1. Phương pháp đổi biến dạng 1. Bài toán. Tính tích phân \(I=\int\limits^b_af\left(x\right)dx\) Phương pháp. • Đặt \(x=\varphi\left(t\right)\Rightarrow dx=\varphi'\left(t\right)dt\) • Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b). • Khi đó \(I=\int\limits f^{\beta}_{\alpha}\left(\varphi\left(t\right)\right)\varphi'\left(t\right)dt\) Các trường hợp cần lưu ý khi đổi biến: • \(a^2+x^2:x=\left|a\right|\tan x,t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) • \(\sqrt{a^2-x^2}:x=\left|a\right|\sin t,t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) • \(\sqrt{x^2-a^2}:x=\frac{\left|a\right|}{\sin t},t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)\\(\left\{0\right\}\) 2. Phương pháp đổi biến dạng 2. Bài toán. Tính tích phân \(I=\int\limits^b_af\left[u\left(x\right)\right]u'\left(x\right)dx\) Phương pháp. • Đặt \(u=u\left(x\right)\Rightarrow du=u'\left(x\right)dx\) • Đổi cận: \(x=a\Rightarrow u=u\left(a\right);x=b\Rightarrow u=u\left(b\right)\)\(I=\int\limits^b_af\left(u\right)du\) • Khi đó Lưu ý. \(u\left(x\right)\) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit Công thức đổi biến số: \(t=\varphi(x)\Rightarrow dt=\varphi'(x)dx\Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\int f[\varphi(x)].\varphi'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F(\varphi(x))+C\\ \displaystyle\int\limits_a^b f[\varphi(x)].\varphi'(x)dx=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi (b)}f(t)dt \end{cases}\) Dạng 1: Tính nguyên hàm-tích phân của biểu thức chứa căn. Đặt \(t=\sqrt{f(x)}\Rightarrow t^2=f(x)dx\Rightarrow 2tdt=f'(x)dx\) Ví dụ 1: Tính tích phân \(I=\displaystyle\int x\sqrt{1+3x}dx\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^1 x\sqrt{1+3x}dx\). ĐS: \(I=\dfrac{2}{45}\sqrt{(1+3x)^5}-\dfrac{2}{27}\sqrt{(1+3x)^3}+C, J=\dfrac{116}{135}\) Ví dụ 2: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(\sqrt{1+3x^2}+e^x\right)xdx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(\sqrt{1+3x^2}+e^x\right)xdx\). ĐS: \(I=\dfrac{\sqrt{(1+3x^2)^3}}{9}+xe^x-e^x+C, J=\dfrac{16}{9}\) Ví dụ 3: Tính nguyên hàm \(I=\displaystyle\int \dfrac{3xdx}{x+\sqrt{x^2+4}}\). ĐS: \(I=\dfrac{1}{4}\sqrt{(x^2+4)^3}-\dfrac{x^3}{4}+C\) Dạng 2: Tính nguyên hàm-tích phân biểu thức hàm lũy thừa. Đặt \(t=x^\alpha\Rightarrow dt=\alpha x^{\alpha-1}dx\) Ví dụ 4: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx\) và \(\displaystyle I=\int\limits_0^1 \dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx\). ĐS: \(I=\ln|x^2+2|-\dfrac{1}{2}\ln |x^2+1|+C,J=\ln 3-\dfrac{3}{2}\ln 2\) Ví dụ 5: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(x.e^x+\dfrac{x^4}{x^5+1}\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(x.e^x+\dfrac{x^4}{x^5+1}\right)dx\). ĐS: \(I=(x-1)e^x+\dfrac{1}{5}\ln |x^5+1|+C, J=1+\dfrac{\ln 2}{5}\) Dạng 3: Tính nguyên hàm - tích phân biểu thức chứa hàm mũ. Đặt \(t=e^x\Rightarrow dt=e^xdx\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{t}\) Ví dụ 6: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int e^x\sqrt{5-e^x}dx\) và \(\displaystyle J=\int_2^7e^x\sqrt{5-e^x}dx\). ĐS: \(I=\dfrac{2\sqrt{(5-e^x)^3}}{3}+C,J=\dfrac{16}{3}-2\sqrt{3}\) Ví dụ 7: Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}\). ĐS: \(I=\dfrac{1}{2}\ln \left(e^{2x}+1\right)+C,J=\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{e^2+1}{2}\)[/I][/B] Dạng 4: Tính nguyên hàm - tích phân biểu thức chứa logarit. Đặt [/I]\(t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{x}dx\) Ví dụ 8: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int\left(x^2+\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e\left(x^2+\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx\). ĐS: \(I=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{\ln^3 x}{3}+C,J=\dfrac{e^3}{3}\) Ví dụ 9: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{\ln^2 x}{x(1+2\ln x)}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e \dfrac{\ln^2 x}{x(1+2\ln x)}dx\). ĐS: \(I=\dfrac{1}{4}\ln^2 |x|-\dfrac{1}{4}\ln |x|+\dfrac{1}{8}\ln |1+2\ln x|+C, J=\dfrac{1}{8}\ln 3\) NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác: \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) \(\sin 2x=2\sin x.\cos x\) \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x\) \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) \(1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, 1+\cot^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}\) Dạng 5: Đặt [/I]\(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx, t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin xdx\) Ví dụ 10: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \sin 2x.\cos^2 xdx\) và \(J=\int\limits_0^{\pi}\sin 2x.\cos^2 xdx\). ĐS: \(I=-\dfrac{\cos^4 x}{2}+C,J=0\) Ví dụ 11: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(x+\cos^2 x\right)\sin xdx\)và \(\displaystyle J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(x+\cos^2 x\right)\sin xdx\). ĐS: [/I]\(I=(1-x)\cos x-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C,J=\dfrac{4}{3}\) Ví dụ 12: Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{1-2\sin^2 x}{1+\sin 2x}\) và \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1-2\sin^2 x}{1+\sin 2x}\). Dạng 6: Đặt \(t=\tan x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{\cos^2 x}dx, t=\cot x\Rightarrow dt=-\dfrac{1}{\sin^2 x}dx\) Ví dụ 13: Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin x.\cos^3 x}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{dx}{\sin x.\cos^3 x}\). ĐS: \(I=\ln|\tan x|+\dfrac{1}{2}\tan^2 x+C,J=\ln 3+\dfrac{4}{3}\) Ví dụ 14: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int\dfrac{\cot x}{\cos 2x}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cot x}{\cos 2x}dx\). ĐS: [/I]\(I=\dfrac{1}{2}\ln |\cot x-1|+\dfrac{1}{2}\ln |\cot x+1|+C,J=\dfrac{\ln 2}{2}\) Dạng 7: Đặt \(t=\sin x\pm \cos x\Rightarrow dt=(\cos x\mp \sin x)dx\) Ví dụ 15: \(I=\displaystyle\int \dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)dx}{\sin 2x+2(1+\sin x+\cos x)}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)dx}{\sin 2x+2(1+\sin x+\cos x)}\). ĐS: [/I]\(I=\dfrac{1}{\sqrt{2}(\sin x+\cos x+1)}+C,J=\dfrac{4-3\sqrt{2}}{4}\)
Tính nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{2}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=-\frac{1}{3}\sqrt{2x-1}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\sqrt{2x-1}+C\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}=\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}}\) => \(\int\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}\int\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(2x-1\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}+1}+C\) \(=\frac{1}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\)
Tính \(\int x\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}dx\). \(\int x\left(1+x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}dx=\dfrac{1}{5}\left(1+x^2\right)^{\dfrac{2}{5}}+C\) \(\int x\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}x\left(1+x^2\right)^{\frac{5}{2}}+C\) \(\int x\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{5}\left(1+x^2\right)^{\frac{5}{2}}+C\) \(\int x\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{4}x^4+C\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=1+x^2\) => \(du=2xdx\) \(\int x\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{2}\int\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}\left(2xdx\right)=\frac{1}{2}\int u^{\frac{3}{2}}du\) \(=\frac{1}{2}.\frac{1}{\frac{3}{2}+1}u^{\frac{3}{2}+1}+C=\frac{1}{5}u^{\frac{5}{2}}+C\) \(=\frac{1}{5}\left(1+x^2\right)^{\frac{5}{2}}+C\)
Tính \(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}dx\). \(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}=\frac{-4x+1}{12\left(x+1\right)^4}+C\) \(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}=-\frac{1}{6\left(x+1\right)^6}+C\) \(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}=\frac{x}{5\left(x+1\right)^5}+C\) \(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}=\frac{-4x-1}{12\left(x+1\right)^4}+C\) Hướng dẫn giải: \(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}dx=\int\frac{x+1-1}{\left(x+1\right)^5}dx=\int\frac{1}{\left(x+1\right)^4}dx-\int\frac{1}{\left(x+1\right)^5}dx\) \(=\int\left(x+1\right)^{-4}d\left(x+1\right)-\int\left(x+1\right)^{-5}d\left(x+1\right)\) \(=\frac{1}{-4+1}\left(x+1\right)^{-4+1}-\frac{1}{-5+1}\left(x+1\right)^{-5+1}+C\) \(=-\frac{1}{3}\left(x+1\right)^{-3}+\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{-4}+C\) \(=-\frac{1}{3\left(x+1\right)^3}+\frac{1}{4\left(x+1\right)^4}+C\) \(=\frac{-4x-1}{12\left(x+1\right)^4}+C\)
Tính tích phân sau: \(I=\int\limits^3_0\frac{x^2}{\left(1+x\right)^{\frac{3}{2}}}\text{d}x\) \(I=\frac{2}{3}\) \(I=1\) \(I=\frac{4}{3}\) \(I=\frac{5}{3}\) Hướng dẫn giải: Đặt 1 + x = t (để mẫu số là đơn thức) => x = t - 1 ; dx = dt. Đổi cận: \(x|^3_0\Rightarrow t|^4_1\) \(I=\int\limits^4_1\frac{\left(1-t\right)^2}{t^{\frac{3}{2}}}dt\) \(=\int\limits^4_1\frac{1-2t+t^2}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t\) \(=\int\limits^4_1\left(t^{-\frac{3}{2}}-2t^{-\frac{1}{2}}+t^{\frac{1}{2}}\right)\text{d}t\) \(=\left[\frac{1}{-\frac{3}{2}+1}t^{-\frac{3}{2}+1}-2.\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}t^{-\frac{1}{2}+1}+\frac{1}{\frac{1}{2}+1}t^{\frac{1}{2}+1}\right]|^4_1\) \(=\left[-2t^{-\frac{1}{2}}-4t^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]|^4_1\) \(=\frac{5}{3}\)
Tính \(\int\frac{\text{d}x}{\sqrt{1-x}}\) , kết quả là: \(\frac{C}{\sqrt{1-x}}\) \(C\sqrt{1-x}\) \(-2\sqrt{1-x}+C\) \(\frac{2}{\sqrt{1-x}}+C\) Hướng dẫn giải: Điều kiện x < 1, khi đó: \(\int\frac{\text{d}x}{\sqrt{1-x}}=\int\left(1-x\right)^{-\frac{1}{2}}\text{d}x=-\int\left(1-x\right)^{-\frac{1}{2}}\text{d}\left(1-x\right)\) \(=-\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{2}+1}+C\) \(=-2\left(1-x\right)^{\frac{1}{2}}+C\) \(=-2\sqrt{\left(1-x\right)}+C\)
Tính tích phân phân \(I=\)\(\int\limits^{\pi}_0\cos^2x.\sin x\text{d}x\) \(I=-\frac{2}{3}\) \(I=\frac{2}{3}\) \(I=\frac{3}{2}\) \(I=0\) Hướng dẫn giải: \(\int\limits^{\pi}_0\cos^2x.\sin x\text{d}x=-\int\limits^{\pi}_0\cos^2x\text{d}\left(\cos x\right)\) \(=-\frac{\cos^3x}{3}|^{\pi}_0=\frac{2}{3}\)
Xét hai tích phân \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2xdx\) và \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2xdx\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng: \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x>\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2x\text{d}x\) \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x< \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2x\text{d}x\) \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2x\text{d}x\) Không so sánh được. Hướng dẫn giải: Xét \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x\) . nếu ta đổi biến số \(x=\frac{\pi}{2}-t\) => \(\text{d}x=-\text{d}t\) Đổi cận: \(x|^{\frac{\pi}{2}}_0\Rightarrow t|^0_{\frac{\pi}{2}}\) \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x=-\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\text{d}t=-\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\cos^2t\text{d}t=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos t\text{d}t=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos x\text{d}x\)
Biết \(\int f\left(u\right)\text{d}u=F\left(u\right)+C\), Tìm khẳng định đúng. \(\int f\left(2x-3\right)\text{d}x=2F\left(x\right)-3+C\) \(\int f\left(2x-3\right)\text{d}x=F\left(2x-3\right)+C\) \(\int f\left(2x-3\right)\text{d}x=\frac{1}{2}F\left(2x-3\right)+C\) \(\int f\left(2x-3\right)\text{d}x=2F\left(2x-3\right)+C\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=2x-3\) thì \(\text{d}u=2\text{d}x\), thay vào đẳng thức \(\int f\left(u\right)\text{d}u=F\left(u\right)+C\) ta có: \(\int f\left(2x-3\right)2\text{d}x=F\left(2x-3\right)+C\) \(\Leftrightarrow2\int f\left(2x-3\right)\text{d}x=F\left(2x-3\right)+C\) \(\Leftrightarrow\int f\left(2x-3\right)\text{d}x=\frac{1}{2}F\left(2x-3\right)+\frac{C}{2}\) Thay hằng số \(\frac{C}{2}\) bởi C thì họ nguyên hàm không thay đổi. Vậy: \(\int f\left(2x-3\right)\text{d}x=\frac{1}{2}F\left(2x-3\right)+C\)
Biết rằng f(x) là hàm liên tục và \(\int\limits^9_0f\left(x\right)\text{d}x=9\), tính \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x\). \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=1\) \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=2\) \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=3\) \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=\frac{1}{9}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=3x\) \(\Rightarrow\text{d}t=3\text{d}x\) Đổi cận: \(x|^3_0\Rightarrow t|^9_0\) Ta có: \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=\int\limits^9_0f\left(t\right).\frac{1}{3}\text{d}t=\frac{1}{3}\int\limits^9_0f\left(t\right)\text{d}t\) \(=\frac{1}{3}\int\limits^9_0f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{3}.9=3\)
