TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU Các bạn thân mến! Dạng toán tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ đồng biến (nghịch biến) trên 1 khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học. Dạng này có 3 cách làm chủ yếu: Phương pháp cô lập tham số m, kĩ thuật parabol và phương pháp dùng bảng biến thiên. Bài viết này chỉ nói đến phương pháp dùng bảng biến thiên. Đây là phương pháp khá phức tạp, dài dòng, song lại có thể giải quyết được tất cả các trường hợp. I - Nhắc lại lý thuyết 1) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$; $\forall x_1 ,x_2 \in K;x_1 < x_2$ Khi đó: $f(x)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow f(x_1 ) < f(x_2 )$ $f(x)$ nghịch biến biến trên $K$ $ \Leftrightarrow f(x_1 ) > f(x_2 )$ 2) Mối liên hệ giữa tính chất đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: $f ’(x) \geq 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$ $f ’(x) \leq 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$(Dấu “ =” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm). II - Ví dụ: Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 6mx – 1$ nghịch biến trên $(0;2)$. GiảiTXĐ: $\mathbb{R}$ Ta có $f ’(x) = 6x^2 + 6x + 6m = 6(x^2+ x + m).$ $\Delta = 1 – 4m$. *) Với $m \geq \frac{1}{4}$ ta có $\Delta \leq 0$ nên $f ’(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn đồng biến. Yêu cầu của bài toán không được thỏa mãn. *) Với $m < \frac{1}{4}$ ta có $\Delta > 0$ nên phương trình $f’(x) = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2 (x_1< x_2)$. Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ Từ bảng biến thiên, điều kiện cần và đủ để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ là: $$x_1 \leq 0 < 2 \leq x_2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1x_2 \le 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le 0 \\ m \le - 6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m \leq -6$$ Kết luận: hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ khi và chỉ khi $m \leq - 6.$ Từ ví dụ 1, ta có lưu ý: đối với dạng toán này, nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu một tam thức bậc 2, phải chia hai trường hợp. * TH1: $\Delta \leq 0$. Hàm số đã cho hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến. * TH2: $\Delta > 0$. Ta lập bảng biến thiên và sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc định lí Vi-et. Xin đưa thêm một số ví dụ: Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số sau đồng biến trên khoảng $(-\infty;1)$ $f(x) = \dfrac{{x^2 + m(m^2 - 1)x - m^3 - 1}}{{x - 1}}$ Giải TXĐ: : $\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}$ Ta có: $f ’(x) = \dfrac{{x^2 - 2x + m + 1}}{{(x - 1)^2 }}, \forall x \neq 1$ dấu của $f’(x)$ phụ thuộc dấu của $g(x)= x^2– 2x + m +1$ Ta có: $\Delta ’ = - m$. * Nếu $m \geq 0$ thì $\Delta ' \leq 0 $ nên $g(x) \geq 0, \forall x \Rightarrow f’(x) \geq 0, \forall x \neq 1.$ Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Do đó cũng đồng biến trên $(- \infty;1)$ * Nếu $m < 0$ thì $\Delta ' > 0$. Khi đó phương trình $f ’(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2 (x_1 < 1 < x_2)$. Ta có bảng biến thiên của $f(x)$ Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Kết luận: Với $m \geq 0$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty;1)$. Ví dụ 3. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x) = x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x$ đồng biến trên $(2;3)$. GiảiTXĐ: $\mathbb{R}$ Ta có $f’(x) = 3x^2 – 6mx + 6m – 3$; $f’(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2m - 1 \\ \end{array} \right.$ * Nếu $m = 1$ thì $f’(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số cũng đồng biến trên $(2;3)$. * Nếu $m > 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f(x)$ Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến trên $(2;3)$ là: $$1< 2m – 1 \leq 2 \Leftrightarrow 1 < m \leq \frac{3}{2}$$ * Nếu $m < 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f(x)$ Dễ thấy hàm số hiển nhiên đồng biến trên $(2;3)$ Kết luận: Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng biến trên $(2;3)$ là: $$m \leq \frac{3}{2}$$III – Bài tập: Mời các bạn làm thêm một số bài tập: 1) Bài tập 5 tr.8 (SGK GT 12NC), bài tập 8 tr. 44 (SGK GT 12CB), bài 1.81 tr.27 2) Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + (m – 1)x^2 – (2m^2 + 3m + 2)x$ đồng biến trên $(2;+\infty)$. 3) Tìm $m$ để hàm số $y = (m + 1)x^3 + mx^2 – x$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$. 4) Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{{x^2 + x + 1}}{{x - m}}$ đồng biến trên $(2;+\infty)$. 5) Tìm $m$ để hàm số $y = - \frac{1}{3}x^3 + (m – 1)x^2– (m – 3)x – 4$ đồng biến trên $(0;3).$
