HÀM SỐ LIÊN TỤC A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT: 1.Hàm số liên tục tại một điểm: $y = f(x)$ liên tục tại $x_0 \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$ - Để xét tính liên tục của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ ta thực hiện các bước: Bước 1: Tính $f(x_0)$. Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ (trong nhiều trường hợp ta cần tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)$) Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận. Bước 4: Kết luận. 2.Hàm số liên tục trên một khoảng: $y = f(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3.Hàm số liên tục trên một đoạn $[a; b]$: $y = f(x)$ liên tục trên $(a; b)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)$. 4.Hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5.Giả sử $y = f(x),\,\, y = g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó: - Các hàm số $y = f(x) + g(x),\,\, y = f(x) – g(x),\,\, y = f(x).g(x)$ liên tục tại $x_0$. - Hàm số $y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0) \ne 0$. 6.Nếu $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a; b):\,\, f(c) = 0$. Nói cách khác: Nếu $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm $c\in (a; b)$. Mở rộng: Nếu $y = f(x)$ liên tục trên [a; b]. Đặt $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$, $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$. Khi đó với mọi $T \in (m; M)$ luôn tồn tại ít nhất một số $c \in (a; b)$: $f(c) = T$. B.CÁC DẠNG TOÁN: Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm: Dạng 1: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} h(x,m) & \text{nếu}\,\,x \ne {x_0}\\ g(x,m) & \text{nếu}\,\,x = {x_0} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$ Phương pháp: Bước 1: Tính $f(x_0)$. Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$. Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận. Bước 4: Kết luận. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ - 3& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Hướng dẫn giải: $f(1) = - 3$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} = - 3$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = - 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Hướng dẫn giải: $f(1) = - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} = - 3$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ nên hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$ Vậy: Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$ Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ - 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Hướng dẫn giải: $f(1) = - 3m.1 - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} = - 3$ Để hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow - 3m - 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}$ Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là $m = -3$ Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\ - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = - 1$ b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ \frac{1}{4}& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$ d) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{x}& &\text{nếu}\,x \ne 0\,\,\,\,\,\,\\ \frac{1}{3}& &\text{nếu}\,\,x = 0 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$ Bài tập 2: Tìm $m$, $n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\ 3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} m& &\text{nếu}\,\,x = 0\\ \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x(x - 3)}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 0,x \ne 3\\ n& &\text{nếu}\,\,x = 3 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0\,\,\text{và}\,\,x = 3$ c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\ m& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$ d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {6 - x} - \sqrt[3]{{6 + x}}}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\ m& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$ Dạng 2: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ge {x_0}\\ g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x < {x_0} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$ hoặc $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x > {x_0}\\ g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \le {x_0} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$ Phương pháp: Bước 1: Tính $f(x_0)$. Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$. Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận. Bước 4: Kết luận. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Hướng dẫn giải: $f(1) = 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 1 = 1$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = - 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Hướng dẫn giải: $f(1) = - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 1) = - 1$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = - 3$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại ${x_0} = 1$ Vậy: Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$ Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ - 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Hướng dẫn giải: $f(1) = - 3m.1 - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 3mx - 1) = - 3m – 1$ Do hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow - 3m - 1 = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}$ Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là: $m = - \frac{2}{3}$ Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: a) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{{\sqrt {2x - 1} - 3}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\ {(x - 5)^2} + 3& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 5$ b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} 1 - \cos x& &\text{nếu}\,\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\ \sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$ c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 - \sqrt {2 - x} }}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - \frac{x}{2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}& &\text{nếu}\,\,x < 0\\ 1 - 2{x^2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 0 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,x = 0$ h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt[3]{{3 - 2x}} - \sqrt {2 - x} }}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - \frac{x}{2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ 2mx - 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ b) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{{\sqrt {2x - 1} - 3}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\ {(x - 5)^2} + 3m& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 5$ c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} 1 - m\cos x& &\text{nếu}\,\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\ \sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0 \end{array} \right.\text{tại}\,\,x = 0$ d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2mx + 1& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2(m - 1)x + 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ m - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên tập xác định của nó: Dạng 1: $f(x) = \begin{cases} & h(x,m) \text{ if } x \ne {x_0} \\ & g(x,m) \text{ if } x = {x_0} \end{cases}$ Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Khi $x \ne {x_0}$. Kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại $x \ne {x_0}$. Bước 3: Khi $x = {x_0}$. - Tính $f(x_0)$. - Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$. - So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận tại điểm $x_0$. Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ 3& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.$ Hướng dẫn giải: - Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ - Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$. Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ - Nếu $x = 1$ $f(1) = - 3$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ Suy ra hàm số f(x) liên tục tại ${x_0} = 1$ - Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.$ Hướng dẫn giải: - Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ - Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$. Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ - Nếu $x = 1$ $f(1) = - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại ${x_0} = 1$ Suy ra hàm số $f(x)$ không liên tục tại ${x_0} = 1$ - Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ nhưng gián đoạn tại ${x_0} = 1$ Ví dụ 3: Tìm $m$ để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ - 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ Hướng dẫn giải: - Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ - Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$. Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ - Nếu $x = 1$ $f(1) = - 3m - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$ Do hàm số $f(x)$ không liên tục tại ${x_0} = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow - 3m - 1 = 3 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$. - Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là $m = - \frac{4}{3}$ Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\ - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,$ b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ \frac{1}{4}& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.$ c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,x \ne 2\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.$ d) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} + x + 2}}{{{x^3} + 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne - 1\\ \frac{4}{3}& &\text{nếu}\,\,x = - 1 \end{array} \right.$ e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne - 2\\ - 4& &\text{nếu}\,\,x = - 2 \end{array} \right.$ f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }}& &\text{nếu}\,\,x \ne \sqrt 2 \\ 2\sqrt 2& &\text{nếu}\,\,x = \sqrt 2 \end{array} \right.$ Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại trên tập xác định của chúng: a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\ 3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.$ b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} m & & khi\,\,x = 0\\ \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x(x - 3)}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 0,x \ne 3\\ n& &\text{nếu}\,\,x = 3 \end{array} \right.$ c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\ m& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.$ d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\ m& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.$ e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\ 3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.$ f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\ m& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.$ Dạng 2: $f(x) = \begin{cases} & h(x,m) \text{ if } x \ge {x_0} \\ & g(x,m) \text{ if } x < {x_0} \end{cases}$ hoặc $f(x) = \begin{cases} & h(x,m) \text{ if } x > {x_0} \\ & g(x,m) \text{ if } x \le {x_0} \end{cases}$ Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Khi $x \ne {x_0}$. Kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$ trên các khoàng. Bước 3: Khi $x = {x_0}$. - Tính $f(x_0)$. - Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$. - So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận tại điểm ${x_0}$. Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ 3& &\text{nếu}\,\,x \le 1 \end{array} \right.$ Hướng dẫn giải: - Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. - Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$. Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. - Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = 1$. Đây là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$. - Nếu $x = 1$ $f(1) = 3$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 3 = 3$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 3$ nên hàm số f(x) liên tục tại ${x_0} = 1$ Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ - Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1 \end{array} \right.$ Hướng dẫn giải: - Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ - Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$. Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Vậy nó liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. - Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = 1$. Đây là hàm đa thứccó tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$. - Nếu $x = 1$ $f(1) = - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} - 1 = - 1$ Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)$ nên hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$ - Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$ và gián đoạn tại ${x_0} = 1$. Ví dụ 3: Tìm $m$ để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ - 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1 \end{array} \right.$ Hướng dẫn giải: - Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ - Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$. Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Vậy nó liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. - Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = - 3mx - 1$. Đây là hàm đa thứccó tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$. - Nếu $x = 1$ $f(1) = - 3m - 1$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 3mx - 1) = - 3m – 1$. Để hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$. - Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là $m = - \frac{4}{3}$. Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: a) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{{{x^2} - 25}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\ {(x - 5)^2} + \frac{1}{{10}}& &\text{nếu}\,x \le \,\,5 \end{array} \right.\,\,\,\,$ b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} 1 - \cos x& &\text{nếu}\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\ \sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0 \end{array} \right.$ d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - x& &\text{nếu}\,\,\,x \le \,3\\ \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{2x - 6}}& &\text{nếu}\,\,\,\,\,x\, > \,3 \end{array} \right.$ e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,$ f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,$ g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 4& &\text{nếu}\,\,x < 2\\ 5& &\text{nếu}\,\,x = 2\\ 2x + 1& &\text{nếu}\,\,x > 2 \end{array} \right.$ h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{12 - 6x}}{{{x^2} - 7x + 10}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\ 2& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.$ Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng: a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} & &\text{nếu}\,\,x < 1\\ 2mx - 3 & &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.$ b) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{{{x^2} - 25}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\ {(x - 5)^2} + 3m& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5 \end{array} \right.\,\,\,\,\,$ c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} 1 - m\cos x& &\text{nếu}\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\ \frac{{{x^3} + x}}{x} & &\text{nếu}\,\,x > \,0 \end{array} \right.$ d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2mx + 1& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,$ e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2(m - 1)x + 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,$ f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ m - 2x & &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,$ g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{m^2} + 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1\\ \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1 \end{array} \right.$ h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x & & \text{nếu}\,\,x < 1\\ 2 & & \text{nếu}\,\,x = 1\\ mx + 1 & & \text{nếu}\,\,x > 1 \end{array} \right.$ i) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} & &\text{nếu}\,\,x < 1\\ 2mx - 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.$ j) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 1}} & \text{nếu}\,\,x < 1\\ mx + 2\quad \quad \quad & \text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.$ Vấn đề 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Ví dụ 1: Chứng minh phương trình $3{x^3} + 2x - 2 = 0$ có nghiệm trong khoảng $\left( {0;1} \right)$ Hướng dẫn giải: - Xét hàm số $f(x) = 3{x^3} + 2x - 2$là hàm đa thức, liên tục trên R tức liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$. - Ta có: $f(0).f(1) = ( - 2).(3) = - 6 < 0$. - Do đó: $\exists c \in (0;1):\,f(c) = 0$, tức phương trình có nghiệm $c \in \left( {0;1} \right)$. Ví dụ 2: Chứng minh phương trình $2{x^3} - 6{x^2} + 5 = 0$ có ba nghiệm trong khoảng $\left( { - 1;3} \right)$. Hướng dẫn giải: - Xét hàm số $f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5$ liên tục trên R nên $f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5$ liên tục trên mọi đoạn. - Ta có: $f( - 1) = - 3 < 0$, $f(0) = 5 > 0$, $f(2) = - 3 < 0$, $f(3) = 5 > 0$. Suy ra phương trình có nghiệm trong mỗi khoảng $\left( { - 1;0} \right)$, $\left( {0;2} \right)$, $\left( {2;3} \right)$. - Vậy: Phương trìn có ba nghiệm trên khoảng $\left( { - 1;3} \right)$ Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0$ luôn có nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$với $a \ne 0$ và $2a + 6b + 19c = 0$. Hướng dẫn giải: - Xét hàm số $f(x) = a{x^2} + bx + c$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Ta có: $f(0) = c$, $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c)$ Do đó: $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0$ Như thế: - Nếu $f(0) = 0$ hay $f(\frac{1}{3}) = 0$ phương trình $f(x) = 0$ hiển nhiên có nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$. - Nếu $f(0) \ne 0$ và $f(\frac{1}{3}) \ne 0$ ta thấy $f(0)f(\frac{1}{3}) < 0$. Vậy: Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên $\left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$. Ví dụ 4: Với mọi $a,\,b,\,c \in R$, chứng minh phương trình: $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$ luôn luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: - Xét hàm số $f(x) = a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. $f(a) = a(a - b)(a - c)$, $f(b) = b(b - c)(b - a)$, $f(c) = c(c - a)(c - b)$ Giả sử $a \le b \le c$ (tương tự các trường hợp sau) - Nếu $a = 0$ hoặc $b = 0$hoặc $c = 0$ ta có $f(0) = 0$ do đó $x = 0$ là một nghiệm của phương trình. - Nếu $b \ne 0$. Ít nhất có một trong hai trường hợp xảy ra: +Với $a \le b < 0 \Rightarrow f(a)f(b) = - ab{(a - b)^2}(a - c)(b - c) \le 0$ Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ +Với $0 < b \le c \Rightarrow f(b)f(c) = - bc{(a - b)^2}(b - a)(b - c) \le 0$ Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[ {b;c} \right]$. Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right)$ với $k \in Z$ Hướng dẫn giải: - Xét hàm số ${\rm{f(x) = ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c$ Đặt ${\rm{t = tanx, }}\,{{\rm{x}}_{\rm{0}}} \in \left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$. Khi đó ta có: ${\rm{f(t) = a}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}} + bt + c$ có ít nhất một nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$. - Nếu ${\rm{a}} \ne {\rm{0,}}\,\,{\rm{c}} \ne {\rm{0}}$. Ta có: ${\rm{f(0)f}}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = c}}\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{9}}}a + \frac{2}{3}b + c} \right) = - \frac{{{c^2}}}{3} < 0$. Vậy phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ có nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right)$. - Nếu ${\rm{c = 0}}$, lúc đó phương trình có nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{1}}} = 0$, ${{\rm{t}}_{\rm{2}}} = \frac{2}{3}$ có nghĩa ${{\rm{t}}_{\rm{2}}} = \frac{2}{3} \in (0;1)$. - Nếu ${\rm{a = 0}}$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{bt + c = 0}}\\ {\rm{3(b + 2c) = 0}} \end{array} \right.$ +Với ${\rm{b = c = 0}}$ phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ có vô số nghiệm nên tất nhiên sẽ có một nghiệm thuộc ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$. +Với ${\rm{b}} \ne {\rm{0,}}\,\,{\rm{t = - }}\frac{{\rm{c}}}{{\rm{b}}} = \frac{1}{2} \in \left( {0;1} \right)$. - Tóm lại: $\forall a,\,b,\,c$ thỏa mãn $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ có ít nhất một nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$, tức là $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right)$ với $k \in Z$. Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) ${x^3} - 3x + 1 = 0$ b) ${x^3} + 6{x^2} + 9x + 1 = 0$ c) $2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3$ Bài tập 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) ${x^5} - 3x + 3 = 0$ b) ${x^5} + x - 1 = 0$ c) ${x^4} + {x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0$ Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình: ${x^5} - 5{x^3} + 4x - 1 = 0$ có 5 nghiệm trên $(–2; 2)$. Bài tập 4: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: a) $m{(x - 1)^3}(x - 2) + 2x - 3 = 0$ b) ${x^4} + m{x^2} - 2mx - 2 = 0$ c) $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$ d) $(1 - {m^2}){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3 = 0$ e) $\cos x + m\cos 2x = 0$ f) $m(2\cos x - \sqrt 2 ) = 2\sin 5x + 1$ Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình: a) ${x^3} + 6{x^2} + 9x + 1 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt. b) $m{(x - 1)^3}({x^2} - 4) + {x^4} - 3 = 0$ luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m. c) $({m^2} + 1){x^4} - {x^3} + 1 = 0$ luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng $\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)$ với mọi m. d) ${x^3} + m{x^2} - 1 = 0$ luôn có 1 nghiệm dương. e) ${x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0$ có nghiệm trong khoảng $(1; 2)$. Bài tập 6: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a) $a{x^2} + bx + c = 0$ với $2a + 3b + 6c = 0$ b) $a{x^2} + bx + c = 0$ với $a + 2b + 5c = 0$ c) ${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$ Bài tập 7: Cho $m > 0$ và $a$, $b$, $c$ là 3 số thực thoả mãn: $\frac{a}{{m + 2}} + \frac{b}{{m + 1}} + \frac{c}{m} = 0$. Chứng minh rằng phương trình: $f(x) = a{x^2} + bx + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0; 1)$. HD: Xét 2 trường hợp $c = 0$; $c \ne 0$. Với $c \ne 0$ thì $f(0).f\left( {\frac{{m + 1}}{{m + 2}}} \right) = - \frac{{{c^2}}}{{m(m + 2)}} < 0$
