Giải bất phương trình \(\left|\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}\right|\ge1\) \(x\le0;\dfrac{8}{5}\le x\le\dfrac{5}{2};x\ne2\) \(x\le\dfrac{8}{5};2\le x\le\dfrac{5}{2}\) \(x< -2;0\le x\le\dfrac{8}{5}\) \(-2< x\le0;x\ge\dfrac{5}{2}\) Hướng dẫn giải: Xét \(f\left(x\right)=\left|\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-2}\right|\). Bất phương trình đã cho có dạng \(f\left(x\right)\ge1\) . - Hàm số \(f\left(x\right)\) không xác định tại \(x=\pm2\) nên \(x=2\) không là nghiệm của bất phương trình, vì vậy đáp số \(x\le\dfrac{8}{5};2\le x\le\dfrac{5}{2}\) và đáp số \(-2< x\le0;x\ge\dfrac{5}{2}\) không thể là đáp số đúng vì có chứa \(x=2\). - Hàm số \(f\left(x\right)\) bị triệt tiêu khi \(x=1;x=4\), suy ra \(f\left(1\right)=f\left(4\right)=0\), do đó \(x=1;x=4\) không phải là nghiệm bất phương trình và đáp số \(x< -2;0\le x\le\dfrac{8}{5}\) sai (chứa \(x=1\) không phải là nghiệm). Đáp án đúng phải là \(x\le0;\dfrac{8}{5}\le x\le\dfrac{5}{2};x\ne2\) .
Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\left|x^2-4x\right|< 5\\\left|x+1\right|< 2\end{matrix}\right.\) \(-4< x< -1\) \(-1< x< 1\) \(1< x< 2\) \(2< x< 5\) Hướng dẫn giải: \(\left\{\begin{matrix}\left|x^2-4x\right|< 5\\\left|x+1\right|< 2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-5< x^2-4x< 5\\\left[\begin{matrix}x+1>3\\x+1< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-1< x< 5\\x>2Vx< -4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2< x< 5\) Cách khác: Xét \(f\left(x\right)=\left|x^2-4x\right|,g\left(x\right)=\left|x+1\right|\) . Hệ đã cho có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)< 5\\g\left(x\right)>2\end{matrix}\right.\) . - Xét \(x=-\dfrac{5}{2}\) (tâm khoảng \(-4< x< -1\) ) ta thấy \(g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{3}{2}< 2\) suy ra \(x=-\dfrac{5}{2}\) không là nghiệm của hệ. Vì vậy đáp số \(-4< x< -1\) là sai (thừa nghiệm \(x=-\dfrac{5}{2}\)). - Xét \(x=0\) (tâm khoảng (-1; 1). Ta thấy \(f\left(0\right)=0,g\left(0\right)=1\) nên \(x=0\) là một nghiệm của hệ, vì vậy đáp số 1 < x < 2 sai vì thiếu nghiệm \(x=0\). - Xét \(x=\dfrac{3}{2}\) (tâm khoảng 1<x<2 ) có \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{15}{4}< 5\) và \(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=2,5>2\) . Suy ra \(x=\dfrac{3}{2}\) là một nghiệm của hệ, do đó -1 <x < 1 là đáp số sai (tthiếu nghiệm \(x=\dfrac{3}{2}\)). Vậy đáp số đúng là 2 < x < 5.
Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\left|x^2+5x\right|>6\\\left|x+1\right|< 2\end{matrix}\right.\) . \(-6< x< -3\) \(-3< x< -2\) \(-2< x< -1\) \(-1< x< 0\) Hướng dẫn giải: Trong mỗi đáp số (đều là một khoảng hữu hạn), kiểm tra xem tâm của khoảng nghiệm đó có là nghiệm của hệ đã cho hay không. Đặt \(f\left(x\right)=\left|x^2+5x\right|-6,g\left(x\right)=\left|x+1\right|-2\)thì hệ đã cho có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)>0\\g\left(x\right)< 0\end{matrix}\right.\) . Mỗi đáp số đều là một khoảng, ta hãy xét xem tâm các khoảng nghiệm đó có là nghiệm của hệ đã cho hay không. - Với đáp số \(-6< x< -3\) là một khoảng với tâm \(x=\dfrac{-6-3}{2}=-4,5\) , bằng MTCT ta có \(f\left(-4.5\right)=-\dfrac{15}{4}< 0\), suy ra \(x=-4,5\) không là nghiệm của hệ. Vì vậy đáp số \(-6< x< -3\) là sai (vì thừa nghiệm \(x=-4,5\) ). - Với đáp số \(-3< x< -2\) thì tâm khoảng này là \(x=-\dfrac{5}{2}\) , nó cũng là một nghiệm của hệ (do \(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{4}>0\) và \(g\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}< 0\) ), do đó đáp số \(-2< x< -1\) và đáp số \(-1< x< 0\) đều sai vì thiếu nghiệm \(x=-\dfrac{3}{2}\) . Do đó đáp số đúng phải là \(-3< x< -2\).
Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\frac{16-4x}{x^2-x-12}< 4\\\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-1}>\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\) . \(\left(-\sqrt{2},0\right)\cup\left(1,\sqrt{2}\right)\cup\left(2,4\right)\) \(\left(-4,-3\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(\sqrt{2},2\right)\) \(\left(-3,-\sqrt{2}\right)\cup\left(4,+\infty\right)\) \(\left(-4,-\sqrt{2}\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Các đáp số \(\left(-4,-3\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(\sqrt{2},2\right)\) , \(\left(-3,-\sqrt{2}\right)\cup\left(4,+\infty\right)\) , \(\left(-4,-\sqrt{2}\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) đều sai vì thiếu nghiệm \(x=3\). Vậy đáp số đúng là \(\left(-\sqrt{2},0\right)\cup\left(1,\sqrt{2}\right)\cup\left(2,4\right)\). Chú ý: có thể tìm tập nghiệm của hệ đã cho như sau (học sinh không cần làm điều này): Viết lại hệ bất phương trình đã cho dưới dạng \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{64-4x^2}{x^2-x-12}< 0\\\dfrac{x^2-2}{x\left(x^2-3x+2\right)}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(64-4x^2\right)\left(x^2-x-12\right)< 0\\\left(x^2-2\right)x\left(x^2-3x+2\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left(-\infty;-4\right)\cup\left(-3;4\right)\\x\in\left(-\sqrt{2};0\right)\cup\left(1;\sqrt{2}\right)\cup\left(2;+\infty\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x\in\left(-\sqrt{2};0\right)\cup\left(1;\sqrt{2}\right)\cup\left(2;4\right)\)
Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3x}< 1\\x+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{3x}\\4x^2-5x+1< 0\end{matrix}\right.\) . \(-2\le x< 0\) \(\frac{1}{4}< x< \frac{1}{3}\) \(\frac{1}{3}< x\le\frac{2}{3}\) \(\frac{2}{3}\le x< 1\) Hướng dẫn giải: - Đáp số \(-2\le x< 0\) sai vì \(x=-1\) không thỏa mãn bất phương trình thứ ba của hệ. - Đáp số \(\frac{1}{4}< x< \frac{1}{3}\) sai vì \(x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{7}{24}\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ. - Đáp số \(\frac{1}{3}< x\le\frac{2}{3}\) cũng sai vì \(x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) không thoả mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy chỉ còn đáp số \(\frac{2}{3}\le x< 1\) là đúng. Chú ý: Có thể tìm tập nghiệm của hệ như sau (học sinh không cần làm điều này trong phòng thi): Quy đồng mẫu số, hệ bất phương trình đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-3x}{3x}< 0\\\dfrac{3x^2+4x-4}{3x}\ge0\\4x^2-5x+1< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(1-3x\right)3x< 0\\3x\left(3x^2+4x-4\right)\ge0\\4x^2-5x+1< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)\\-2\le x< 0;\dfrac{2}{3}\le x< +\infty\\\dfrac{1}{4}< x< 1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\le x< 1\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5\le0\\x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm. \(0\le a\le2\) \(0\le a\le4\) \(2\le a\le4\) \(0\le a\le8\) Hướng dẫn giải: Ta thấy trong 4 phương án trả lời, đáp số \(0\le a\le8\) "lớn nhất", chọn \(a=5\) thuộc đáp số này mà không thuộc các đáp số còn lại để thử thì thấy: khi \(a=5\) hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5\le0\\x^2-12x+26\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left[1;5\right]\\x\in\left[6-\sqrt{10};6+\sqrt{10}\right]\end{matrix}\right.\) , rõ ràng \(x=5\) là một nghiệm của hệ, Vì vậy các đáp số \(0\le a\le2\) ; \(0\le a\le4\) ; \(2\le a\le4\) đều sai vì đều "thiếu" giá trị \(a=5\) làm hệ đã cho có nghiệm. Vậy đáp số đúng phải là \(0\le a\le8\). Chú ý: có thể tìm đáp số đúng của bài toán như sau (học sinh không cần làm thế này trong phòng thi): Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là \(N_1\left[1;5\right]\). Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\) có biệt số \(\Delta'=2a\). Nếu \(\Delta'< 0\) thì \(f\left(x\right)>,\forall x\), bất phương trình thứ hai vô nghiệm, hệ cũng vô nghiệm. Nếu \(\Delta'\ge0\) (hay \(a\ge0\)) thì bất \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm \(x_1=\left(a+1\right)-\sqrt{2a};x_2=\left(a+1\right)+\sqrt{2a}\), bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là \(N_2=\left[x_1;x_2\right]\). Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn \(\left[1;5\right]\) nằm hoàn toàn ngoài đoạn \(\left[x_1;x_2\right]\) , điều này chỉ xảy ra khi \(x_1>5\) hoặc \(x_2< 1\). Tuy nhiên, với \(a\ge0\) thì \(x_2=a+1+\sqrt{2a}\ge1\) nên hệ chỉ vô nghiệm khi \(x_1>5\Leftrightarrow a+1-\sqrt{2a}>5\Leftrightarrow a-4>\sqrt{2a}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a-4>0\\a^2-8a+16>2a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a>4\\a^2-10a+16>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a>8\). Tổng hợp các kết quả, ta thấy hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(a< 0\) hoặc \(a>8\). Vì thế, các giá trị của a làm cho hệ có nghiệm là \(0\le a\le8\).
Tìm các giá trị của a để hệ bất phương trình sau vô nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+7x-8\le0\\a^2x+1>3+\left(3a-2\right)x\end{matrix}\right.\) \(a< 0\) hay \(a>2\) \(0< a< 1\) \(1< a< 2\) \(0\le a\le3\) Hướng dẫn giải: Hệ đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}-8\le x\le1\\\left(a^2-3a+2\right)x-2>0\end{matrix}\right.\) . Khi \(a=0\), bất phương trình thứ hai của hệ là \(2x-2>0\Leftrightarrow x>1\) hệ đã cho vô nghiệm. Các đáp số: + \(a< 0\) hay \(a>2\) sai + \(0< a< 1\) + \(1< a< 2\) đều sai vì sót giá trị \(a=0\) . Đáp số đúng phải là \(0\le a\le3\) . Chú ý: có thể kiểm tra được khẳng định \(0\le a\le3\) là đáp số đúng như sau (tuy nhiên, trong phòng thi học sinh không phải làm điều này): Hệ \(\left\{{}\begin{matrix}-8\le x\le1\\\left(a^2-3a+2\right)x-2>0\end{matrix}\right.\) sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)=\left(a^2-3a+2\right)x-2\) với \(x\in[-8;1]\) phải nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Mà đồ thị đó là đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left(-8;f\left(-8\right)\right)\) và \(B\left(1;f\left(1\right)\right)\) nên để đoạn AB nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì điều kiện cần và đủ là A, B nằm phía dưới Ox, tức là \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-8\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-3a+2\right).\left(-8\right)-2\le0\\\left(a^2-3a+2\right).1-2\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a^2-12a+7\ge0\\a^2-3a\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le a\le3\).
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2+2x-15\le0\\\left(m+1\right)x\ge3\end{matrix}\right.\) có nghiệm. \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\) \(m\in R\backslash\left(0;\frac{8}{5}\right)\) \(m\in R\backslash\left(0;\frac{9}{5}\right)\) \(m\in R\backslash\left(-\frac{9}{5},0\right)\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là đoạn \([-5;3]\) . Nếu \(m=-1\) thì bất phương trình thứ hai của hệ là \(0x\ge3\) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Nếu \(m\ne-1\) thì bất phương trình thứ hai của hệ đã cho là một bất phương trình bậc nhất, có tập nghiệm là một nửa khoảng. Hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn \([-5;3]\) không có điểm chung với nửa khoảng đó, điều này tương đương với hai đầu mút của đoạn \([-5;3]\) không phải là nghiệm của bất phương trình thứ hai, tức là \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right).\left(-5\right)< 3\\\left(m+1\right).3< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{5}< m< 0\)\(\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\) (bỏ đi \(m=-1\) ) Tổng hợp cả hai trường hợp, ta thấy hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\); hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\). Đáp số: \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\). Cách 2: Hệ đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-5;3]\\f\left(x\right)=\left(m+1\right)x-3\ge0\end{matrix}\right.\) . Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(x\right)< 0,\) \(\forall x\in[-5;3]\) , tức là đoạn thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-5;3]\\y=f\left(x\right)=\left(m+1\right)x-3\end{matrix}\right.\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi cả hai đầu mút của đoạn là \(A\left(-5;-5m-8\right)\) và \(B\left(3;3m\right)\) nằm phía dưới Ox . Vậy hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}-5m-8< 0\\3m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{5}< m< 0\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\). Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\) . Đây chính là đáp số của bài toán.
Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \(-3\le\frac{x^2+mx-2}{x^2-x+1}\le2\) đúng với mọi x. \(m\in\left[-1;2\right]\) \(m\in\left[-2;1\right]\) \(m\in\left[1;2\right]\) \(m\in\left[-2;-1\right]\) Hướng dẫn giải: Bất phương trình đã cho tương đương với \(-3\left(x^2-x+1\right)\le x^2+mx-2\le2\left(x^2-x+1\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^2+\left(m-3\right)x+1\ge0\\x^2-\left(m+2\right)x+4\ge0\end{matrix}\right.\) Bất phương trình đã cho sẽ đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)^2-16\le0\\\left(m+2\right)^2-16\le\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4\le m-3\le4\\-4\le m+2\le4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le m\le7\\-6\le m\le2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-1\le m\le2\Leftrightarrow m\in[-1;2]\) Đáp số: \(m\in\left[-1;2\right]\)
Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\left|\frac{x^2+mx+1}{x^2+1}\right|< 2\) đúng với mọi \(x\). \(m\in\left(-6;-2\right)\) \(m\in\left(-2;2\right)\) \(m\in\left(2;6\right)\) \(m\in\left(-6;6\right)\) Hướng dẫn giải: Xét các hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+3x+1}{x^2+1}\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{x^2-3x+1}{x^2+1}\) . Sử dụng MTCT ta tính được ngay \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=g\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{31}{13}\) \(\Rightarrow\left|f\left(\dfrac{3}{2}\right)\right|=\left|g\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right|=\dfrac{31}{13}>2\) . Do đó khi m = 3 thì bất phương trình đã cho không được nghiệm đúng với \(x=\dfrac{3}{2}\), khi m = -3 thì bất phương trình đã cho không được nghiệm đúng với \(x=-\dfrac{3}{2}\) . Vì vậy các đáp số \(m\in\left(-6;-2\right)\), \(m\in\left(2;6\right)\), \(m\in\left(-6;6\right)\) đều sai. Đáp án đúng chỉ có thể là \(m\in\left(-2;2\right)\). Có thể chứng minh tính đúng đắn của đáp số như sau (học sinh không cần phải làm điều này): Ta có \(\left|\frac{x^2+mx+1}{x^2+1}\right|< 2\)\(\Leftrightarrow\)\(-2< \dfrac{x^2+mx+1}{x^2+1}< 2\) \(\Leftrightarrow\) \(-2\left(x^2+1\right)< x^2+mx+1< 2\left(x^2+1\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-mx+1>0\\3x^2+mx+3>0\end{matrix}\right.\). Bất phương trình đã cho sẽ đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi cả hai tam thức bậc hai \(x^2-mx+1\) và \(3x^2+mx+3\) đều luôn luôn dương, tức là phải có \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=m^2-4< 0\\\Delta_2=m^2-36< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m^2< 4\Leftrightarrow-2< m< 2\Leftrightarrow m\in\left(-2;2\right)\). Đáp số: \(m\in\left(-2;2\right)\)
