Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? 2x + 2y = 0 2x + y – 6 = 0 4x – 2y – 3 = 0 x + y – 4 = 0 Hướng dẫn giải: Với phép vị tự tâm O, tỉ số k: Biến mỗi điểm M(x;y) thành M'(x';y') mà \(\overrightarrow{OM'}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow\left(x';y'\right)=2\left(x;y\right)\) Do 2x + y - 3 = 0 nên \(x'+\dfrac{y'}{2}-3=0\Rightarrow2x'+y'-6=0\) Phương trình đường thẳng cần tìm là: 2x + y – 6 = 0. Cách khác: Đường thẳng d: 2x + y - 3 = 0 cắt trục tung tại điểm A(0;3). Phép vị tự tâm O tỷ số k = 2 biến điểm A thành điểm A'(0;6), biến đường thẳng d thành đường thẳng d' song song với d và qua A'. Do đó d': 2x+y -6 =0.
Cho hai đường tròn bằng nhau (O; R) và (O’; R) với tâm O và O’ phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến (O; R) thành (O’; R)? Không có phép vị tự nào. Có một phép vị tự duy nhất. Chỉ có hai phép vị tự. Có vô số phép vị tự. Hướng dẫn giải: Ta có thể ví dụ một số phép vị tự : \(V^{\dfrac{HA_1}{HA}}_H;V^{-\dfrac{DA_1}{DA}}_D;V^{-\dfrac{KA_1}{KA}}_K;...\)
Cho đường tròn (O; R). Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến (O; R) thành chính nó? Không có phép vị tự nào. Có duy nhất một phép vị tự. Chỉ có hai phép vị tự. Có vô số phép vị tự. Hướng dẫn giải: Đó là hai phép vị tự \(V_O^1\) và \(V_O^{-1}\).
Cho hai phép vị tự V(O,k)và V(O’,k’)với O và O’ là hai điểm phân biệt và kk’ = 1. Hợp thành của hai phép vị tự đó là phép nào trong các phép sau đây? Phép đối xứng trục. Phép đối xứng tâm. Phép tịnh tiến. Phép quay. Hướng dẫn giải: Hợp thành là một phép đối xứng tâm.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? 2x + y + 3 = 0 x + y + 4 = 0 x + y – 2 = 0 x + y – 4 = 0 Hướng dẫn giải: Gọi ảnh của d qua phép vị tự \(V_0^{-2}\) là d'. Lấy \(M\left(x;y\right)\in d\) có ảnh là \(M'\left(x';y'\right)\in d'\) thì : \(\overrightarrow{OM'}=-2\overrightarrow{OM}\Rightarrow\left(x';y'\right)=-2\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{x'}{2}\\y=-\dfrac{y'}{2}\end{matrix}\right.\) Vậy thì do \(x+y-2=0\Rightarrow-\dfrac{x'}{2}-\dfrac{y'}{2}-2=0\Rightarrow x'+y'+4=0\) Suy ra phương trình đường thẳng (d') là: x + y + 4 = 0. Cách khác: Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó vì vậy phương án trả lời " 2x + y + 3 = 0 " sai. Mặt khác, đường thẳng d cắt trục tung tại điểm A(0;2) và phép vị tự tâm O tỷ số k = -2 biến điểm A thành điểm A'(0;-4), ảnh của d phải qua A'(0;-4), từ đó phương án trả lời đúng là " x + y + 4 = 0 ".
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Hai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng. Hai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng. Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng. Hai hình chữ nhật bất kỳ luôn đồng dạng. Hướng dẫn giải: Hình chữ nhật với hai kích thước 1cm và 2cm không đồng dạng với hình chữ nhật với hai kích thước là 1cm và 3 cm. Vì vậy mệnh đề " Hai hình chữ nật bất kỳ luôn đồng dạng với nhau".
Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Tính tỉ số đồng dạng giữa hai hình thang JLKI và IHDC. \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{3}{4}\) Hướng dẫn giải: Với phép đối xứng tâm I, ta có: \(Đ_1\left(IHDC\right)=IKBA\) Với phép vị tự tâm C, tỉ số \(\dfrac{1}{2}\) ta có \(V^{\dfrac{1}{2}}_C\left(IKBA\right)=JLKI.\) Vậy tỉ số đồng dạng là \(\dfrac{1}{2}.\)
