SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Từ định nghĩa đạo hàm $f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$ ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số. Cụ thể $\blacktriangledown$ Để tính: $A=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)}{x-x_0},$ biết $g(x_0)=0.$ Ta viết $g(x)=f(x)-f(x_0).$ Khi đó nếu $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì: A=$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ $\blacktriangledown$ Để tính: $B=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{F(x)}{G(x)},$ biết $F(x_0)=G(x_0)=0$ Ta viết $F(x)=f(x)-f(x_0)$ và $G(x)=g(x)-g(x_0).$ Nếu hai hàm số $f(x),g(x)$ có đạo hàm tại $x=x_0$ và $g'(x_0)\neq 0$ thì: $B=\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}.$ $\bigstar$ Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: $1)$ $A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x}$ $2)$ $B=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt{3x-2}}{x^2-1}$ $3)$ $C=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+3x}-1}{x}$ $4)$ $D=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+x^2}$ Lời giải: $1)$ Đặt $f(x)=\sqrt[3]{1-x}'(x)=\frac{-1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$ và $f(0)=1$ $\Rightarrow A=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=-\frac{1}{3}.$ $2)$ Đặt $f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt{3x-2}$ $'(x)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2}}-\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}$ và $f(1)=0$ $\Rightarrow B=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}.\frac{f(x)-f(0)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}.\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(0)}{x-1}$ $=\frac{1}{2}.f'(1)=\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=-\frac{5}{9}.$ $3)$ Đặt $f(x)=\sqrt[n]{1+3x}\Rightarrow C=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=\frac{3}{n}.$ $4)$ Đặt $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}$ $'(x)=\dfrac{2x}{3.\sqrt[3]{(1+x^2)^2}}+\dfrac{1}{2.\sqrt[4]{(1-2x)^3}}$ $\Rightarrow D=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x+1}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=\frac{1}{2}.$ $\bigstar$ Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: $1)$ $A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{1-\sqrt{2-x^2}}$ $2)$ $B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{x^2+1}}{sinx}$ $3)$ $C=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{26^3+1}-\sqrt[4]{80x^4+1}}{\sqrt{x}-1}$ Lời giải: $1)$ Đặt $f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-1'(x)=\dfrac{2}{3.\sqrt[3]{(2-x)^2}}(1)=\frac{2}{3}$ và $g(x)=1-\sqrt{2-x^2}'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2-x^2}}\Rightarrow g'(1)=1$ Khi đó $A=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{g(x)-g(1)}=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\dfrac{f'(1)}{g'(1)}=\dfrac{2}{3}.$ $2)$ Đặt $f(x)=\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{x^2+1}'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}-\frac{2x}{3.\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$ $\Rightarrow f'(0)=1$ và $g(x)=sin x\Rightarrow g'(x)=cosx\Rightarrow g'(0)=1.$ Khi đó: $B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(0)}{x}}{\dfrac{g(x)-g(0)}{x}}=\frac{f'(0)}{g'(0)}=1.$ $3)$ Đặt $g(x)=\sqrt{x}-1\Rightarrow g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}'(1)=\dfrac{1}{2}$ và $f(x)=\sqrt[3]{26x^3+1}-\sqrt[4]{80x^4+1}'(x)=\dfrac{26}{\sqrt[3]{(26x^3+1)^2}}-\dfrac{80x^3}{\sqrt[4]{(80x^4+1)^3}}$ $\Rightarrow f'(1)=\frac{-2}{27}$ Khi đó: $C=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\dfrac{f'(1)}{g'(1)}=-\frac{4}{27}.$ [font=arial, helvetica, sans-serif]Trong một số trường hợp ta chưa thể sử dụng trực tiếp được mà phải thực hiện một số phép biến đổi hoặc đặt ẩn phụ rồi mới áp dụng được dạng trên.[/font] $\bigstar$ Ví dụ 3: Tìm giới hạn $A=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+2x^2}-\sqrt[3]{1+3x^2}}{1-cosx}$ Lời giải: Ta có: $A=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+2x^2}-\sqrt[3]{1+3x^2}}{x^2}}{\dfrac{2sin^2\dfrac{x}{2}}{x^2}}$ Mà $A=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2sin^2\dfrac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\begin{pmatrix} \dfrac{sin\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}} \end{pmatrix}^2=\frac{1}{2}$ Đặt $t=x^2\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2t}-\sqrt[3]{1+3t}}{t}=0$ Vậy $A=0$. $\blacktriangledown$ Bài tập: Tìm các giới hạn sau: $1)$ $A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+3x)^3-(1-4x)^4}{x}$ $2)$ $B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$ $3)$ $C=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{\sqrt[m]{1+bx}-1}(m,n \in N;a.b\neq 0)$ $4)$ $D=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^2-1}$ $5)$ $E=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{4-2x+x^2}-\sqrt[3]{4+2x+x^2}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}.$\
