Cho \(x,y\) là hai số thực thay đổi luôn thỏa mãn \(2x+3y=7\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2x^2+3y^2\). \(\frac{43}{5}\) \(\frac{46}{5}\) \(\frac{49}{5}\) \(\frac{51}{5}\) Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức Svac ta có \(\left(2x+3y\right)^2=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left(2+3\right)\left(2x^2+3y^2\right)\) hay \(7^2\le5A\Leftrightarrow A\ge\dfrac{49}{5}\) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=7\\\dfrac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\dfrac{7}{5}\) . Đáp số: \(\dfrac{49}{5}\)
Nếu a>b và c>d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? \(ac>bd\) \(a-c>b-d\) \(a-d>b-c\) \(-ac>-bd\) Hướng dẫn giải: Vì \(c>d\) nên \(-d>-c\). Theo giả thiết lại có \(a>b\). Cộng theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta được \(a-d>b-c\). Đáp số: \(a-d>b-c\).
Cho a,b,c là 3 số bất kì thỏa mãn điều kiện a>b. Bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? \(ac>bc\) \(a^2< b^2\) \(a+c>b+c\) \(c-a>c-b\) Hướng dẫn giải: Cộng c vào hai vế bất đẳng thức giả thiết \(a>b\) ta được \(a+c>b+c\).
Nếu \(a>b\) và \(c>d\) thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}.\) \(a-c>b-d\) . \(ac>bd\) . \(a+c>b+d\). Hướng dẫn giải: Áp dụng tính chất cộng theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta được \(a+c>b+d\) luôn đúng.
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a? \(6a>3a\). \(3a>6a\). \(6-3a>3-6a\). \(6+a>3+a\). Hướng dẫn giải: Cộng a vào hai vế bất đẳng thức đúng \(6>3\) ta được \(6+a>3+a\) .
Nếu \(a,b,c\) là 3 số bất kì và \(a< b\) thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? \(3a+2c< 3b+2c\) . \(a^2< b^2\) . \(ac>bc\) . \(ac< bc\). Hướng dẫn giải: Nhân 2 vế bất đẳng thức đúng \(a< b\) (giả thiết) với 3 (> 0) ta được \(3a< 3b\). Cộng vào 2 vế bất đẳng thức nhận được với 2c ta được \(3a+2c< 3b+2c\) .
Nếu \(a>b>0\) và \(c>d>0\) thì bất đẳng thức nào sau đây sai? \(ac>bc\). \(a-c>b-d\). \(a^2>b^2\). \(ac>bd\). Hướng dẫn giải: Có \(5>1\) và \(4>3\) nhưng \(5-3< 4-1\) nên \(a-c>b-d\) sai.
Nếu \(a>b>0,c>d>0\) thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? \(a+c>b+d\). \(ac>bd\). \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\). \(\dfrac{a}{b}>\dfrac{d}{c}\). Hướng dẫn giải: Với \(a=2,b=1,c=9,d=1\) thì \(a>b>0,c>d>0\) nhưng \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{2}{9}< \dfrac{1}{1}=\dfrac{b}{d}\) nghĩa là \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\) sai.
Nếu \(2a>2b\) và \(-3b< -3c\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? \(a< c\) . \(a>c\). \(-3a>-3c\). \(a^2>c^2\). Hướng dẫn giải: Từ giả thiết \(2a>2b\) và \(-3b< -3c\) suy ra \(a>b\) và \(b>c\) suy ra \(a>c\) đúng.
Nếu \(a+2c>b+2c\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? \(-3a>-3b\). \(a^2>b^2\). \(2a>2b\). \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\). Hướng dẫn giải: Từ giả thiết \(a+2c>b+2c\) suy ra \(a>b\), do đó \(2a>2b\) đúng.
