Hàm số \(y=2\cos x+4x-1\) là đạo hàm của hàm số nào sau đây ? \(f_1\left(x\right)=2\sin x+2x^2\) \(f_2\left(x\right)=2\sin x+2x^2-1\) \(f_3\left(x\right)=2\sin x+2x^2+x\) \(f_4\left(x\right)=2\sin x+2x^2-x-2017\) Hướng dẫn giải: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm ta có \(f'_1\left(x\right)=2\cos x+4\sin x\), \(f'_2\left(x\right)=2\cos x+4x\), \(f'_3\left(x\right)=2\cos x+4x+1\), \(f'_4\left(x\right)=2\cos x+4x-1\). Do đó đáp số là \(f_4\left(x\right)=2\sin x+2x^2-x-2017\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=x^4+\left(1-m^2\right)x^2+2017\) Hãy tìm tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm thực phân biệt . \(\left(-1;1\right)\) \(\left[-1;1\right]\) \((-\infty;-1)\) \(\cup\)\(\left(1;+\infty\right)\) (\(-\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\)) Hướng dẫn giải: Ta có \(f'\left(x\right)=4x^3+2\left(1-m^2\right)x=2x\left(x^2+1-m^2\right)\) Phương trình \(f'\left(x\right)=0\) sẽ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(x^2=m^2-1\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(m^2-1>0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\). Đáp số \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(f\left(x\right)=x^3-2x^2-2\) tại điểm có hoành độ \(x_0=-2\) . \(y=4x-8\) \(y=20x-16\) \(y=20x+22\) \(y=20x-22\) Hướng dẫn giải: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0\) có phương trình là \(y=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\). Ta có \(f\left(x\right)=x^3-2x^2-2\) nên \(f'\left(x\right)=3x^2-4x\) . Với \(x_0=-2\) thì \(f'\left(x_0\right)=20,f\left(x_0\right)=-18\). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=20\left(x+2\right)-18=20x+22\). Đáp số: \(y=20x+22\). Đáp số: \(y=20x+22\)
Cho hai hàm số \(f\left(x\right)=\sin^4x+\cos^4x\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{4}\cos4x\) khẳng định nào sau đây sai ? \(f'\left(x\right)=-\sin4x\) \(2g'\left(x\right)+2\sin4x=0\) \(f'\left(x\right)=g'\left(x\right)\) \(f'\left(x\right)-g'\left(x\right)=2\sin4x\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f\left(x\right)=\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x.\cos^2x\) \(=1-\dfrac{1}{2}\left(\sin2x\right)^2=1-\dfrac{1}{4}\left(1-\cos4x\right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\cos4x=\dfrac{3}{4}+g\left(x\right)\) nên \(f'\left(x\right)=g'\left(x\right)\). Do đó khẳng định \(f'\left(x\right)-g'\left(x\right)=2\sin4x\) sai.
Tìm số gia của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+1\) tại điểm \(x_0=1\) ứng với số gia \(\Delta x=1\) ? \(\Delta y=-1\) \(\Delta y=-2\) \(\Delta y=1\) \(\Delta y=3\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức tính số gia \(\Delta_y=f\left(x_0+\Delta_x\right)-f\left(x_0\right)\) với \(x_0=1,\Delta_x=1\) ta có \(\Delta_y=f\left(2\right)-f\left(1\right)=5-2=3\)
Cho 4 hàm số có đồ thị cho bởi các hình vẽ sau : Hỏi có bao nhiêu hàm số có đạo hàm trên \(\left(0;+\infty\right)\) ? 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: Tính từ trái qua phải: - Đồ thị thứ nhất là một đường gấp khúc liền nét nên hàm số đã cho liên tục trên toàn trục số nhưng không có đạo hàm tại những "điểm gãy", hàm số không có đạo hàm tại và \(x=2\in\left(0;+\infty\right)\) (tại những điểm này, hàm số có đạo hàm trái, đạo hàm phải nhưng các đạo hàm này không bằng nhau). - Đồ thị thứ hai là một đường gấp khúc "đứt" tại điểm có hoành độ \(x=2\in\left(0;+\infty\right)\), hàm số không liên tục và không có đạo hàm tại điểm này. - Đồ thị thứ ba và thứ tư là đường thẳng và parabol, hàm số đã cho là hàm bậc nhất/ bậc hai, chungs có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và do đó cũng có đạo hàm trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\). Đáp số: 2
