Viết phương trình ảnh của đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2-4x+5y+1=0\) qua phép đối xứng trục Oy: \(x^2+y^2+4x+5y+1=0\) \(x^2+y^2-4x+5y+1=0\) \(x^2+y^2-4x-5y+1=0\) \(x^2+y^2+4x-5y+1=0\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của (C) dưới dạng \(\left(x-2\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{37}{4}\). (C) có tâm \(I\left(2;-\dfrac{5}{2}\right)\) và bán kính \(r=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\). Ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy là một đường tròn (C') tâm I', bán kính \(r=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\), trong đó I' là ảnh của I qua phép đối xứng trục Oy, tức là \(I'\left(-2;-\dfrac{5}{2}\right)\). Vậy (C'): \(\left(x+2\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{37}{4}\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+4x+5y+1=0\).
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép đối xứng qua đường thẳng BE. \(\Delta AOB\) \(\Delta COD\) \(\Delta EOF\) \(\Delta BOC\) Hướng dẫn giải:
Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục vuông gócnhau là phép nào trong các phép sau đây? Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép đối xứng tâm. Phép đồng nhất. Hướng dẫn giải: Ta có: Hợp thành là phép đối xứng tâm với tâm là giao điểm của hai trục đó.
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(2;3). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(Đ_{Oy}\left(M\right)=M'\left(2;-3\right)\) \(Đ_{Oy}\left(M\right)=M'\left(3;2\right)\) \(Đ_{Ox}\left(M\right)=M'\left(2;-3\right)\) \(Đ_{Ox}\left(M\right)=M'\left(3;2\right)\) Hướng dẫn giải: \(Đ_{Oy}\) biến điểm \(M\left(x;y\right)\) thành điểm \(M'\left(-x;y\right)\) \(Đ_{Ox}\)biến điểm \(M\left(x;y\right)\) thành điểm \(M'\left(x;-y\right)\) Do đó nếu \(M\left(2;3\right)\) thì \(Đ_{Oy}\left(M\right)=M'\left(-2;3\right),Đ_{Ox}\left(M\right)=M'\left(2;-3\right)\). Vì vậy khẳng định đúng là \(Đ_{Ox}\left(M\right)=M'\left(2;-3\right)\).
Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là: \(x+2y+3=0\) \(-x+2y+3=0\) \(x+2y-3=0\) \(-x-2y+3=0\) Hướng dẫn giải: M' (x';y') là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng trục Ox : x = x'; y = -y' Vậy thì do x - 2y + 3 = 0 nên x' + 2y' + 3 = 0. Cách trình bày khác: Gọi l là ảnh của d qua phép đối xứng Đ trục Ox. Ta có \(M\left(x;y\right)\in l\Leftrightarrow\exists N\left(x_1;y_1\right)\in d|Đ\left(N\right)=M\) tức là \(\exists x_1;y_1\) sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2y_1+3=0\\x=x_1\\y=-y_1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+2y+3=0\). Vậy ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox là đường thẳng l có phương trình \(x+2y+3=0\).
Cho M(1;2) và đường thẳng d có phương trình: x + y - 2 = 0. Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục d. M' (0;1) M' (1;0) M' (-1;0) M' (0;-1) Hướng dẫn giải: Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua M và vuông góc với d: x - y + 1 = O. Gọi I là giao điểm của \(\Delta\) và d thì \(I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\) Do I là trung điểm MM' nên M' (0;1).
Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng (d): 3x - 2y - 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là: \(3x+2y-1=0\) \(-3x+2y-1=0\) \(3x-2y-1=0\) \(3x+2y+1=0\) Hướng dẫn giải: Mỗi điểm M' (x';y') thuộc d' là ảnh của M(x;y) thuộc d qua phép đối xứng tâm O: x' = - x; y' = - y. Vậy thì - 3x + 2y - 1 = 0. Cách khác: d' phải song song với d nên đáp án đúng chỉ có thể là \(3x-2y-1=0\) hoặc \(-3x+2y-1=0\). d cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y=-\dfrac{1}{2}\) nên d' phải cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y=\dfrac{1}{2}\), vì vậy \(3x-2y-1=0\) sai. Đáp số: \(-3x+2y-1=0\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn tâm I(2;1), bán kính 2. Tìm phương trình ảnh của đường tròn qua phép đối xứng qua gốc tọa độ. \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\) \(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\) \(\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\) \(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\) Hướng dẫn giải: Ảnh của I(2;1) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ là I'(-2;-1) Vậy phương trình đường tròn là: \(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left(\Delta\right):Ax+By+C=0\) và M (a;b). Phép đối xứng tâm ĐM biến đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) thành đường thẳng \(\Delta'\). Viết phương trình đường thẳng này.. \(\left(\Delta'\right):Ax+By+C-2aA-2bB=0\) \(\left(\Delta'\right):Ax-By+C-2aA-2bB=0\) \(\left(\Delta'\right):Ax-By-C-2aA-2bB=0\) \(\left(\Delta'\right):Ax+By-C-2aA-2bB=0\) Hướng dẫn giải: Với mỗi điểm A(x;y) \(\in\left(\Delta\right)\), tổn tại điểm \(\text{A' (x';y') }\in\left(\Delta'\right)\) thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=2a-x\\y'=2b-y\end{matrix}\right.\) Vậy thì do \(Ax+By+C=0\Rightarrow A\left(2a-x'\right)+B\left(2b-y'\right)+C=0\). Hay phương trình của đường thẳng \(\left(\Delta'\right)\) là: \(\left(\Delta'\right):Ax+By-C-2aA-2bB=0\) Cách khác: \(\Delta'\) phải song song với \(\Delta\) nên loại hai đáp án \(\left(\Delta'\right):Ax-By+C-2aA-2bB=0\) , \(\left(\Delta'\right):Ax-By-C-2aA-2bB=0\). \(\Delta',\Delta\) phải cách đều M(a;b) nên loại đáp án \(\Delta':Ax+By+C-2Aa-2Bb=0\) do \(\dfrac{\left|C-Aa-Bb\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\ne\dfrac{\left|Aa+Bb+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\). Đáp số: \(\Delta':Ax+By-C-2Aa-2Bb=0\).
Hợp thành của một phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép sau đây? Phép đối xứng trục. Phép tịnh tiến. Phép đối xứng tâm. Phép đồng nhất. Hướng dẫn giải: Hợp thành là một phép đối xứng tâm.
