Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Cho hai tập hợp \(X,Y \ne \emptyset\), một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x \(\in\) X với duy nhất phần tử y \(\in\) Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X → Y \(x\, \mapsto y = f(x)\) Khi đó X gọi là tập hợp nguồn (miền xác định) và Y gọi là tập hợp đích (miền ảnh). Nhận xét : f : X → Y là một ánh xạ nếu mọi phần tử của X đều có ảnh duy nhất (\(\in\) Y) Ánh xạ f : X → R với \(X \subset R\) được gọi là một hàm số thực với biến số thực số thực. 2. Nghịch ảnh: (ảnh ngược, tiền ảnh) Cho ánh xạ f : X → Y \(A \subset X\), ảnh của tập A là \(f(A) = \left\{ {f(x) \in Y\left| {x \in A} \right.} \right\}\) Ảnh ngược của \(B \subset Y\) là \({f^{ - 1}}(B) = \left\{ {x \in X\left| {f(x)} \right. \in B} \right\}\) Đặc biệt khi \(B = \left\{ y \right\} \subset Y\) ta viết \({f^{ - 1}}(\{ y\} ) = {f^{ - 1}}(y) = \left\{ {x \in X\left| {f(x) = y} \right.} \right\}\) \(x \in {f^{ - 1}}(y)\) được gọi là ảnh ngược của y Ví dụ: Cho f : R → R, f(x) = x2 và B = {-5, 2, 4, 9, 0} Thì \(\begin{array}{l} {f^{ - 1}}\left( B \right) = {\rm{ }}\left\{ { \pm \sqrt 2 , \pm 2, \pm 3,0} \right\}\\ {f^{ - 1}}\left( {169} \right) = \left\{ { \pm 13} \right\};{f^{ - 1}}\left( { - 3} \right) = {\rm{ }}\emptyset \\ {f^{ - 1}}\left( 2 \right) = \left\{ { \pm \sqrt 2 } \right\};{f^{ - 1}}\left( { - 5} \right) = \emptyset \end{array}\) 3. Toàn ánh: Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y. Ta có: \(f(X) = Y \Leftrightarrow \forall y \in Y,\exists \in X:f(x) = y\) \(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình y = f(x) có ít nhất một nghiệm. \( \Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y) \ne \emptyset\) Ví dụ: i) f : R → R, f(x) =x2 không là toàn ánh vì \({f^{ - 1}}( - 2) = \emptyset\) (phương trình x2 = 2 : vô nghiệm) ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh vì \(\forall y \in {R^ + }\), phương trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn có nghiệm \(x = \pm \sqrt y\) Nhận xét: Giả sử f : X → Y là toàn ánh và X, Y là tập hợp hữu hạn thì card X > card Y. 4. Đơn ánh Cho ánh xạ f: X → Y. f là đơn ánh \(\forall {x_1},{x_2} \in X\,va\,{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\) Ta có: f là đơn ánh “\( \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in X\) và f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2” \(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình y = f(x) có nhiều nhất là một nghiệm” \(\Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y) = \emptyset\) hay \({f^{ - 1}}(y)\) có đúng một phần tử” Ví dụ: f : R → R , f(x) = x2 không là đơn ánh vì f(-2) = f(2) = 4 f : R+ → R hay R- → R, f(x) = x2 là đơn ánh f : R → R, \(f(x) = \frac{{3x - 5}}{7}\) là đơn ánh vì \(\begin{array}{l} \forall {x_1}{x_2} \in R\,\,va\,\,f({x_1}) = f({x_2})\\ \Leftrightarrow \frac{{3{x_1} - 5}}{7} = \frac{{3{x_2} - 5}}{7} \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} \end{array}\) 5. Song ánh: Cho ánh xạ f: X → Y. f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh. Ta có: f là song ánh \(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình f(x) = y có duy nhất nghiệm \(\Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y)\) có duy nhất một phần tử. Ví dụ: \(f:R \to R;\,f(x) = \frac{{3x - 5}}{7}\) là song ánh vì \(\forall y \in R\), phương trình \(y = \frac{{3x - 5}}{7}\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{7x + 5}}{3}\) 6. Ảnh xạ ngược: Nếu f : X → Y là song ánh \(x \mapsto f(x)\) thì ánh xạ sau được gọi là ánh xạ ngược của f : \(\begin{array}{l} {f^{ - 1}}:Y \to X\\ y = f(x) \mapsto x = {f^{ - 1}}(y) \end{array}\) Ví dụ: \(\begin{array}{l} f:{R^ + } \to {R^ + },f(x) = {x^2}\\ (y = {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt y ,x,y \ge 0)\\ {f^{ - 1}}(y) = \sqrt y (x,y \ge 0)\,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = \sqrt x \, \end{array} \) Ví dụ: \(\begin{array}{l} f:{R^ - } \to {R^ + },f(x) = {x^2}\\ {f^{ - 1}}(y) = - \sqrt y \,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = - \sqrt x \, \end{array}\) Ví dụ: \(\begin{array}{l} f:R \to {R^ + }\backslash \{ 0\} ;f(x) = {3^x}\\ {f^{ - 1}}:{R^ + }\backslash \{ 0\} \to R\,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = {\log _3}x \end{array} \) 7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích) Cho hai ánh xạ f : X → Y và g: Y → Z. Ánh xạ h : X → Z được định nghĩa h(x) = g[f(x)], \(\forall x \in X\) Ký hiệu: h = gof được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích) của f và g. Ví dụ: \(\begin{array}{l} f:R \to [5; + \infty ),f(x) = {x^2} + 5\\ g:\,[5; + \infty ) \to {R^ - },\,g(x) = - \sqrt {x + 2} \end{array}\) Thì \({g_o}f(x) = g({x^2} + 5) = - \sqrt {({x^2} + 5) + 2} = - \sqrt {{x^2} + 7}\) Ví dụ: \(f,g:R \to R;f(x) = 3{x^2} - x;\,\,g(x) = \frac{{2x + 5}}{4}\) Thì \({g_o}f(x) = g(3{x^2} - x) = \frac{{2(3{x^2} - x) + 5}}{4} = \frac{{6{x^2} - 2x + 5}}{4}\) \({f_o}g(x) = f\left( {\frac{{2x + 5}}{4}} \right) = 3{\left( {\frac{{2x + 5}}{4}} \right)^2} - \frac{{2x + 5}}{4} = \frac{{12{x^2} + 52x + 55}}{{16}}\) Nhận xét: Thông thường, \({g_o}f \ne {f_o}g\) \({\left( {{g_o}f} \right)^{ - 1}} = {f^{ - 1}}_o{g^{ - 1}}\) (giả sử f, g là song ánh) \({f^{ - 1}}_o{f^{ - 1}}(y) = y,\forall y \in Y\) (f:X → Y là song ánh) \({f^{ - 1}}_o{f^{ - 1}}(x) = x,\forall x \in X\) (f:X → Y là song ánh) Giả sử \({f_o}({g_o}h)\) tồn tại, ta có: \({({f_o}g)_o}h = {f_o}({g_o}h)\) 8. Định nghĩa Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con {1, 2, 3,..., n} của N . Khi đó, ta viết: CardA = n hay |A| = n. Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn. Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại một song ánh từ A vào B. Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của N . Khi đó, nếu N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập N .
