Phương trình \(\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\) tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau? \(x-1=0\) \(x+1=0\) \(x^2+1=0\) \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\) Hướng dẫn giải: Chia hai vế phương trình cho \(x^2+1\) (luôn dương) ta được phương trình tương đương \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\). Đáp số: \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\frac{\sqrt{x}}{x}=\sqrt{-x}\) \(S=\left\{0\right\}\) \(S=\varnothing\) \(S=\left\{1\right\}\) \(S=\left\{-1\right\}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện có nghĩa của phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\-x\ge0\\x\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\x\ne0\end{matrix}\right.\) Không có x nào thỏa mãn điều kiện trên, phương trình vô nghiệm, tập nghiệm là \(\varnothing\)
Tìm điều kiện để phương trình \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm duy nhất. \(a=0\) \(\begin{cases}a\ne0\\\Delta=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=0\\b\ne0\end{cases}\) \(\begin{cases}a=0\\b\ne0\end{cases}\) \(\begin{cases}a\ne0\\\Delta=0\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Nếu a = 0 thì phương trình đã cho là \(bx+c=0\), phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(b\ne0\) (c tùy ý). Nếu \(a\ne0\) thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai, vì vậy để phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là \(\Delta=0\). Vậy, phương trình đã cho sẽ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a=0,b\ne0,c\) tùy ý hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\) .
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(x^2-3x-1=0\) 0 1 2 3 Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho có \(a=1,b=-3,c=-1\), theo định lý Viet ta có \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3\). Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 3.
Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0,\left(a\ne0\right)\). Kí hiệu \(\Delta=b^2-4ac,S=-\dfrac{b}{a},P=\dfrac{c}{a}\) . Viết điều kiện đối với \(\Delta,S,P\) để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S< 0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\Delta>0\). Điệu kiện để hai nghiệm \(x_1,x_2\) đều âm là \(x_1x_2>0\) (hai nghiệm cùng dấu) và \(x_1+x_2< 0\) (hai nghiệm cùng âm), tức là \(P>0,S< 0\). Vậy phương trình sẽ có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S< 0\end{matrix}\right.\)
Xét phương trình \(ax^4+bx^2+c=0;\left(a\ne0\right)\). Đặt \(\Delta=b^2-4a;S=\frac{-b}{a};P=\frac{c}{a}\). \(\Delta,S,P\) phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình vô nghiệm? \(\Delta< 0\) \(\Delta< 0\) hoặc \(\begin{cases}\Delta\ge0\\S< 0\\P>0\end{cases}\) \(\begin{cases}\Delta>0\\S< 0\end{cases}\) \(\begin{cases}\Delta>0\\P>0\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(x^2=t,\left(t\ge0\right)\)thì phương trình đã cho trở thành \(at^2+bt+c=0\) (*). Phương trình đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc (*) có hai nghiệm âm, tức là \(\Delta< 0\) ((*) vô nghiệm) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S< 0\\P>0\end{matrix}\right.\) ((*) có hai nghiệm đều âm) Đáp số: \(\Delta< 0\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S< 0\\P>0\end{matrix}\right.\) .
Phương trình \(\left|ax+b\right|=\left|cx+d\right|\) tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau: \(ax+b=cx+d\) \(ax+b=-\left(cx+d\right)\) \(ax+b=\pm\left(cx+d\right)\) \(\sqrt{ax+b}=\sqrt{cx+d}\) Hướng dẫn giải: Hai số cùng giá trị tuyệt đối khi và chỉ khi chúng bằng nhau hoặc đối nhau. Vì vậy \(\left|ax+b\right|=\left|cx+d\right|\)\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}ax+b=cx+d\\ax+b=-\left(cx+d\right)\end{matrix}\right.\)
Xét phương trình : \(ax+b=0\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Nếu phương trình có nghiệm thì \(a\ne0\) Nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0 Nếu phương trình vô nghiệm thì b = 0 Nếu phương trình có nghiệm thì \(b\ne0\) Hướng dẫn giải: Nếu \(a\ne0\) thì phương trình có nghiệm (duy nhất) \(x=-\dfrac{b}{a}\) , do đó nếu phương trình không có nghiệm (vô nghiệm) thì a không thể khác 0, tức là a phải bằng 0. Vậy khẳng định "nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0" là khẳng định đúng.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^2+m=0\) có nghiệm. \(m>0\) \(m< 0\) \(m\le0\) \(m\ge0\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình dưới dạng \(x^2=-m\). Phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\le0\).
Giải hệ phương trình \(\begin{cases}\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{y}=1\\\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{y}=2\end{cases}\) \(\left(x=-1;y=-2\right)\) \(\left(x=1;y=2\right)\) \(\left(x=1;y=1\right)\) \(\left(x=-1;y=2\right)\) Hướng dẫn giải: Bấm máy tính ta tìm được nghiệm duy nhất của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3u-2v=1\\5u-3v=2\end{matrix}\right.\) là \(u=v=1\). Vì vậy hệ đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=1\\\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=1\). Đáp số: \(\left(x=1;y=1\right)\)
