Cho bất phương trình \(\frac{x-2a-3}{x-a+2}< 0\). Tất cả những giá trị của tham số a để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x\in\left[1;2\right]\) . \(\frac{1}{2}< a< 2\) \(-\frac{1}{2}< a< 3\) \(1< a< \frac{3}{2}\) \(2< a< \frac{5}{2}\) Hướng dẫn giải:
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \(\frac{x-5}{\left(x+7\right)\left(x-2\right)}>0\) là \(x=-3\) \(x=-4\) \(x=-5\) \(x=-6\) Hướng dẫn giải:
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình \(x^4-4x^3-x+4< 0\) . \(x=2\) và \(x=3\) \(x=1\) và \(x=4\) \(x=-2\) và \(x=-3\) \(x=-1\) và \(x=-4\) Hướng dẫn giải: \(x^4-4x^3-x+4< 0\Leftrightarrow x^3\left(x-4\right)-\left(x-4\right)< 0\) \(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^3-1\right)< 0\) \(\Leftrightarrow1< x< 4\) => Các nghiệm nguyên cần tìm là x = 2 và x = 3
Giải bất phương trình \(\begin{cases}\frac{4x+3}{2x-5}< 6\\\frac{x-1}{x+3}>2\end{cases}\) \(-3< x< \frac{5}{2}\) \(\frac{5}{2}< x< \frac{33}{8}\) \(-7< x< -3\) \(-3< x< \frac{33}{8}\) Hướng dẫn giải:
Cho bất phương trình \(\frac{x+4}{x^2-9}-\frac{2}{x+3}< \frac{4}{3x-x^2}\) Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là : x = 2 x = 1 x = -2 x = -1 Hướng dẫn giải: => Số nguyên lớn nhất là nghiệm của bất phương trình x = 2
Tìm các giá trị của tham số a để phương trình \(\cos x=\frac{a-15}{2-\frac{a}{2}}\) có nghiệm. \(\frac{34}{3}\le a\le26\) \(4\le a\le\frac{34}{3}\) \(4\le a\le24\) \(4\le a\le26\) Hướng dẫn giải: Vế phải phương trình đã cho là \(\dfrac{2a-30}{4-a}\). Phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(\left|\dfrac{2a-30}{4-a}\right|\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne4\\\left|2a-30\right|\le\left|4-a\right|\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne4\\\left(2a-30\right)^2\le\left(a-4\right)^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne4\\3a^2-112a+884\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{34}{3}\le a\le26\)
Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình \(\begin{cases}\frac{x+1}{x-2}\le0\\4x+1\le m\end{cases}\) có nghiệm duy nhất. m = -3 m = - 5 m = -7 m = -9 Hãy chọn kết luận đúng ? Hướng dẫn giải: Bất phương trình thứ nhất có nghiệm là \(-1\le x< 2\) , bất phương trình thứ hai có nghiệm là \(x\le\dfrac{m-1}{4}\) . Hệ sẽ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{m-1}{4}=-1\Leftrightarrow m=-3\)
Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình \({}\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+4}{x-1}\ge0\\3x-1\ge1+x\\\dfrac{\left(x+2\right)\left(2x-4\right)}{x-1}\le0\end{matrix}\right.\) [-4;-2) (-2;1) (1;2] (2;4] Hướng dẫn giải Xét tâm các khoảng nghiệm cho trong 4 phương án trả lời: -3 ; -0,5 ; 1,5 ; 3. Ta thấy: + \(x=-3\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ nên đáp số \([-4;-2\) ) là sai. + \(x=-0,5\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ nên đáp số (-2 ; 1) cũng sai. + \(x=3\) không thỏa mãn bất phương trình thứ ba nên đáp số (2; 4] sai. Vậy đáp án (1; 2] là đúng. Có thể tìm tập nghiệm của hệ đã cho như sau (trong phòng thi, học sinh khong phải làm): Giải lần lượt từng bất phương trình của hệ ta có: + \(\dfrac{x+4}{x-1}\ge0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\\left(x+4\right)\left(x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\infty< x\le-4;1< x< +\infty\). + \(3x-1\ge1+x\Leftrightarrow2x\ge2\Leftrightarrow1\le x< +\infty\) + \(\dfrac{\left(x+2\right)\left(2x-4\right)}{x-1}\le0\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\\left(x+2\right)\left(2x-4\right)\left(x-1\right)\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-\infty< x\le-2;1< x\le2\) Nghiệm chung của ba bất phương trình là \(1< x\le2\). Tập nghiệm của hệ là (1;2].
Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình \(\left(x+2a+5\right)\left(x+a+3\right)\le0\) được nghiệm đúng với mọi \(x\in[1;2]\). \(0\le a\le1\) \(-4\le a\le-3,5\) \(-3,5\le a\le-2\) \(-2\le a\le-1\) Hướng dẫn giải: Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=\left(x+2a+5\right)\left(x+a+3\right)\) có hệ số bậc hai là \(1>0\) nên nếu tập nghiệm của bất phương trình đã cho không rỗng thì tập nghiệm có dạng \([x_1;x_2]\). Bất phương trình đã cho sẽ được nghiệm đúng với mọi \(x\in[1;2]\) chỉ khi đoạn \([x_1;x_2]\) chứa hết đoạn \([1;2]\) hay đoạn \([x_1;x_2]\) chứa cả hai đầu mút của đoạn, tức là \(x=1\) và \(x=2\) phải là hai nghiệm của bất phương trình. Vậy phải có \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)\le0\\f\left(2\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2a+6\right)\left(a+4\right)\le0\\\left(2a+7\right)\left(a+5\right)< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}-4\le a\le-3\\-5\le a\le-3,5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-4\le a\le-3,5\).
Bất phương trình : \(\left|\frac{x^2-3x+1}{x^2+x+1}\right|< 3\) có nghiệm là : \(\left[\begin{matrix}x< \frac{3-\sqrt{5}}{2}\\x>\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\left[\begin{matrix}x< \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\\x>\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\left[\begin{matrix}x< \frac{5-\sqrt{3}}{2}\\x>\frac{5+\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\left[\begin{matrix}x< \frac{-5-\sqrt{3}}{2}\\x>\frac{-5+\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải:
