Cho hai số a, b có tổng bằng 3. Khi đó tích ab Có GTNN là 9/4 Có GTLN là 9/4 Có GTLN là 3/2 Không có GTLN Hướng dẫn giải: Do \(a+b=3\) nên \(b=3-a\) và \(ab=a\left(3-a\right)=-\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4},\forall a\). Tích ab có GTLN là 9/4.
Cho \(x,y\)là hai số thực thay đổi luôn có tổng bằng 2. Khi đó \(x^2+y^2\) có GTN N là 2 có GTNN là 4 có GTLN là 2 có GTLN là 4 Hướng dẫn giải: Do \(x+y=2\) suy ra \(4=x^2+y^2+2xy\le x^2+y^2+x^2+y^2\) nên \(x^2+y^2\ge2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\). Do đó \(x^2+y^2\) có GTNN là 2.
Cho \(x\) là một số lớn hơn 2. Trong các số \(\dfrac{2}{x},\dfrac{2}{x+1},\dfrac{2}{x-1},\dfrac{x+1}{2},\dfrac{x}{2}\), số nào nhỏ nhất? \(\dfrac{2}{x}\) \(\dfrac{2}{x+1}\) \(\dfrac{2}{x-1}\) \(\dfrac{x}{2}\) Hướng dẫn giải: Do \(x+1>x>x-1>0,\forall x>2\Rightarrow\dfrac{2}{x+1}< \dfrac{2}{x}< \dfrac{2}{x-1}\) và \(\dfrac{x+1}{2}>\dfrac{x}{2}\). Hơn nữa, với \(x>2\) thì \(x+1>3\Rightarrow\dfrac{2}{x+1}< \dfrac{2}{3};\dfrac{x}{2}>\dfrac{2}{2}=1\) nên \(\dfrac{x+1}{2}>\dfrac{x}{2}>\dfrac{2}{2}>\dfrac{2}{3}>\dfrac{2}{x+1}\) và \(\dfrac{2}{x-1}>\dfrac{2}{x}>\dfrac{2}{x+1}\) Vì vậy GTNN là \(\dfrac{2}{x+1}\).
Biểu thức \(f\left(x\right)=x^2+3x\)có GTNN là \(-\dfrac{3}{2}\) \(-\dfrac{9}{4}\) \(-\dfrac{27}{4}\) \(-\dfrac{81}{8}\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\). GTNN = \(-\dfrac{9}{4}\).
Biểu thức \(f\left(x\right)=x^2+3\left|x\right|\)có GTNN là \(-\dfrac{3}{2}\) \(-\dfrac{9}{4}\) 0 \(-\dfrac{3}{2}\) Hướng dẫn giải: Do \(x^2\ge0,\left|x\right|\ge0,\forall x\) nên \(f\left(x\right)\ge0,\forall x\), do đó GTNN = 0.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2-6\left|x\right|\) là -9 - 6 0 3 Hướng dẫn giải: Sử dụng \(x^2-6\left|x\right|=\left(\left|x\right|-3\right)^2-9\)
Cho \(f\left(x\right)=-x+\sqrt{x},x\ge0\). Mệnh đề nào sau đây đúng? GTLN là 1/4 GTNN là 1/4 GTLN là 1/2 GTNN đạt khi \(x=\dfrac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Viết \(f\left(x\right)=-x+\sqrt{x}=-\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)
Hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{2}{x^2-5x+9}\) có GTLN bằng 11/4 4/11 11/8 8/11 Hướng dẫn giải: Có \(x^2-5x+9=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4},\forall x\)
Cho \(f\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^2+1}\), khẳng định nào sau đây đúng? \(f\left(x\right)>-1,\forall x\) \(f\left(x\right)>1,\forall x\) \(f\left(x\right)< -1,\forall x\) \(f\left(x\right)\le1,\forall x\) Hướng dẫn giải: Có \(f\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^2+1}\le\dfrac{2\left|x\right|}{\left|x\right|^2+1}\le\dfrac{\left|x\right|^2+1}{\left|x\right|^2+1}=1\)
Mệnh đề nào sau đây đúng? \(\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}\ge2,\forall x\) \(\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}>2,\forall x\) \(\dfrac{x^2.5}{\sqrt{x^2+4}}\ge2,\forall x\) \(\dfrac{x^2.5}{\sqrt{x^2+4}}\le2,\forall x\) Hướng dẫn giải: \(\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x^2+4+1}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\ge2,\forall x\)
