Toán Cao Cấp - Chương 1 - Bài 1: Số thực

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết

    1. Một số thiếu sót của Q


    Mệnh đề: Phương trình \(x^2 =2\) không có nghiệm trong Q.
    Chứng minh: Giả sử \(x^2 =2\) có nghiệm trong Q là x0
    \(\Rightarrow {x_0} = \frac{m}{n}\) với ra \(m,n \in Z,n \ne 0\,\,và\,\frac{m}{n}\) là phân số tối giản (m, n nguyên tố cùng nhau)
    Khi đó \({\left( {\frac{m}{n}} \right)^2} = 2 \Rightarrow \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} = 2 \Rightarrow {m^2} = 2{n^2}\) (1)
    ⇒ m2 là số chẵn ⇒ m là số chân (vì nếu m là số lẻ thì m2 là số lẻ) ⇒ m = 2k (k \(\in\) Z, k \(\ne\) 0 ) (2)
    (1) và (2) \(\Rightarrow {(2k)^2} = 2{n^2} \Rightarrow 2{k^2} = {n^2} \Rightarrow {n^2}\) là số chẵn
    ⇒ n là số chẵn \(\Rightarrow n = 2h(h \in Z,h \ne 0) \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{2k}}{{2h}} = \frac{k}{h}\)

    \(\Rightarrow \frac{m}{n}\) không là phân số không tối giản
    ⇒ mâu thuẫn với giả thiết.
    Do đó phương trình x2 = 2 không có nghiệm trong Q.

    2. Tính chất được sắp hoàn chỉnh:


    Khái niệm
    Tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi chung là số thực.
    Tập hợp các số thực ký hiệu là R. Trên R có các tính chất về phép cộng, nhân và bất đảng thức như đã biết.
    Đinh nghĩa: Cho \(A \subset R\)và \(A \ne \emptyset\)
    A là bị chận trên nếu \(\exists k \in R\) sao cho \(x \le k,\forall x \in A\)
    A bị chận dưới nếu \(\exists k \in R\) sao cho \(x \ge k,\forall x \in A\)
    Tính chất được sắp hoàn chỉnh:
    Mọi tập con của R khác \(\emptyset\) bị chận trên đều tồn tại chận trên nhỏ nhất.
    Nhận xét: nếu A có chận trên nhỏ nhất thì chận trên nhỏ nhất là duy nhất và ký hiệu là supA.
    Chứng minh: Giả sử A có hai chận trên nhỏ nhất là k1 và k2, ta có:
    \({k_1} \le {k_2}\) (vì k1 là chận trên nhỏ nhất)
    \({k_2} \le {k_1}\) (vì k2 là chận trên nhỏ nhât)
    ⇒ k1 = k2
    M là chận trên nhỏ nhất của A nếu mọi T là chận trên của A thì \(M \le T\)
    m là chận dưới lớn nhất của A nếu ta có \(m \ge t,\forall t\) là chận dưới của A.
    \(A \subset R,A \ne \emptyset\). Nếu A bị chận trên thì A có vô số chận trên. Nếu A bị chận dưới thì A có vô số chận dưới.
    Hệ quả: Cho \(A \subset R,A \ne \emptyset\). Nếu A bị chận dưới thì A có chận dưới lớn nhất, ký hiệu là inf A .
    Chứng minh: Đặt \(B = \{-x / x \in A\}\). Vì A bị chận dưới nên tồn tại \(m \in R\) sao cho :
    \(m \le x,\forall x \in A \Rightarrow - x \le - m,\forall - x \in B\)
    ⇒ B bị chận trên, do tính được sáp hoàn chỉnh ta có Sup B tồn tại.
    Ta có: \(\forall x \in A, - x \le sup{\rm{ }}B \Rightarrow - sup{\rm{ }}B < x\)
    \(\Rightarrow - Sup{\rm{ }}B\) là một chận dưới của A.
    Ta sẽ chứng minh -sup B là một chận dưới lớn nhất của A. Thật vậy, \(\forall t\) là chận dưới của A thì
    \(t \le x,\forall x \in A\)
    \(\Rightarrow - x \le - t,\forall - x \in B\)
    ⇒ - t là một chận trên của B
    \(\Rightarrow sup{\rm{ }}B \le - t \Rightarrow {\rm{ }}t \le - sup{\rm{ }}B\)
    => inf A = -sup B
    Ví dụ: Với A={-7,5,-2,1} thì supA = 5 ; inf A = -7
    A = {-2,18} thì supA =18; inf A = -2
    A= [-7; 12] thì supA = 12 ; infA = - 7
    A =(-5,2) thì supA = 2 ; inf A = - 5
    Nhận xét: SupA có thể thuộc A hoạc không thuộc A. Nếu supA \(\in\) A ta có supA = maxA
    InfA có thể thuộc A hoạc không thuộc A.
    Nếu inf A e A ta có inf A = min A
    Mênh đề (đặc trưng của sup).
    Cho \(A \subset R,A \ne \emptyset\). Khi đó: M = sup A
    (i) M là một chận trên của A
    (ii) \(\forall \varepsilon > 0,\exists {x_0} \in A:M - \varepsilon < {x_0} \le M\)
    Chứng minh:
    (⇒) Giả sử M = supA, khi đó (i) là hiển nhiên.
    \(\forall \varepsilon > 0 \Rightarrow M - \varepsilon < M \Rightarrow M - \varepsilon\) không là chặn trên của A.
    ⇒ mệnh đề \((\forall x \in A;x \le M - \varepsilon)\)là sai.
    \(\Rightarrow \exists {x_0} \in A:M - \varepsilon < {x_0} \le M \Rightarrow\) (ii) thỏa.
    Giả sử M thỏa i) và ii) ⇒ M là chặn trên. Giả sử M không là chặn trên nhỏ nhất của A.
    Ta có: supA < M ⇒ supA - M < 0 .
    Coi \(\varepsilon = M - supA > 0\)
    Từ ii) \( \Rightarrow \exists {x_0} \in A:M - (M - \sup A) < {x_0} \le \sup A\)
    \(\Rightarrow \sup A < supA\) vô lý
    Vậy M phải là chặn trên nhỏ nhất của A.

    3. Vài ứng dụng của tính chất được sắp hoàn chỉnh


    Mệnh đề: (Tính chất Archimède)
    \(\forall a,b \in R\,\,và \,a > 0\) luôn luôn \(\exists n \in N\) để cho n.a > b
    Chứng minh:
    Giả sử \(\exists n \in N\) để cho \(na > b \Rightarrow na \le b,\forall n \in N\).
    Đặt \(A = \left\{ {n.a/n \in N} \right\}\), ta có \(A \ne \emptyset\) vì A chứa phần tử
    a = 1.a
    Vì \(na \in A\) và \(na .\varepsilon = a > 0\)thì :
    \(\exists {x_0} \in A:supA - a < {x_0}\)
    Vì \(x_0 \in A\) nên \(\exists {n_0} \in N:{x_0} = {n_0}a\)
    Do đó \(\sup A - a < {n_0}a\)
    \(\Rightarrow \sup A < {n_0}a + a = ({n_0} + 1)a \in A\)
    ⇒ vô lý.
    Hệ quả: \(\forall \varepsilon > 0,\varepsilon \in R,\exists n \in N\) sao cho \(\frac{1}{n} < \varepsilon\)
    Chứng minh:
    Áp dụng tính chất Archimède với a = \(\varepsilon\) và b = 1 ta có:
    \(n\varepsilon > 1 \Rightarrow \frac{1}{n} < \varepsilon\)
    Mênh đề: Xen kẽ hai số thực khác nhau bất kỳ có ít nhất một số hữu tỷ. Nói cách khác:
    \(\forall a,b \in R\,\,va\,\,a < b \Rightarrow \exists \alpha \in Q:a < \alpha < b\)
    Tương tự, xen kẽ giữa hai số thực bất kỳ có ít nhất một số vô tỉ.
    Mênh đề: Phương trình x2 =2 có nghiệm trong R.
    Chứng minh: Đặt \(A = \left\{ {t \in [1;2]/{t^2} \le 2} \right\}\).Vì 1 \(\in\) A nên \(A \ne \emptyset \), hơn nữa A bị chặn trên bởi 2 ⇒supA tồn tại và \(1 \le supA \le 2\). Ta sẽ chứng minh rằng supA là nghiệm của phương trình x2 = 2 nghĩa là cần kiểm tra (sup A)2 = 2.
    Ta chứng minh bằng phản chứng
    Giả sử (sup A)2 < 2. Xét 0 < £ < 1, ta có
    \(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {supA + \varepsilon } \right)}^2} = {{\left( {supA} \right)}^2} + 2.\varepsilon .supA{\rm{ }} + {\rm{ }}{\varepsilon ^2}}\\ { \le {{\left( {supA} \right)}^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}4.\varepsilon + {\varepsilon ^2}}\\ { \le {{\left( {supA} \right)}^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5\varepsilon } \end{array} \)
    Để \({\left( {supA} \right)^2} + 5\varepsilon = 2\) ta chọn
    \(\varepsilon = \frac{{2 - {{\left( {\sup A} \right)}^2}}}{5}(0 < \varepsilon < 1)\)
    Do đó với \(\varepsilon = \frac{{2 - {{\left( {\sup A} \right)}^2}}}{5}\) ta có \({(\sup A + \varepsilon )^2} \le 2\)
    \(\Rightarrow \sup A + \varepsilon \in A\)
    Mà sup \( \sup A + \varepsilon > \sup A\): vô lý.
    ii) Giả sử (sup A)2 > 2. Xét \(\varepsilon > 0\), ta có :
    \(\begin{array}{l} {\left( {\sup A - \varepsilon } \right)^2} = {(\sup A)^2} - 2\varepsilon \sup A + {\varepsilon ^2}\\ > {(\sup A)^2} - 2.\varepsilon \sup A\\ \ge {(\sup A)^2} - 4\varepsilon \end{array} \)
    Để \({(\sup A)^2} - 4\varepsilon = 2\) ta chọn
    \(\varepsilon = \frac{{{{(\sup A)}^2} - 2}}{4} > 0\)
    Khi đó với \(\varepsilon = \frac{{{{(\sup A)}^2} - 2}}{4} > 0\), ta có \({{{(\sup A - \varepsilon )}^2} > 2}\) với \(0 \le {t^2} \le 2 \Rightarrow t \in A\) Vậy \(\sup A - \varepsilon\) là một chặn trên của A
    \(\Rightarrow \sup A \le \sup A - \varepsilon \)
    \(\Rightarrow \sup A - \varepsilon \le \sup A\) vô lý

    4. Giá trị tuyệt đối - Nhị thức Newton.


    Định nghĩa. Trị tuyệt đối của một số thực a là
    \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l} a\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,a \ge 0\\ - a\,\,\,\,neu\,\,\,a < 0 \end{array} \right. \)
    Tính chất.
    \(\begin{array}{l} i)\,\left| x \right| \ge 0,\forall x \in R\\ ii)\,\,\left| {x + y} \right| \le \,\left| x \right| + \,\left| y \right|;dấu\, = \,xảy\,ra\,\, \Leftrightarrow xy \ge 0\\ iii)\left| x \right| - \,\left| y \right| \le \,\left| {x - y} \right|;\,\left| x \right| - \,\left| y \right| \le \,\left| {x + y} \right|\\ iv)\,\left| {xy} \right| = \,\left| x \right|\left| y \right|;\,\left| {\frac{x}{y}} \right| = \left| {\frac{x}{y}} \right|,y \ne 0 \end{array} \)
    Nhị thức Newton:
    \(\begin{array}{l} {(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}{a^{n - k}}{b^k}} \\ {(a - b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}{a^{n - k}}{{( - 1)}^k}.{b^k}} \end{array} \)
    Qui ước
    \(n! = \left\{ \begin{array}{l} n.(n - 1).(n - 2)...2.1\,\,neu\,n > 1\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,n = 0\, \vee n = 1 \end{array} \right. \)
    Ta kí hiệu \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}\)
    \(\begin{array}{l} {a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\\ {a^n} + {b^n} = (a + b)({a^{n - 1}} - {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + a{b^{n - 2}} + {( - 1)^{n - 1}}{b^{n - 1}}) \end{array}\)
    với n lẻ
    Ghi chú: Khoảng mở tâm a bán kính \(\varepsilon > 0\) là
    \((a - \varepsilon ;a + \varepsilon )\)
    còn gọi là lân cận tâm a bán kính \(\varepsilon\).