Tóm tắt lý thuyết 1. Khái niệm Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không định nghĩa. Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi vật thể là một phần tử. Cho một tập hợp A và phần tử x. Nếu x là phần tử của A ta viết \(x\in A\). Ngược lại, ta viết \(x\overline \in \,A\) hay \(x \notin A\) (x không thuộc A) Ví du: Tất cả học sinh của trường Đại học Kinh tế là một tập hợp, mỗi học sinh là một phần tử. Đường thẳng là một tập hợp, mỗi điểm thuộc đường thảng đó là một phần tử. 2. Cách diễn tả Có nhiều cách: Liệt kê: liệt kê tất cả các phần tử trong 2 dấu { } Ví dụ: Tập hợp các nguyên âm A = {a, e, i, u, o, y} Ví dụ: T = {bàn, ghế, con mèo, con gái, ô mai} Trưng tính: (nêu tính chất đặc trưng) Nếu mọi phần tử x của tập A đều có tính chất b, ta viết: A = {x I x có tính chất b} Ví dụ: M = {x I x là số nguyên dương nhỏ hơn 5} ⇒ M = {1, 2, 3, 4} Giản đồ Venn \(\begin{array}{l} a \in A\\ b \in A,2 \in A\\ c, - 3,5 \notin A \end{array}\) 3. Vài tập hợp thông dụng N = {O, 1,2,3, }; N’ = N \ {0} Z = {0, ± 1, ± 2,...} \(Q = \left\{ {x = \frac{m}{n}\left| {m \in Z,n \in Z*} \right.} \right\}\): tập các số hữu tỷ. R là tập các số thực \({R^ + } = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 0} \right.} \right\};{R^ - } = \left\{ {x \in R\left| {x \le 0} \right.} \right\}\) \(\left( {a,b} \right) = \left\{ {x \in R\left| {a \le x \le b} \right.} \right\}\) \(\begin{array}{l} \left[ {a,b} \right] = \left\{ {x \in R\left| {a \le x \le b} \right.} \right\}\\ \left( {a - \varepsilon ,a + \varepsilon } \right) = \left\{ {x \in R\left| { - \sqrt 2 < x \le 15} \right.} \right\} \end{array}\) Ví dụ: \(\left( { - \sqrt 2 ,15} \right) = \left\{ {x \in R\left| { - \sqrt 2 < x \le 15} \right.} \right\}\) 4. Chính số, tập trống, tập hữu hạn, tập vô hạn Tâp hữu hạn: là tập hợp có số phần tử là n, với \(n \in N\) Chính số: Số phần tử của tập A còn được gọi là chính số của A (hay card A) Ký hiệu: ch.s A hay card A hay |A| Ví dụ: A = {-3, 5, a, b} => card A = 4. Tập trống: là tập hợp không có phần tử nào cả. Ký hiêu: \(\emptyset\) hay { } Ghi chú: \(\left\{ \emptyset \right\} \ne \emptyset ;\left\{ 0 \right\} \ne \emptyset \) Tập vô hạn: tập không hữu hạn được gọi là tập vô hạn. Ví dụ: N,Z,Q, R, (0, 1) là những tập hợp vô hạn 5. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Ký hiệu: \(A \subset B\) (A chứa trong B) \(A \subset B \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Rightarrow x \in B\) Ví dụ: \(A = \left\{ {1, - 5,0} \right\};B = \left\{ {2,3,1,8,0, - 5} \right\};C = \left\{ {1, - 5,0,7,3} \right\}\) \(A \subset B\,và\,C \not\subset B(7 \in C\,và\,7 \notin B)\) Nhân xét: \(\forall A\) ta có \(\emptyset \subset A\) và \(A \subset A\) Tập hợp bằng nhau: \(A = B \Leftrightarrow A \subset B\,va\,B \subset A\) \( \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Leftrightarrow x \in B\) Tập hợp tất cả tập hợp con của E gọi là tập hợp các phần của E Ký hiệu: \(P(E) = \left\{ {A\left| {A \subset E} \right.} \right\}\) Ví dụ: E = {a, b, c} thì P(E) = {\(\emptyset\), {a},{b},{c},{a, b}{b, c},{c, a},{a,b, c}} Hệ quả: Nếu card E = n ⇒ card P(E) = 2n (chứng minh bằng truy chứng) 6. Các phép toán trên tập hợp Phép giao: \(A \cap B = \left\{ {x\left| {x \in A\,va\,x \in B} \right.} \right\}\) Ví dụ: \(\begin{array}{l} A = \left\{ { - 3,5, - \sqrt 2 } \right\}\\ B = \left\{ {0, - 3,8, - \sqrt 2 } \right\}\\ C = \left\{ {1,2,3} \right\}\\ \Rightarrow A \cap B = \left\{ { - 3, - \sqrt 2 } \right\}\,va\,A \cap C = \emptyset \end{array}\) Tính chất: \(\begin{array}{l} A \cap \emptyset = \emptyset \cap A = \emptyset \\ A \cap A = A\\ A \cap B = B \cap A\\ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\\ A \cap B \subset A\\ A \cap B \subset B \end{array} \) Phép hội: \(A \cup B = \left\{ {x\left| {x \in A\,\,hay\,\,x \in B} \right.} \right\}\) Ví dụ: A = {a, b, c, d}; B = {a, c, e, f} \( \Rightarrow A \cup B = \left\{ {a,b,c,d,e,f} \right\}\) Tính chất: \(\begin{array}{l} A \cup B = B \cup A\\ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\\ A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A;\,A \cup A = A\\ A \subset A \cup B,\,B \subset A \cup B \end{array}\) Tính phân bố của phép giao và phép hội \(\begin{array}{l} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{array}\) Phép hiệu: \(A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A\,\,va\,\,x \notin B} \right.} \right\}\) Ví dụ: A = {a, b, c, d};B = {5, a, c, f, -3}; C = {a, f, 7, d} A \ B = {b, d}; B\A={5,f,-3} (A \ B) \ C = {b} \(\ne\) A \ (B \ C) = {a, b, d} Tính chất: Nếu A \(\ne\) B thì A \ B \(\ne\) B \ A Thông thường: (A \ B) \ C \(\ne\) A \ (B\ C) \(A\backslash \emptyset = A;\,A\backslash A = \emptyset ;\,A\backslash B \subset A\) Hệ quả: Dễ dàng chứng minh được \(\begin{array}{l} A\backslash \left( {B \cup C} \right) = (A\backslash B) \cap (A\backslash C)\\ A\backslash \left( {B \cap C} \right) = (A\backslash B) \cup (A\backslash C) \end{array} \) Phần bù Cho \(A \subset E\), phần bù của A đối với E là \({A^c} = \overline A = {C_E}A = E\backslash A = \left\{ {x\left| {x \in E\,va\,x\overline \in } \right.A} \right\}\) Tính chất: Cho \(A \subset E,B \subset E\) \(\begin{array}{l} {C_E}\emptyset = E;{C_E}E = \emptyset ;{C_E}A \cup A = E\\ {C_E}A \cap A = \emptyset \\ {C_E}({C_E}A) = A\,\,\left( {\overline{\overline A} = A} \right)\\ {C_E}(A \cup B) = {C_E}A \cap {C_E}B\\ {C_E}(A \cap B) = {C_E}A \cup {C_E}B \end{array}\) Ví dụ: E = {a, b, c, d, e, f}; A = {a, d}; B = {a, e, f} CEA = {b, c, e, f}; CEB = {b, c, d} CE (A\(\cup\)B)= {b, c}; CE (A \(\cap\) B) = {b, c, d, e, f} Tập hợp tích: A x B = {(x, y) | x \(\in\) A, y \(\in\) B} Ví dụ: A = {1,2, 3};B = {a, b} ⇒ A x B = {(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)} và B x A = {(a, 1)(b, 1) (a, 2) (b, 2) (a, 3) (b, 3)} Ghi chú: Nấu A \(\ne\) B và A, B \(\ne\) 0 thì A x B \(\ne\) B x A Ví dụ: (1,4)\(\ne\)(4, 1) \(A\,x\,\emptyset = \emptyset \,x\,A = \emptyset\) Nếu A, B hữu hạn, ta có: Card(Ax B) = Card A.Card B Nếu A = B ta viết: A x B = A x A = A2 Vi dụ: Mặt phẳng tọa độ là R2 = R x R = {(x, y)|x, y \(\in\) R } Tương tự ta có : \(\begin{array}{l} {A_1}x\,{A_{2\,}}x\,....x\,{A_n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in {A_i},i = \overline {1,n} } \right.} \right\}\\ = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_1} \in {A_1},{x_2} \in {A_2},....,{x_n} \in {A_n}} \right.} \right\}\\ \underbrace {A\,x\,A\,x....x\,A}_{n\,\,lan\,} = {A^n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in {A_i},i = \overline {1,n} } \right.} \right\} \end{array} \) Ví dụ: \({R^n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in R,i = \overline {1,n} } \right.} \right\}\) \(\begin{array}{l} ( - 5,2,\sqrt 7 , - 8) \in {R^4}\\ ( - 2,1,0,3,7) \in {Z^5} \subset {Q^5} \subset {R^5} \end{array} \)
