Tóm tắt lý thuyết 1. Số đối Hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. Kí hiệu số đối của phân số \(\frac{a}{b}\) là \( - \frac{a}{b}\) ta có: \(\frac{a}{b} + \left( { - \frac{a}{b}} \right) = 0\) \( - \frac{a}{b} = \frac{a}{{ - b}} = \frac{{ - a}}{b}\) 2. Phép trừ phân số Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ \(\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left( { - \frac{c}{d}} \right)\) Ví dụ 1: Tính \(\frac{2}{7} - \left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)\) Giải \(\frac{2}{7} - \left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right) = \frac{2}{7} + \frac{1}{4} = \frac{{8 + 7}}{{28}} = \frac{{15}}{{28}}\) Nhận xét: Ta có \(\left( {\frac{a}{b} - \frac{c}{d}} \right) + \frac{c}{d} = \left[ {\frac{a}{b} + \left( { - \frac{c}{d}} \right)} \right] + \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left[ {\left( { - \frac{c}{d}} \right) + \frac{c}{d}} \right] = \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}\) Vậy có thể nói hiệu \(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}\) là một số mà cộng với \(\frac{c}{d}\) thì được \(\frac{a}{b}\) Như vậy phép trừ (phân số) là phép toán ngược của phép cộng (phân số). Ví dụ 2: Thời gian 1 ngày của Cường được phân phối như sau: - Ngủ \(\frac{1}{3}\) ngày - Học ở trường: \(\frac{1}{6}\) ngày - Chơi thể thao: \(\frac{1}{{12}}\) ngày - Học và làm tập ở nhà: \(\frac{1}{8}\) ngày - Giúp đỡ gia đình việc vặt: \(\frac{1}{{24}}\) ngày Hỏi Cường còn bao nhiêu thời gian rỗi? Giải Thời gian rỗi của Cường là \(\frac{1}{4}\) ngày Ví dụ 3: a. Tính \(1 - \frac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} - \frac{1}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{3} - \frac{1}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} - \frac{1}{5},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\) b. Sử dụng kết quả của câu a) để tính nhanh tổng sau: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}}\) Giải a. \(\frac{1}{2},\,\,\frac{1}{6},\,\,\frac{1}{{12}},\,\frac{1}{{20}},\,\,\frac{1}{{30}}\) b. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right)\) \( = 1 + \left( {\frac{{ - 1}}{2} + \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{{ - 1}}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{{ - 1}}{5} + \frac{1}{5}} \right) + \frac{{ - 1}}{6} = \frac{5}{6}\) Bài tập minh họa Bài 1: a. Chứng tỏ rằng với \(n \in \mathbb{N},n \ne 0\) thì: \(\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\) b. Áp dụng kết quả ở câu a) để tính: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{9.10}}\) Giải a. \(\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{{n + 1 - n}}{{n(n + 1)}} = \frac{{n + 1}}{{n(n + 1)}} - \frac{n}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\) b. \(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}} = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\) Bài 2: Tính nhanh \(A = \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}}\) Giải \(A = \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + \frac{1}{{6.7}} + \frac{1}{{7.8}}\) \( = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8}\) \( = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\) Bài 3: Chứng tỏ rằng: \(D = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + .... + \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1\) Giải \(D = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + .... + \frac{1}{{{{10}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{9.10}}\) \( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}\) \( = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}} < 1\)
