Số học 6 - Chương 1 - Bội chung nhỏ nhất

Bài 149 trang 59 sgk toán 6 tập 1. Tìm BCNN của:
a) \(60\) và \(280\);
b) \(84\) và \(108\);
c) \(13\) và \(15\).
Bài giải:
a) Ta có \(60 = 2^2. 3 . 5\);
\(280 = 2^3. 5 .7\)
\( BCNN (60, 280) = 2^3. 3 . 5 . 7 = 840\).
b) Ta có \(84 = 2^2. 3 . 7\);
\(108 = 2^2. 3^3\)
\( BCNN (84, 108) = 2^2. 3^3. 7 = 756\).
c) \(13=13\)
\(15=3.5\)
\( BCNN (13, 15) = 3.5.13=195\).





Bài 150 trang 59 sgk toán 6 tập 1. Tìm BCNN của:
a) \(10, 12, 15\);
b) \(8, 9, 11\);
c) \(24, 40, 168\).
Bài giải:
a) \(10 = 2 . 5\),
\(12 = 2^2. 3\),
\(15 = 3 . 5\).
\(BCNN (10, 12, 15) = 2^2. 3 . 5 = 60\);
b) \(8=2^3\)
\(9=3^2\)
\(11=11\)
\(BCNN (8, 9, 11) = 2^3 .3^2 . 11 = 792\);
c) \(24 = 2^3. 3\),
\(40 = 2^3. 5\),
\(168 = 2^3. 3 . 7\).
\(BCNN (24, 40, 168) = 2^3. 3 . 5 . 7 = 840\).





Bài 151 trang 59 sgk toán 6 tập 1. Hãy tính nhẩm BCNN của các số sau bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với \(1, 2, 3,...\) cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại:
a) \(30\) và \(150\);
b) \(40, 28, 140\);
c) \(100, 120, 200\).
Bài giải:
a) \(BCNN (30, 150) = 150\) vì \(150\) chia hết cho \(30\);
b) \(140 . 2 = 280\).
Vì \(280\) chia hết cho cả \(40\) và \(28\) và \(140\) nên \(280 = BCNN (40, 28, 140)\).
c) \(200\) không chia hết cho \(120; 200 . 2 = 400\) cũng không chia hết cho \(120\), nhưng \(200 . 3 = 600\) chia hết cho cả \(100\) và \(120\) nên \(BCNN (100, 120, 200) = 600\).





Bài 152 trang 59 sgk toán 6 tập 1. Tìm số tự nhiên \(a\) nhỏ nhất khác \(0\), biết rằng \(a\) \(\vdots\) \(15\) và \(a\) \(\vdots\) \(18\).
Bài giải:
Số tự nhiên \(a\) nhỏ nhất khác \(0\) chia hết cho cả \(15\) và \(18\), chính là \(BCNN (15, 18)\).
\(15=3.5\)
\(18=2.3^2\)
\(BCNN(15,18)=2.3^2.5=90\)
Vậy \(a=90\)





Bài 153 trang 59 sgk toán 6 tập 1. Tìm các bội chung nhỏ hơn \(500\) của \(30\) và \(45\).
Bài giải:
\(30=2.3.5\)
\(45=3^2.5\)
\(BCNN (30, 45) = 90\).
Do đó các bội chung nhỏ hơn \(500\) của \(30\) và \(45\) là các số tự nhiên chia hết cho \(90\) và nhỏ hơn \(500\)
Vậy các số thỏa mãn điều kiện của bài toán là: \(0, 90, 180, 270, 360, 450\).





Bài 154 trang 59 sgk toán 6 tập 1. Học sinh lớp \(6C\) khi xếp hàng \(2\), hàng \(3\), hàng \(4\), hàng \(8\) đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ \(35\) đến \(60\). Tính số học sinh lớp 6C.
Bài giải:
Vì khi học sinh lớp 6C xếp hàng \(2\), hàng \(3\), hàng \(4\), hàng \(8\) đều đủ hàng có nghĩa là số học sinh ấy là bội chung của \(2, 3, 4, 8\).
\(BCNN(2, 3, 4, 8) = 24\). Mỗi bội của \(24\) cũng là một bội chung của \(2, 3, 4, 8\). Vì số học sinh của lớp \(6C\) trong khoảng \(35\) đến \(60\) nên ta phải chọn bội của \(24\) thỏa mãn điều kiện này. Đó là \(24 . 2 = 48\).
Vậy lớp 6C có \(48\) học sinh.





Bài 155 trang 60 sgk toán 6 tập 1. Cho bảng:

a	6	150	28	50
b	4	20	15	50
ƯCLN (a, b)	2
BCNN (a, b)	12
ƯCLN(a, b) . BCNN (a, b)	24
a . b	24

a) Điền vào các ô trống của bảng.
b) So sánh tích \(ƯCLN (a, b) . BCNN (a, b)\) với tích \(a . b\).
Bài giải:
+) \(150=2.3.5^2\)
\(20=2^2.5\)
\(ƯCLN(a,b)=2.5=10\)
\(BCNN(a,b)=2^2.3.5^2=300\)
\(a.b=150.20=3000\)
+) \(28=2^2.7\)
\(15=3.5\)
\(ƯCLN(a,b)=1\)
\(BCNN(a,b)=2^2.3.5.7=420\)
\(a.b=28.15=420\)
+) \(50=2.5^2\)
\(ƯCLN(a,b)=50\)
\(BCNN(a,b)=50\)
\(a.b=50.50=2500\)

a	6	150	28	50
b	4	20	15	50
ƯCLN (a, b)	2	10	1	50
BCNN (a, b)	12	300	420	50
a.b	24	3000	420	2500

b) \(ƯCLN (a, b) . BCNN (a, b)=a.b\)





Bài 156 trang 60 sgk toán 6 tập 1. Tìm số tự nhiên \(x\), biết rằng:
\(x\) \(\vdots\) \(12\), \(x\) \(\vdots\) \(21\),
\(x\) \(\vdots\) \(28\) và \(150 < x < 300\).
Bài giải:
Theo đầu bài \(x\) \(\vdots\) \(12\), \(x\) \(\vdots\) \(21\), \(x\) \(\vdots\) \(28\) nên \(x\) là một bội chung của \(12, 21, 28\), và thỏa mãn điều kiện \(150 < x < 300\).
\(12=2^2.3\)
\(21=3.7\)
\(28=2^2.7\)
Ta có \(BCNN (12, 21, 28) = 2^2.3.7=84\). Bội chung của \(12, 21, 28\) phải chia hết cho \(84\) và thỏa mãn \(150 < x < 300\). Do đó bội chung thỏa mãn điều kiện đã cho là \(84 . 2 = 168\) và \(84.3=252\).
Vậy \(x = 168\) hoặc \(x=252\).





Bài 157 trang 60 sgk toán 6 tập 1. Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ \(10\) ngày lại trực nhật, Bách cứ \(12\) ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật ?
Bài giải:
Số ngày để việc trực nhật của An lặp lại là một bội của \(10\), của Bách là một bội của \(12\). Do đó khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật sau là những bội chung của \(10\) và \(12\). Vì thế khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật thứ hai là \(BCNN (10, 12)\).
Ta có: \(10 = 2 . 5; 12 = 2^2. 3 \Rightarrow BCNN (10, 12) = 60\).
Vậy ít nhất \(60\) ngày sau hai bạn mới lại cùng trực nhật.





Bài 158 trang 60 sgk toán 6 tập 1. Hai đội công nhân nhận trồng một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I phải trồng \(8\) cây, mỗi công nhân đội II phải trồng \(9\) cây. Tính số cây mỗi đội phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ \(100\) đến \(200\).
Bài giải:
Mỗi công nhân đội I phải trồng \(8\) cây nên tổng số cây trồng phải là bội của \(8\)
Mỗi công nhân đội II phải trồng \(9\) cây nên tổng số cây trồng phải là bội của \(9\)
Mà hai đội trồng số cây là như nhau nên tổng số cây trồng của mỗi đội phải là bội chung của \(8\) và \(9\)
\(8=2^3\)
\(9=3^2\)
\(BCNN (8, 9) = 72\)
Do đó tổng số cây trồng của mỗi đội phải chia hết cho \(72\) và thỏa mãn nằm trong khoảng \(100\) đến \(200\)
\(144=72.2\) thỏa mãn các điều kiện của bài toán
Vậy số cây mỗi đội phải trồng là \(144\) cây.