Cho bốn đường thẳng a, b, a', b' trong đó a //a'; b//b', a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a' và b'? Không có phép tịnh tiến nào. Chỉ có duy nhất 1 phép tịnh tiến. Chỉ có hai phép tịnh tiến. Có rất nhiều phép tịnh tiến. Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Có duy nhất phép tịnh tiến biến a thành a' , b thành b' là\(T_{\overrightarrow{AA'}}.\)
Qua phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) , đường thẳng d biến thành đường thẳng d'. Nếu d trùng d' thì: d song song với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) d không song song với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) d vuông góc với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) Không có trường hợp này xảy ra.
Qua phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) , đường thẳng d biến thành đường thẳng d'. Nếu d // d' thì: d song song với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) d không song song với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) d vuông góc với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) Không có trường hợp này xảy ra.
Qua phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) , đường thẳng d biến thành đường thẳng d'. Nếu d cắt d' thì: d song song với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) d không song song với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) d vuông góc với giá của vecto \(\overrightarrow{u}.\) Không xảy ra trường hợp này. Hướng dẫn giải: Ta đã biết tính chất sau của phép tịnh tiến với vecto tịnh tiến khác 0: Ảnh của một đường thẳng d là đường thẳng d' song song hoặc trùng với d. Vì vậy không xảy ra trường hợp d và d' cắt nhau.
Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Quỹ tích điểm M' sao cho \(\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}\) là : \(\left(O'\right)=T_{\overrightarrow{AB}}\left(\left(O\right)\right)\) \(\left(O'\right)=T_{\overrightarrow{AM}}\left(\left(O\right)\right)\) \(\left(O'\right)=T_{\overrightarrow{BA}}\left(\left(O\right)\right)\) \(\left(O'\right)=T_{\overrightarrow{BM}}\left(\left(O\right)\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}\) , hay M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{AB}}.\) Do M chạy trên đường tròn tâm O nên quỹ tích M' là đường tròn tâm O', là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{AB}}.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với \(\alpha,a,b\) là những số cho trước. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M' (x';y'), trong đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=xcos\alpha-ysin\alpha+a\\y'=xsin\alpha+ycos\alpha+b\end{matrix}\right.\) Cho hai điểm \(M\left(x_1;y_1\right),N\left(x_2;y_2\right)\) và gọi M'; N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép F. Tìm khoảng cách M'N': \(d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\) \(d=\sqrt{\left(x_2+x_1\right)^2+\left(y_2+y_1\right)^2}\) \(d=\sqrt{\left(x_2+x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\) \(d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2+y_1\right)^2}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(d^2=M'N'^2=\left[\left(x_2cos\alpha-y_2sin\alpha+a\right)-\left(x_1cos\alpha-y_1sin\alpha+a\right)\right]^2\) \(+\left[\left(x_2.sin\alpha+y_2cos\alpha+b\right)-\left(x_1.sin\alpha+y_1cos\alpha+b\right)\right]^2\) \(=\left[\left(x_2-x_1\right)cos\alpha-\left(y_2-y_1\right)sin\alpha\right]^2+\left[\left(x_2-x_1\right)sin\alpha-\left(y_2-y_1\right)cos\alpha\right]^2\) \(=\left(x_2-x_1\right)^2cos^2\alpha+\left(y_2-y_1\right)^2.sin^2\alpha+\left(x_2-x_1\right)^2sin^2\alpha+\left(y_2-y_1\right)^2.cos^2\alpha\) \(=\left(x_2-x_1\right)^2\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)+\left(y_2-y_1\right)^2\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)\) \(=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2\) \(\Rightarrow d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của \(\Delta AOF\) qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{AB}.\) \(\Delta ABO\) \(\Delta BCO\) \(\Delta CDO\) \(\Delta DEO\) Hướng dẫn giải: \(T_{\overrightarrow{AB}}\left(A\right)=B;\)\(T_{\overrightarrow{AB}}\left(O\right)=C;\); \(T_{\overrightarrow{AB}}\left(F\right)=O;\) do đó \(T_{\overrightarrow{AB}}\left(AOF\right)=BCO\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\) và điểm \(M\left(-3;2\right)\). Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}\) là điểm có tọa độ nào trong các tọa độ sau đây? (5;3) (1;1) (-1;1) (1;-1) Hướng dẫn giải: Ảnh của điểm M(-3;2) qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\) là điểm có tọa độ x = -3 +2 = -1; y = 2 + (-1)= 1.
Cho đường thẳng d có phương trình \(2x-y+1=0\) . Để phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}\) biến d thành chính nó thì \(\overrightarrow{v}\) phải là vecto nào trong các vecto dưới đây: \(\overrightarrow{v}\left(2;1\right)\) \(\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\) \(\overrightarrow{v}\left(1;2\right)\) \(\overrightarrow{v}\left(-1;2\right)\) Hướng dẫn giải: Để phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}\) biến d thành chính nó thì \(\overrightarrow{v}\) phải có giá song song với d. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{n}\left(1;2\right)\). Vậy \(\overrightarrow{v}\left(1;2\right)\).
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0. Gọi A' và d' là ảnh của A và d qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}\left(2;1\right)\). Tìm tọa độ điểm A'. A' (1;3) A' (3;1) A' (-3;1) A' (-1;3)
