Tìm các giá trị của m để hệ phương trình : \(\begin{cases}x^2+y^2=1\\y=x+m\end{cases}\) có đúng 1 nghiệm. \(m=\sqrt{2}\) \(m=-\sqrt{2}\) \(m=\pm\sqrt{2}\) \(m\) tùy ý Hướng dẫn giải: Hệ đã cho có đúng một nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng \(y=x+m\)\(\Leftrightarrow x-y+m=0\) tiếp xúc với đường tròn \(x^2+y^2=1\) (tâm O(0.0), bán kính1) tức là khoảng cách h từ O tới đường thẳng phải bằng 1: \(\dfrac{\left|0-0+m\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left|m\right|=\sqrt{2}\). Đáp số: \(m=\pm\sqrt{2}\)
Phương trình \(\left|x\right|+1=x^2+m\) có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : \(m=0\) \(m=1\) \(m=-1\) \(m=2\) Hướng dẫn giải: Chú ý rằng nếu \(x\ne0\)là một nghiệm của phương trình đã cho thì \(-x\) là một nghiệm khác của phương trình, do đó nếu \(x\) là nghiệm duy nhất của phương trình thì \(x=0\) \(\Rightarrow\) \(\left|0\right|+1=0^2+m\Rightarrow m=1\)
Tập nghiệm của phương trình \(\left|x-2\right|=2x-1\) là : \(S=\left\{-1;1\right\}\) \(S=\left\{-1\right\}\) \(S=\left\{1\right\}\) \(S=\left\{0\right\}\) Hướng dẫn giải: Phương trình tương đương với hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1\ge0\\x-2=\pm\left(2x-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}2x-1\ge0\\x=\pm1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=1\). Đáp số : \(S=\left\{1\right\}\)
Giải hệ phương trình : \(\begin{cases}\left(\sqrt{2}+1\right)x+y=\sqrt{2}-1\\2x-\left(\sqrt{2}-1\right)y=2\sqrt{2}\end{cases}\) \(\left(1;-\frac{1}{2}\right)\) \(\left(-1;\frac{1}{2}\right)\) \(\left(1;2\right)\) \(\left(1;-2\right)\) Hướng dẫn giải: Sử dụng MTCT
Giải hệ phương trình \(\begin{cases}xy+x+y=11\\x^2y+xy^2=30\end{cases}\) (2;3) và (1;5) (2;1) và (3;5) (5;6) (2;3);(3;2);(1;5);(5;1) Hướng dẫn giải: Đặt \(x+y=u,xy=v\), hệ đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}u+v=11\\uv=30\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) u, v là hai nghiệm của \(X^2-11X+30=0\), phương trình này có hai nghiệm \(X=5;X=6\), do đó hệ đã cho tương đương đương với \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=6\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) Điều này tương đương với \(x;y\) là các nghiệm của một trong hai phương trình bậc hai \(X^2-6X+5=0\) và \(X^2-5X+6=0\), do đó Hệ đã cho có 4 nghiệm (2;3);(3;2);(1;5);(5;1).
Phương trình \(x^2=3x\) tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau: \(x^2+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}\) \(x^2+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}\) \(x^2\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}\) \(x^2+\sqrt{x^2+1}=3x+\sqrt{x^2+1}\) Hướng dẫn giải: Phương trình \(x^2=3x\) có hai nghiệm \(x=0,x=3\) trong đó \(x=0\) không phải là nghiệm của \(x^2+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}\) và \(x^2\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}\) (vì không làm cho căn bậc hai có nghĩa); còn nghiệm \(x=3\) không là nghiệm của \(x^2+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}\) (vì làm cho mẫu thức bằng 0). Do đó chỉ có phương trình \(x^2+\sqrt{x^2+1}=3x+\sqrt{x^2+1}\) là có thể tương đương với phương trình \(x^2=3x\) . Dễ kiểm được rằng điều này là đúng. Đáp số: \(x^2+\sqrt{x^2+1}=3x+\sqrt{x^2+1}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\sqrt{x-2}=1\Rightarrow x-2=1\) \(\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}=1\Leftrightarrow x=1\) \(\left|3x-2\right|=x-3\Rightarrow\left(3x-2\right)^2=\left(x-3\right)^2\) \(\sqrt{x-3}=\sqrt{9-2x}\Rightarrow x-3=9-x\) Hướng dẫn giải: Khẳng định " \(\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}=1\Leftrightarrow x=1\)" là sai vì \(x=1\) không phải là nghiệm của phương trình \(\dfrac{x\left(x-1\right)}{x-1}=1\) . Các khẳng định còn lại đều đúng vì phép bình phương hai vế một phương trình luôn đưa đến một phương trình hệ quả.
\(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{3}\) là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau đây: \(x^2-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{6}=0\) \(x^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{6}=0\) \(x^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{6}=0\) \(x^2+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{6}=0\) Hướng dẫn giải: Sử dụng định lý Viet (thuận, đảo) ta thấy \(x^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{6}=0\) là phương trình nhận \(\sqrt{2},\sqrt{6}\) là hai nghiệm.
Cho phương trình \(mx^2-2\left(m-2\right)x+m-3=0\). Khẳng định nào sau đây sai ? Nếu \(m>4\) thì phương trình vô nghiệm Nếu \(m\le4\) thì phương trình có 2 nghiệm : \(x=\frac{m-2-\sqrt{4-m}}{m}\); \(x'=\frac{m-2+\sqrt{4-m}}{m}\) Nếu \(m=0\) thì phương trình có \(x=\frac{3}{4}\) Nếu \(m=4\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Các công thức \(x=\frac{m-2-\sqrt{4-m}}{m}\); \(x'=\frac{m-2+\sqrt{4-m}}{m}\) không có nghĩa khi m = 0 ( thỏa mãn điều kiện \(m\le4\)) , vì vậy khẳng định " Nếu \(m\le4\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x=\frac{m-2-\sqrt{4-m}}{m}\); \(x'=\frac{m-2+\sqrt{4-m}}{m}\) " là khẳng định sai.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(\left(x^2-3x+m\right)\left(x-1\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt . \(m=0\) ; \(m=2\) \(1\ne m< \dfrac{9}{4}\) \(m=-2\) ; \(m=3\) \(m=2\);\(m=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tương đương với \(\left[{}\begin{matrix}x^2-3x+m=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\). Do đó, phương trình đã cho sẽ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(x^2-3x+m=0\) (*) có 2 nghiệm phân biệt và \(x=1\) không phải là nghiệm của (*), tức là \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=9-4m>0\\1^2-3.1+m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(1\ne m< \dfrac{9}{4}\).
