Tổng hợp bài tập trắc nghiệm rèn luyện tư duy chuyên đề Dấu của tam thức bậc hai

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^2-2x+1-m\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm.
    • \(m>2\)
    • \(m\ge4\)
    • \(m\in\left(0;4\right)\)
    • \(m\in\left(0;2\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Cách 1: Khi m = 4, hệ đã bất phương trình đã cho có nghiệm vì với m = 4 hệ đã cho là:
    \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^2-2x-3\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-9;-1]\\x\in[-1;3]\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=-1\) .
    Do đó các đáp số \(m>2\) hay \(m\in\left(0;4\right)\) hay \(m\in\left(0;2\right)\) đều sai ( thiếu giá trị \(m=4\) ).
    Vậy đáp số đúng là \(m\ge4\) .
    Cách 2: Bất phương trình đầu có tập nghiệm là đoạn [-9;-1]. Viết lại bất phương trình thứ hai dưới dạng \(\left(x-1\right)^2\le m\) . Từ đó:
    - Nếu m <0 thì bất phương trình (*) vô nghiệm, suy ra hệ cũng vô nghiệm.
    - Nếu \(m\ge0\) thì (*)\(\Leftrightarrow\) \(1-\sqrt{m}\le x\le1+\sqrt{m}\) . Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn [-9;-1] có giao bằng rỗng với tập nghiệm của (*), tức là khi
    \(\left[{}\begin{matrix}-1< 1-\sqrt{m}\\1+\sqrt{m}< -9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{m}< 2\Leftrightarrow0\le m< 4\)
    Như vậy, hệ bất phương trình đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(m< 4\). Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge4\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2+5x+4< 0\\x^3+3x^2-9x-10>0\end{matrix}\right.\) .
    • \(\left(-4;-1\right)\)
    • \(\left(-3;-1\right)\)
    • \(\left(-2;-1\right)\)
    • \(\left(-1;1\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Cách 1:Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là khoảng \(\left(-4;-1\right)\). Tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là tập con của khoảng này mà trên đó hàm số \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-10\) nhận giá trị dương. Xét dãy số -3,5 ; -3; -2,5;...; -0,5 (số hạng đầu là -3,5; số hạng cuối là -0,5, bước nhảy 0,5). Tính giá trị \(f\left(x\right)\) tại các điểm này bằng MTCT (MODE 7: TABL) ta được dãy các giá trị tương ứng là 15,375; 17; 15,625; 12; 6,875; 1; -4,875. Để ý dấu các giá trị này ta thấy các số hạng trong dãy trên - trừ ra số hạng cuối cùng đều là nghiệm của hệ. Như vậy các đáp số \(\left(-3;-1\right)\) , \(\left(-2;-1\right)\), \(\left(-1;1\right)\) đều thiếu nghiệm -3,5 nên đều là các đáp số sai. Đáp số đúng phải là \(\left(-4;-1\right)\).
    Cách 2: Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là \(N_1=\left(-4;-1\right)\). Đặt \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-10\) thì bất phương trình thứ hai có dạng \(f\left(x\right)>0\). Sử dụng MTCT ta tìm được 3 nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=0\) viết theo thứ tự tăng là \(x_1=-4,505039725\), \(x_2=-0,9166183574\), \(x_3=2,421658082\). Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là \(N_2=\left(x_1;x_2\right)\cup\left(x_3;+\infty\right)\). Mà \(x_1< -4< -1< x_2\) nên khoảng \(\left(x_1;x_2\right)\) chứa hết \(N_1\), do đó hệ có tập nghiệm \(N=N_1\cap N_2=N_1=\left(-4;-1\right)\).
    Đáp số: \(\left(-4;-1\right)\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\x^2-6x+m\left(6-m\right)\ge0\end{matrix}\right.\) có nghiệm duy nhất.
    • m = 1 hay m = 5
    • m = -1 hay m = - 5
    • m = 2 hay m = 4
    • m = -2 hay m = -4
    Hướng dẫn giải:

    Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm \(N_1=[1;2]\). Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-6x+m\left(6-m\right)\) ở vế trái bất phương trình thứ hai có hai nghiệm là \(m\) và \(6-m\) (theo Viet).
    1) Nếu \(m=6-m\) thì bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là \(N_2=\left(-\infty;+\infty\right)\) nên tập nghiệm của hệ đã cholà \(N=N_1\cap N_2=[1;2]\). Hệ có vô số nghiệm (Loại)
    2) Nếu \(m\ne6-m\) thì \(N_2=\)(\(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty\)), trong đó \(x_1,x_2\) là hai nghiệm phân biệt của \(f\left(x\right)\). Vì vậy nếu hệ đã cho sẽ có nghiệm duy nhất chỉ khi \(x_1=1< 2=x_2\) (nghiệm duy nhất của hệ là \(x=1\)) hoặc \(x_1< 1< 2=x_2\) (nghiệm duy nhất của hệ là \(x=2\)). Từ đó phải có \(f\left(1\right)=0\) hoặc \(f\left(2\right)=0\), tức là
    \(\left[{}\begin{matrix}-5+6m-m^2\\-8+6m-m^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1;m=5\\m=2;m=4\end{matrix}\right.\)
    Thử lại: Khi \(m=1\)hoặc \(m=5\) thì \(f\left(x\right)\) có 2 nghiệm là 1 và 5 nên \(N_2=\)(\(-\infty;1]\cup[5;+\infty\)), do đó \(N=\left\{1\right\}\), hệ có nghiệm duy nhất \(x=1\).
    Khi \(m=2\) hoặc \(m=4\) thì \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm là 2 và 4 nên \(N_2=\) (\(-\infty;2]\cup[4;+\infty\)), do đó \(N=[1;2]\), hệ có vô số nghiệm (Loại).
    Đáp số: \(m=1;m=5\).
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
    \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^3-2x+1-m\le0\end{matrix}\right.\)
    • \(m\ge2\)
    • \(m\ge0\)
    • \(m< 0\)
    • \(m\ge4\)
    Hướng dẫn giải:

    Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là \([-9;-1]\).
    Viết lại bất phương trình thứ hai dưới dạng \(m\ge x^3-2x+1\) (*) . Hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi (*) sai với mọi \(x\in[-9;-1]\) hay \(m< x^3-2x+1\) , \(\forall x\in\) [- 9; -1 ]. Xét hàm số \(f\left(x\right)=x^3-2x+1\) với \(x\in[-9;-1]\)\(m< x^3-2x+1\).
    Ta có \(f'\left(x\right)=3x^2-2\ge3.1-2>0,\)\(\forall\) \(x\in[-9;-1]\) (vì \(\left|x\right|\ge1\)\(\forall x\in[-9;-1]\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hình sau đây biểu diễn đồ thị hai hàm số \(y=2x-3\) và \(y=x+1\)
    01.png
    Từ đó hãy chỉ ra trong các kết quả cho dưới đây, đâu là tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\2x-3< 0\end{matrix}\right.\)?
    • \(x\ge-1\)
    • \(x< 1,5\)
    • \(x\ge\dfrac{3}{2}\)
    • \(-1\le x< \dfrac{3}{2}\)
    Hướng dẫn giải:

    Hình chiếu vuông góc xuống trục hoành của phần phía bên trên trục hoành của đồ thị \(y=x+1\)là tập nghiệm của \(x+1\ge0\). Tương tự, chiếu vuông góc phần phía dưới trục hoành của đồ thị \(y=2x-3\) ta được tập nghiệm của \(2x-3< 0\). Vậy hệ đã cho có nghiệm là \(-1\le x< \dfrac{3}{2}\)
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hình vẽ trên biểu diễn đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)=x^2-4x+3\). Từ hình vẽ này hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình \(x^2-4x+3>0\)

    01.png
    • \(x< 1\)
    • \(x\ge1\)
    • \(1< x< 3\)
    • \(\left(-\infty;1\right)\cup\left(3;+\infty\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Nghiệm của bất phương trình \(f\left(x\right)>0\) là hoành độ các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị \(y=f\left(x\right)\)