Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sin^3x+\cos^3x\) . Tính \(f'\left(\frac{\pi}{6}\right)\). \(\frac{3\sqrt{3}-3}{8}\) \(\frac{3\sqrt{3}-6}{8}\) \(\frac{3\sqrt{3}-9}{8}\) \(\frac{3\sqrt{3}-12}{8}\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\sin^3x+\cos^3x,f'\left(x\right)=3\sin^2x.\left(\sin x\right)'+3\cos^2x.\left(\cos x\right)'=3\sin^2x\cos x-3\cos^2x\sin x\) \(=\dfrac{3}{2}\sin2x.\left(\sin x-\cos x\right)\) \(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{2}\sin\dfrac{\pi}{3}\left(\sin\dfrac{\pi}{6}-\cos\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{3}\left(1-\sqrt{3}\right)}{8}=\dfrac{3\sqrt{3}-9}{8}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\tan^3x-3\tan x+3x\). \(4\tan^3x\) \(3\tan^4x\) \(3\cot^4x\) \(4\cot^3x\) Hướng dẫn giải: Chú ý rằng \(\left(\tan x\right)'=1+\tan^2x\) nên \(\left(\tan^3x\right)'=3\tan^2x.\left(\tan x\right)'=3\tan^2x\left(1+\tan^2x\right)\). Do đó \(y'=3\tan^2x\left(1+\tan^2x\right)-3\left(1+\tan^2x\right)+3=3\tan^4x\)
Cho hàm số \(y=\varphi\left(t\right)=\sqrt{1+\cos^2t^2}\) . Tính \(\varphi'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)\). \(-\frac{\sqrt{6\pi}}{3}\) \(-\frac{\sqrt{6\pi}}{6}\) \(-\frac{\sqrt{3\pi}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3\pi}}{3}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=1+\cos^2t^2=1+\dfrac{1+\cos2t^2}{2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2t^2\) thì \(u'=\dfrac{1}{2}.\left(-\sin2t^2\right).\left(4t\right)=-2t.\sin2t^2\) \(\varphi\left(t\right)=\sqrt{u},\varphi'\left(t\right)=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}=\dfrac{-2t.\sin2t^2}{2\sqrt{1+\cos^2t^2}}=-\dfrac{t.\sin2t^2}{\sqrt{1+\cos^2t^2}};\varphi'\left(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\right)=-\dfrac{\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\sin\dfrac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\cos^2\dfrac{\pi}{4}}}=-\dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{6}}=-\dfrac{\sqrt{6\pi}}{6}\)
Cho hàm số \(y=f\left(t\right)=\ln\left(\frac{2+\tan t}{2-\tan t}\right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=16\) \(f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\) \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{8}{3}\) \(f'\left(0\right)=1\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=\dfrac{2+\tan x}{2-\tan x}=\dfrac{4-\left(2-\tan x\right)}{2-\tan x}=4.\dfrac{1}{2-\tan x}-1\Rightarrow u'=-4.\dfrac{\left(2-\tan x\right)'}{\left(2-\tan x\right)^2}=\dfrac{4\left(1+\tan^2x\right)}{\left(2-\tan x\right)^2}\) \(f\left(x\right)=\ln u,f'\left(x\right)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{4\left(1+\tan^2x\right)}{\left(2-\tan x\right)^2}.\dfrac{2-\tan x}{2+\tan x}=\dfrac{4\left(1+\tan^2x\right)}{4-\tan^2x}\) \(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{4\left(1+3\right)}{4-3}=16,f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{4\left(1+\dfrac{1}{3}\right)}{4-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{16}{11},f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{4\left(1+1\right)}{4-1}=\dfrac{8}{3},f'\left(0\right)=\dfrac{4\left(1+0\right)}{4-0}=1\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=-\dfrac{\cos x}{3\sin^3x}+\dfrac{4}{3}\cot x\) Tính \(f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\) . \(\frac{9}{8}\) \(\frac{8}{9}\) \(-\frac{9}{8}\) \(-\frac{8}{9}\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=-\dfrac{\cos x}{3\sin^3x}+\dfrac{4}{3}\cot x=-\dfrac{1}{3}\cot x.\dfrac{1}{\sin^2x}+\dfrac{4}{3}\cot x=-\dfrac{1}{3}\cot x\left(1+\cot^2x\right)+\dfrac{4}{3}\cot x\) \(=-\dfrac{1}{3}\cot^3x+\cot x\) \(f'\left(x\right)=-\cot^2x.\left(-\dfrac{1}{\sin^2x}\right)-\dfrac{1}{\sin^2x}=-\dfrac{1}{\sin^2x}\left(1-\cot^2x\right)=-\left(1+\cot^2x\right)\left(1-\cot^2x\right)=-\left(1-\cot^4x\right)\) Do đó \(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=-\dfrac{8}{9}\)
Cho hàm số \(y=e^{-x}.\sin x\). Hệ thức nào đúng ? \(y'+2y"-2y=0\) \(y"+2y'+2y=0\) \(y"-2y'-2y=0\) \(y'-2y"+2y=0\) Hướng dẫn giải: \(y=e^{-x}\sin x,y'=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x,y"=e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x=-2e^{-x}\cos x\) a) \(y'+2y"-2y=\left(-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\right)+2\left(-2e^{-x}\cos x\right)-2\left(e^{-x}\sin x\right)=-3e^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)\ne0\) b) \(y"+2y'+2y=\left(-2e^{-x}\cos x\right)+2\left(-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\right)+2\left(e^{-x}\sin x\right)=0\) c) \(y"-2y'-2y=\left(-2e^{-x}\cos x\right)-2\left(-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\right)-2\left(e^{-x}\sin x\right)=-4e^{-x}\left(\cos x+\sin x\right)\ne0\) d) \(y'-2y"+2y=\left(-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\right)-2\left(-2e^{-x}\cos x\right)+2\left(e^{-x}\sin x\right)=e^{-x}\left(\sin x-3\cos x\right)\ne0\) Đáp số: \(y"+2y'+2y=0\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x\sin x\). Tính \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)+f'\left(\frac{\pi}{2}\right)+f"\left(\frac{\pi}{2}\right)+f'''\left(\frac{\pi}{2}\right)\) . 2 -2 4 -4 Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y=2\sin x+1\) là đạo hàm của hàm số nào sau đây ? \(f_1\left(x\right)=2\cos x\) \(f_2\left(x\right)=-2\cos x+x\) \(f_3\left(x\right)=2\cos x+x\) \(f_4\left(x\right)=2\sin x+x\) Hướng dẫn giải: Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm , tính đạo hàm của các hàm số cho trong các phương án trả lời và so với \(2\sin x+1\).
Mệnh đề nào sau đây sai ? \(\left(\sin x\right)'=\cos x\) \(\left(\cos x\right)'=-\sin x\) \(\left(-\tan x\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}\) \(\left(-\tan x\right)'=-\dfrac{1}{\cos^2x}\)
Mệnh đề nào sau đây sai ? \(\left(\sin2x\right)'=2\cos2x\) \(\left(\cos2x\right)'=-2\sin2x\) \(\left(\cot2x\right)'=-\dfrac{2}{\sin^22x}\) \(\left(\tan2x\right)'=\dfrac{2}{\cos^2x}\)
