Tóm tắt lý thuyết 3. Dãy số đơn điệu 3.1 Định nghĩa i) Dãy {un} gọi là đơn điệu tăng nếu \({u_n} \le {u_{n + 1}},\forall n \in N \). Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy tăng nghiêm ngặt (nghiêm cách). ii) Dãy {un} gọi là đơn điệu giảm nếu \({u_n} \ge {u_{n + 1}},\forall n \in N\) Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy giảm nghiêm ngặt. iii) Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu. 3.2 Định lý: i) Dãy tăng và bị chận trên thì hội tụ. ii) Dãy giảm và bị chận dưới thì hội tụ. Chứng minh: Đặt \(A = \left\{ {{u_n}/n \in N} \right\} \subset R\) i) {un} bị chận trên ⇒ A bị chận trên. Theo tính chất được sắp hoàn chỉnh ta có : sup A tồn tại. Ta sẽ chứng minh {un} → sup A. Với \(\varepsilon > 0\) cho trước, theo tính chất của sup thì \(\exists N:\sup A - \varepsilon < {u_N} \le \sup A\) Vì {un} tăng nên \(sup A - \varepsilon < {u_N} \le {u_n},\forall n > N\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \sup A - {u_n} < \varepsilon ,\forall n > N\\ \Rightarrow \left| {{u_n} - {\mathop{\rm supA}\nolimits} } \right| < \varepsilon ,\forall n > N \end{array}\) (vì \(\left| {{u_n} - {\mathop{\rm supA}\nolimits} } \right| = \left| {\sup A - {u_n}} \right| = \sup A - {u_n}\)) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = \sup A\) Tương tự {un} giảm và bị chận dưới thì hội tụ về infA. Ví dụ 1: Xét dãy số {un} với \({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\) Chứng minh: {un} hội tụ. Giải: Ta có \({u_{n + 1}} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right){u_n} \le {u_n},\forall n \in {N^*}\) ⇒ {un} giảm và \({u_n} > 0,\forall n \in {N^*}\) Vậy {un} giảm và bị chận dưới bởi 0 nên {un} hội tụ. Ví dụ 2: Cho dãy số {un} với = \({u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) Chứng minh {un} hội tụ và tìm giới hạn của {un}. Giải Ta có: \({u_n} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}} < 1,\forall n\) \( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} > {u_n},\forall n\) ⇒ {un} tăng và bị chặn trên bởi 1 ⇒ {un} hội tụ Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 1\) 4. Dãy phân kỳ ra \(\infty\). 4.1 Định nghĩa: Dãy số không hội tụ gọi là dãy số phân kỳ. Ví dụ: {un} với {un} =(-1)n là một dãy phân kỳ. 4.2 Định nghĩa: i) Dãy {un} gọi là phân kỳ ra \(+\infty\) nếu tính chất sau thỏa: “\(\forall A > 0\) cho trước, \(\exists N:n > N \Rightarrow {u_n} > A\)” ii) Dãy {un} gọi là phân kỳ ra \(-\infty\) nếu tính chất sau thỏa: “\(\forall A > 0\) cho trước, \(\exists N:n > N \Rightarrow {u_n} < -A\)” Nếu dãy {un} phân kỳ ra \(+\infty\), ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty\) Nếu dãy {un} phân kỳ ra \(-\infty\), ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty\) Nhận xét: Định nghĩa trên giống định nghĩa sự hội tụ về a của dãy, trong đó thay \(\varepsilon > 0\) bằng A > 0 và \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon\) bằng un > A (hoặc un < -A). 4.3 Mệnh đề Giả sử {un} tăng và {vn} giảm thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_n} \le {v_n},\forall n \in N\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 0\,(*) \end{array} \right. \) thì {un} và {vn} hội tụ về cùng một giới hạn. Chứng minh: Ta có \({u_n} \le {v_n} \le {v_1},\forall n\) ⇒ {un} bị chận trên bởi v1 (và un tăng) ⇒ {un} hội tụ về x1. \({v_n} \ge {u_n} \ge {u_1},\forall n \) ⇒ {vn} giảm và bị chận dưới bởi u1 ⇒ {vn} hội tụ về x2. \( \Rightarrow {x_1} - {x_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } ({u_n} - {v_n}) = 0\,\,do\,\,(*)\) \( \Rightarrow {x_1} = {x_2} \)
