Phép biến hình nào sau đây không có tính chất: " Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với chính nó" ? Phép tịnh tiến. Phép đối xứng tâm. Phép đối xứng trục. Phép vị tự. Hướng dẫn giải: Ta có ví dụ phản chứng: d không song song d'.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Phép dời hình là một phép đồng dạng. Phép vị tự là một phép đồng dạng. Phép đồng dạng là một phép dời hình. Có phép vị tự không phải là một phép dời hình. Hướng dẫn giải: Phép đồng dạng là hợp thành của một phép vị tự và một phép dời hình.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó. Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó. Hướng dẫn giải: Nếu \(A\notin d\) thì phép đối xứng trục d biến A thành một điểm khác với A.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\left(3;2\right)\) biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? 3x + 3y – 2 = 0 x – y + 2 = 0 x + y + 2 = 0 x + y – 3 = 0 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d: x + y - 2 = 0 cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A(2;0) và B(0;2). Phép đối xứng tâm O biến A và B lần lượt thành A'(-2;0) và B'(0;-2), biến d thành đường thẳng d' qua A' và B'; d' có phương trình \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-2}=1\Leftrightarrow x+y+2=0\). Phép tịnh tiến vecto \(\overrightarrow{v}\left(3;2\right)\) biến A'(-2;0) và B'(0;-2) lần lượt thành A"(1;2) và B"(3;0). Vì vậy phép dời hình đã cho biến đường thẳng d thành đường thẳng d" qua A" và B". d" có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A"B"}\left(2;-2\right)\) và có vecto pháp \(\overrightarrow{n}\left(1;1\right)\), vì vậy d" có phương trình \(1\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 4). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k=\dfrac{1}{2}\) và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào trong các điểm sau? A(1; 2) B(-2; 4) C(-1; 2) D(1; -2) Hướng dẫn giải: Với phép vị tự tâm O tỉ số \(\dfrac{1}{2}\) thì điểm \(M\left(2;4\right)\) biến thành điểm M'(x;y) sao cho \(\overrightarrow{OM'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OM}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\). Vậy \(M'\left(1;2\right)\). Với phép đối xứng qua Oy thì điểm \(M'\left(1;2\right)\) biến thành điểm \(M"\left(-1;2\right)\) .
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình $(x – 1)^2+ (y + 2)^2= 4$. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vecto (2; 3) biến (C) thành đường tròn (C"). Viết phương trình (C"). $x^2+ y^2= 4 $ $(x – 2)^2+ (y – 3)^2= 4$ $(x – 2)^2+ (y – 6)^2= 4$ $(x – 1)^2+ (y – 1)^2= 4$ Hướng dẫn giải: Qua phép dời hình trên thì bán kính đường tròn không đổi, vì vậy (C") có bán kính 2. Tâm I của đường tròn C có tọa độ (1;-2). Qua phép đối xứng qua trục Oy thì I biến thành I'(-1;-2). Qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}\left(2;3\right)\) thì I' biến thành điểm I"(1;1). Vậy qua phép dời hình đã cho thì (C) biến thành đường tròn (C") có phương trình \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\). \(Đ_{Oy}\left(I\left(1;-2\right)\right)=I'\left(-1;-2\right)\) Tiếp đó \(T_{\overrightarrow{v}}\left(I'\left(-1;-2\right)\right)=I''\left(1;1\right)\) Vậy phương trình đường tròn là: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4.\)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1;1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 45o và phép vị tự tâm O, tỉ số \(\sqrt{2}.\) \(x^2+\left(y-2\right)^2=8\) \(x^2+\left(y-2\right)^2=6\) \(x^2+\left(y-2\right)^2=4\) \(x^2+\left(y-2\right)^2=2\) Hướng dẫn giải: Vì I(1;1) nên \(OI=\sqrt{2}\) và góc \(\widehat{IOy}=45^0\) nên phép quay tâm O góc \(45^0\) biến I(1;1) thành \(I'\left(0;\sqrt{2}\right)\), biến đường tròn tâm I bán kính 2 thành đường tròn tâm I' bán kính 2. Phép vị tự tâm O tỉ số \(\sqrt{2}\) biến I' thành I"(x";y") sao cho \(\overrightarrow{OI"}=\sqrt{2}.\overrightarrow{OI'}\Leftrightarrow\left(x";y"\right)=\sqrt{2}.\left(0;\sqrt{2}\right)\). Do đó \(I"\left(0;2\right)\). Phép vị tự tâm O tỉ số \(\sqrt{2}\) biến đường tròn tâm I" bán kính 2 thành đường tròn tâm I" bán kính \(2\sqrt{2}\), nó có phương trình là \(x^2+\left(y-2\right)^2=8\)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1;-3) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox. \(\left(x-3\right)^2+\left(y-9\right)^2=36\) \(\left(x-3\right)^2+\left(y-9\right)^2=18\) \(\left(x+3\right)^2+\left(y-9\right)^2=36\) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+9\right)^2=18\) Hướng dẫn giải: Qua phép vị tự V tâm O, tỷ số vị tự 3 thì điểm I(1;-3) biến thành điểm I'(x:y) sao cho \(\overrightarrow{OI'}=3.\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=3\left(1;-3\right)\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(3;-9\right)\). Vậy phép vị tự V tâm O, tỷ số vị tự 3 biến đường tròn tâm I, bán kính r = 2 thành đường đường tròn tâm \(I'\left(3;-9\right)\) bán kính r' = 2.3 = 6. Qua phép đối xứng trục Ox thì I'(3;-9) biến thành điểm I"(3;9) , biến đường tròn tâm I' bán kính r' =6 thành đường tròn tâm I" bán kính 6. Vì vậy ảnh của đường tròn tâm I, bán kính 2 qua phép đồng dạng đã cho là đường tròn \(\left(x-3\right)^2+\left(y-9\right)^2=36\).
Cho hai đường thẳng song song với d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k = 100 biến đường thẳng d thành đường thẳng d'? Không có phép vị tự nào. Chỉ có duy nhất một. Chí có đúng hai phép. Có vô số. Hướng dẫn giải: Với một điểm H' đã cho trên đường thẳng d', gọi H là hình chiếu vuông góc của H' trên đường thẳng d. Có duy nhất một điểm I sao cho \(\overrightarrow{IH'}=100.\overrightarrow{IH}\). Phép vị tự tâm I tỷ số 100 biến đường thẳng d thành đường thẳng d'. Vì vậy có vô số phép vị tự với tỷ số k = 100 biến d thành d'.
Trong các mệnh đề, mệnh đề nào sai? Tâm vị tự ngoài của hai đường tròn nằm ngoài đường tròn đó. Tâm vị tự trongcủa hai đường tròn không nằm giữa hai tâm của hai đường tròn đó. Tâm vị tự trong của hai đường tròn luôn thuộc đường thẳng nối tâm của hai đường tròn. Tâm vị tự của hai đường tròn có thể là điểm chung của cả hai đường tròn.
