Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+1;\left(x\ge0\right)\\2x+1;\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\). Tính \(f'\left(0\right)\) ? \(\dfrac{1}{4}\) \(2\) \(-2\) Không tồn tại Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+1;\left(x\ge0\right)\\2x+1;\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+2x+1\right)=1;\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(2x+1\right)=1\)\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\) nên hàm số liên tục tại \(x=0\). Hơn nữa \(f'\left(0^+\right)=\lim\limits_{t\left(>0\right)\rightarrow0}\dfrac{f\left(0+t\right)-f\left(0\right)}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow0}\dfrac{t^2+2t}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow0}\left(t+2\right)=2\) và \(f'\left(0^-\right)=\lim\limits_{t\left(< 0\right)\rightarrow0}\dfrac{f\left(0+t\right)-f\left(0\right)}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow0}\dfrac{2t}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow0}\left(2\right)=2\), suy ra \(f'\left(0\right)=2\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left(m+3\right)\cos x+\left(m-4\right)\sin x-5x+m\) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có nghiệm ? \(m\in\left(-1;0\right)\) \(m\in\left[0;1\right]\) \(m\in\) ( \(-\infty;-1\)] \(\cup\)(\(0;+\infty\)) \(m\in\) (\(-\infty;0\)] \(\cup\) [1; \(+\infty\)) Hướng dẫn giải: \(y=f\left(x\right)=\left(m+3\right)\cos x+\left(m-4\right)\sin x-5x+m\Rightarrow f'\left(x\right)=-\left(m+3\right)\sin x+\left(m-4\right)\cos x-5\). Vì vậy phương trình \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow-\left(m+3\right)\sin x+\left(m-4\right)\cos x=5\). Phương trình này sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(\left(m+3\right)^2+\left(m-4\right)^2\ge5^2\Leftrightarrow2m^2-2m\ge0\Leftrightarrow m\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=3+\dfrac{5}{x};\left(x>0\right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? \(xy'+y=3\) \(xy'+y=0\) \(xy'+y+3=0\) \(xy'+y-x=3\) Hướng dẫn giải: \(y=3+\dfrac{5}{x}\Rightarrow y'=-\dfrac{5}{x^2}\). Do đó \(xy'+y=x.\left(-\dfrac{5}{x^2}\right)+\left(3+\dfrac{5}{x}\right)=3\).
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1-x}\) . \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}\) \(f'\left(x\right)=\dfrac{-x}{\left(1-x\right)^2}\) \(f'\left(x\right)=\dfrac{-1}{\left(1-x\right)^2}\) \(f'\left(x\right)=\dfrac{2}{\left(1-x\right)^2}\) Hướng dẫn giải: Sử dụng \(\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\).
Xét các mệnh đề sau : (I) : Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=x_0\) thì \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại điểm đó. (II) : Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x=x_0\) thì hàm số đã cho liên tục tại \(x=x_0\). (III) : Nếu hàm số gián đoạn tại \(x=x_0\) thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó. (IV) : Nếu hàm số không có đạo hàm tại \(x=x_0\) thì hàm số không liên tục tại điểm đó. Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: (II) và (III) đúng. Các mệnh đề còn lại sai. Đáp số: 2
Tính đạo hàm của hàm số \(y=3x^4+\sqrt{x}+2x+4\) trên \(\left(0;+\infty\right)\) ? \(y'=12x^4+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2\) \(y'=12x^3+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2\) \(y'=12x^3-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2\) \(y'=12x^3+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=x^4-\left(m-1\right)x^2+m^2\) ( m là tham số ) \(y'=4x^3-\left(m-1\right)x\) \(y'=4x^3-2\left(m-1\right)x+2m\) \(y'=4x^3-2\left(m-1\right)x\) \(y'=4x^3-2\left(m-1\right)\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-1}\) . \(y'=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\) \(y'=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\) \(y'=\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2}\) \(y'=\dfrac{-3}{x-1}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|}{\left(cx+d\right)^2}=\dfrac{ad-bc}{\left(cx+d\right)^2}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=2\left(x^2+x+1\right)^3\) . \(y'=6\left(x^2+x+1\right)\) \(y'=6\left(2x+1\right)\left(x^2+x+1\right)^2\) \(y'=2\left(2x+1\right)\left(x^2+x+1\right)^2\) \(y'=6\left(2x+1\right)\left(x^2+x+1\right)^3\) Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức \(\left(u^3\right)'_x=3u^2.u'_x\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=x\sqrt{x+1}\). Tính \(f'\left(3\right)\) ? \(f'\left(3\right)=\dfrac{11}{4}\) \(f'\left(3\right)=-\dfrac{11}{4}\) \(f'\left(3\right)=\dfrac{7}{4}\) \(f'\left(3\right)=2\) Hướng dẫn giải: Dùng MTCT.
