Tìm các giá trị của tham số k đê hệ phương trình sau có nghiệm \(\begin{cases}\left(k-1\right)x-2y=-1\\\left(k-1\right)x+3ky=3\end{cases}\) \(k=1\) \(k\in\left\{-1;\dfrac{5}{3}\right\}\) Không có giá trị nào của k. \(k\notin\left\{1;-\dfrac{5}{3}\right\}\) Hướng dẫn giải: Hệ có định thức \(D=3k\left(k-1\right)+2\left(k-1\right)=\left(k-1\right)\left(3k+2\right)\). Nếu \(D\ne0\)\(\Leftrightarrow k\ne1\) và \(k\ne-\dfrac{2}{3}\) thid hệ đã cho có nghiệm (duy nhất). Nếu \(k=1\) thì hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}0x-2y=-1\\0x+3y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\\y=1\end{matrix}\right.\) , hệ vô nghiệm. Nếu \(k=-\dfrac{2}{3}\) thì hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{5}{3}x-2y=-1\\-\dfrac{5}{3}x-2y=3\end{matrix}\right.\) . hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho se có nghiệm khi và chỉ khi \(k\notin\left\{1;-\dfrac{5}{3}\right\}\)
Cho hệ phương trình \(\begin{cases}2x-\left(m+1\right)y=2\\mx+3y=m-2\end{cases}\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? \(\forall m\), hệ phương trình luôn luôn có nghiệm Khi \(m=1\), nghiệm của hệ là \(\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\) Khi \(m=2\), nghiệm của hệ là \(\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)\) Khi \(m=-1\), nghiệm của hệ là \(\left(1;-\frac{2}{3}\right)\) Hướng dẫn giải: Hệ phương trình đã cho có các định thức \(D=m^2+m+6=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+5,75>0,\forall m\); \(D_x=\left(m+1\right)\left(m-2\right)+6\); \(D_y=2\left(m-2\right)-2m=-4\). Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\left(m+1\right)\left(m-2\right)+6}{m^2+m+6}\\y=\dfrac{-4}{m^2+m+6}\end{matrix}\right.\) . Khi \(m=1\) hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x=\dfrac{1}{2};y=-\dfrac{1}{2}\right)\); Khi \(m=2\) hệ có nghiệm là \(\left(x=\dfrac{1}{2};y=-\dfrac{1}{3}\right)\); Khi \(m=-1\) hệ có nghiệm là \(\left(x=1;y=-\dfrac{2}{3}\right)\) . Vì vậy khẳng định sai là khẳng định " Khi \(m=2\) hệ có nghiệm \(\left(x=\dfrac{1}{3};y=-\dfrac{1}{3}\right)\)" là khẳng định SAI.
Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình \(\begin{cases}3x-y=2-a\\x+2y=a^2+1\end{cases}\) có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với \(x^2-y^2\) lớn nhất. \(\frac{3}{5}\) \(-\frac{3}{5}\) \(\frac{4}{5}\) \(-\frac{4}{5}\) Hãy chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải: Hệ đã cho có các định thức \(D=7;D_x=5-a;D_y=4a+1\), hệ có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{5-a}{7},y=\dfrac{4a+1}{7}\). Ta có \(x^2-y^2=\left(\dfrac{5-a}{7}\right)^2-\left(\dfrac{4a+1}{7}\right)^2=\dfrac{3}{49}\left(-5a^2-6a+8\right)\)\(=\dfrac{3}{49}[\dfrac{49}{5}-5\left(a+\dfrac{3}{5}\right)^2]\le\dfrac{3}{5}\). Vậy yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi \(a=-\dfrac{3}{5}\).