Cho hai số thực a, b sao cho \(a>b\). Bất đẳng thức nào sau đây không đúng? \(a^4>b^4\). \(-2a+1< -2b+1\). \(b-a< 0\). \(a-2>b-2\). Hướng dẫn giải: Nếu \(a=1,b=-2\)thì \(a>b\)và \(a^4>b^4\)không đúng.
Nếu \(0< a< 1\)thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? \(\dfrac{1}{a}>\sqrt{a}\). \(a>\dfrac{1}{a}\). \(a>\sqrt{a}\). \(a^3>a^2\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\left(\sqrt{a}\right)^3-1=\dfrac{\left(a-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}< 0\) do giả thiết \(0< a< 1\). Do đó \(a\sqrt{a}< 1\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\sqrt{a}\). Vậy \(\dfrac{1}{a}>\sqrt{a}\) đúng.
Nếu \(a+b< a\) và \(b-a>b\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? \(ab>0\) \(b< a\) \(a< b< 0\) \(a>0\) và \(b< 0\). Hướng dẫn giải: Từ giả thiết \(a+b< a\) và \(b-a>b\) suy ra \(b< 0,a< 0\), do đó \(ab>0\).
Cho 4 số thực \(a,b,c,d\) trong đó \(ac\ne0\). Nghiệm của phương trình \(ax+b=0\) nhỏ hơn nghiệm của phương trình \(cx+d=0\) khi và chỉ khi \(\dfrac{b}{a}< \dfrac{c}{d}\). \(\dfrac{b}{a}>\dfrac{c}{d}\). \(\dfrac{b}{d}>\dfrac{a}{c}\). \(\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}\). Hướng dẫn giải: Có \(ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}\) và \(cx+d=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{d}{c}\). Do đó: Nghiệm của phương trình \(ax+b=0\) lớn nhỏ nghiệm của phương trình \(cx+d=0\) nghĩa là \(-\dfrac{b}{a}< -\dfrac{d}{c}\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}\).
a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng? \(a^2< ab+ac\). \(ab+bc>b^2\). \(b^2+c^2< a^2+2bc\). \(b^2+c^2>a^2+2bc\). Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức tam giác ta có \(\left|b-c\right|< a\Rightarrow\left(b-c\right)^2< a^2\Rightarrow b^2+c^2< a^2+2bc\) nên mệnh đề \(b^2+c^2>a^2+2bc\) là mệnh đề sai.
Sắp xếp ba số \(a=\sqrt{6}+\sqrt{13};b=\sqrt{19};c=\sqrt{3}+\sqrt{16}\) theo thứ tự từ bé đến lớn. b, c, a c, b, a. b, a, c. a, c, b. Hướng dẫn giải: Ta có \(b=\sqrt{19}< \sqrt{25}=5=1+4< \sqrt{3}+\sqrt{16}=c\)\(\Rightarrow b< c\), do đó đáp số đúng chỉ có thể là b, c, a hoặc b, a, c. Tuy nhiên \(a=\sqrt{6}+\sqrt{13}>\sqrt{4}+\sqrt{9}=5>b\) nên b, a, c là đáp số sai. Đáp số đúng là b, c, a ( \(b< c< a\) )
Xét hàm số \(f\left(x\right)=x-x^2\). Kết luận nào sau dây đúng? Hàm số có GTNN = 0,25 Hàm số có GTLN = 0,5 Hàm số có GTNN = -0,25 Hàm số có GTLN = 0,25 Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=-\left(x^2-x\right)=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4},\forall x\) GTLN = 0,25 đạt khi \(x=\dfrac{1}{2}\).
Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong 4 số sau đây: \(a=3+\sqrt{2},b=\sqrt{15},c=2+\sqrt{3},d=4\) số nhỏ nhất là b, số lớn nhất là c số nhỏ nhất là c, số lớn nhất là d số nhỏ nhất là b, số lớn nhất là a số nhỏ nhất là c, số lớn nhất là a Hướng dẫn giải: Có \(a=3+\sqrt{2}>3+\sqrt{1}=4=d\) và \(c^2=\left(2+\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}< 7+4\sqrt{4}=15=b^2< 16=d^2\) suy ra \(c< b< d< a\), do đó số nhỏ nhất là c, số lớn nhất là a.
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? GTNN = 0, GTLN =1 Không có GTNN, GTLN =1 GTNN = 1, GTLN =2 Không có GTNN, GTLN Hướng dẫn giải: Có \(\sqrt{x^2+1}\ge1,\forall x\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\le1,\forall x\) và \(f\left(0\right)=1\) nên GTLN =1. Vì vậy các mệnh đề: - " GTNN = 1, GTLN =2" - "Không có GTNN, GTLN " đều sai. Hơn nữa, nếu xét phương trình \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}=0\) thì phương trình này vô nghiệm nên mệnh đề "GTNN = 0, GTLN =1" cũng sai. Mệnh đề đúng phải là "Không có GTNN, GTLN =1".
Với giá trị nào của a thì hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=2a-1\end{matrix}\right.\) có nghiệm (x,y) với \(xy\) lớn nhắt? \(a=\dfrac{1}{4}\) \(a=\dfrac{1}{2}\) \(a=-\dfrac{1}{2}\) \(a=1\) Hướng dẫn giải: Cộng hai phương trình ta được \(2x=2a\), từ đó hệ có nghiệm duy nhất \(x=a,y=1-a\). Tích \(xy=a\left(1-a\right)=-\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4},\forall a\) Tích ớn nhất khi và chỉ khi \(a=\dfrac{1}{2}\).
