightarrow \) ƯC(8a + 3b, 5a + 2b) = 1. Vậy, hai số A = 8a + 3b và B = 5a + 2b là hai số nguyên tố cùng nhau
